数列通项公式的求法
类型1．递推式为1
n n a
a d
+=+及1
n n
a
qa +=（,d q 为常数）。
例1 已知{}n a 满足12n n a a +=+，而且11a =，求通项n a 。
例2 已知{}n a 满足11
2
n n a a +=
，而12a =，求通项n a 。 类型2 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.
例2 已知{}n
a 中，1211
,241
n a n
a
a a n +==+-，求通项n a 。
类型3
n n a n f a )(1=+
形如
1
()n
n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解 例5、在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。 例6、
类型4 q pa a n n +=+1（其中
p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）
。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
类型5 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）
。
（或1
n n n a pa rq +=+,其中
p ，q, r 均为常数） 。
例1:已知数列{}n
a 中，65
1
=
a
,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型 6.若已知数列的前项和n
S 与n
a 的关系，求数列
{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
11n S S n S a n n n 求解。
1(2012年高考全国卷文科6)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，
,⑴求数列 （2）求
2. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且
对任意的都成立，数列
是等差数列.
⑴求数列
与的通项公式；
⑵是否存在，使得，请说明理由.
n {}n a n S {}n a
{}n b 21
2322...
a
a a +++128n n a n
-+=*
N n ∈{}n
n b b
-+1
{}n a {}n b N k *
∈(0,1)
k k b a -∈
3：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ②数列{}n a 满足12211
1
2522
2
n n a a a n +++
=+，求n a
类型7 递推公式为n
n n qa pa a
+=++12
（其中p ，q 均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨
⎧-==+q
st p
t s
解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，
βα==21,a a 给出的数列{}n a ，
方程02
=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当2
1x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα=
=21,a a 决定（即把
2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα=
=21,a a 决定（即把2
121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
1)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
1.数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
类型8 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为
{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
类型9r
n
n pa a
=+1
)0,0(>>n a p 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数
法求解。
例：已知数列｛n a ｝中，2
111,1n n a a
a a ⋅=
=+)0(>a ，求数列{}
.的通项公式n a
