全等三角形常见模型

课程主题：全等三角形的常见模型授课时间：

学习目标1、掌握全等三角形的常见模型：手拉手模型、半角模型、K字形

类型一、手拉手模型

例1.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE 同侧分别做正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC

交于P点，BE与CD交于点Q，连接PQ。以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE③AP=BQ④DE=DP⑤∠AOB=60。下列结论恒成立的有

例2．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD

和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．

（1）求证：BE=DC；

（2）求∠BOD的度数；

（3）求证：OA平分∠DOE．

例3.已知△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，BD的延长线交AC于点F，交CE于G．

（1）求证：BD⊥CE；

（2）连接AG，求证：EG+DG=AG．

例4.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC 为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG 与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

例5．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为（）A．B．4C．D．4.5

活学活用

1．如图，B是线段AC上一点，△ABD与△BCE均为等边三角形．（1）求证：AE=CD；

（2）若△BCE'与△BCE关于直线AC轴对称，AE'与CD还相等吗？画出图形．若相等，请给出证明；若不相等，说明理由；（3）AE'与BD相交于点F，CD与BE'相交于点G，连接FG，试判断△FBG的形状，并加以证明．

2．如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）AE与DC的夹角为60°；

（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．

3.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD 的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．

（1）求证：△DBN≌△DCM；

（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

4．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：

（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？（如果你知

道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）

5．探究：如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

应用：如图2，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．

6.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；

（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD 中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．

（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，4，CD=5，AD=12，求BD的长．

tanα=

3

类型二、半角模型

例1、（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、

1∠BAD．求证：EF=BE+FD；F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

2

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F

1∠BAD，（1）中的结论是分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

2

否仍然成立？

（3）在（1）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．

（4）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、

1∠BAD，（1）中F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

2

的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

例2.（1）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为．

（2）应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．

（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

活学活用

1.如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．且∠ECF=45°，试说明线段DF、EF与BE之间的数量关系以及线段CF的长。

2、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC = ∠，60MBN = ∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

（图1）A

B

C D E F M N （图2）A B C D E F M N （图3）

A B C

D E F M N