1989考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0

lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.

(2)

sin t tdt π

=⎰

＿＿＿＿＿＿.

(3) 曲线0

(1)(2)x

y t t dt =

--⎰

在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.

(4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿.

(5) 设()f x 是连续函数,且1

()2

()f x x f t dt =+⎰

,则()f x =＿＿＿＿＿＿.

(6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x

⎧+≤⎪

=⎨>⎪

⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿.

(7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿.

二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)

已知arcsin y e =,求y '.

(2) 求

2ln dx x x ⎰.

(3) 求10

lim(2sin cos )x

x x x →+.

(4) 已知2ln(1),arctan ,

x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx 及22d y

dx .

(5) 已知1

(2),(2)02

f f '=

=及20()1f x dx =⎰,求120(2)x f x dx ''⎰.

三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把

所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设0x >时,曲线1

sin

y x x

= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线

(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线

(2) 若2

350a b -<,则方程5

3

2340x ax bx c +++= ( )

(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()2

2

y x x π

π

=-

≤≤

与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体

积为 ( )

(A) 2

π (B) π (C) 22π (D) 2

π

(4) 设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a =处

( )

(A) 必取极大值 (B) 必取极小值

(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定

(5) 微分方程1x

y y e ''-=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数) ( )

(A) x

ae b + (B) x

axe b + (C) x

ae bx + (D) x

axe bx + (6) 设()f x 在x a =的某个领域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是( )

(A) 1

lim [()()]h h f a f a h

→+∞+-存在 (B) 0(2)()

lim h f a h f a h h

→+-+存在

(C) 0()()

lim 2h f a h f a h h

→+--存在

(D) 0()()

lim h f a f a h h

→--存在

四、(本题满分6分)

求微分方程2(1)x

xy x y e '+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.

五、(本题满分7分)

设0

()sin ()()x

f x x x t f t dt =--⎰

,其中f 为连续函数,求()f x .

六、(本题满分7分)

证明方程0

ln x x e π

=

-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.

七、(本大题满分11分)

对函数2

1

x y x +=,填写下表：

八、(本题满分10分)

设抛物线2

y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线

1x =所围图形的面积为1

3

,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V

最小.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】

12

【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成0

型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一： 000cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x x

x x x

x x x

→→→==⋅

0011

lim lim sin 22cos 22

x x x x x →→==洛. 方法二： 00cos 2lim cot 2lim sin 2x x x

x x x x

→→=

0012121lim cos 2lim .2sin 22sin 22

x x x x x x x →→=⋅== 【相关知识点】0sin lim x x x →是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x x

x

→=.

(2)【答案】π

【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,

sin t tdt π

=

⎰

[]00

(cos )cos (cos )td t t t t dt π

π

π

-=

---⎰

⎰分部法

[]00sin (00)t π

πππ=++=+-=.

(3)【答案】2y x =

【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--. 由y '在其定义域内的连续性,可知0

(01)(02)2x y ='

=--=.

所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n

【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即

0()(0)(1)(2)()0

(0)lim

lim x x f x f x x x x n f x x

→→-++⋅

⋅+-'==

lim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅

⋅+=⋅⋅⋅=.

方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知, ()(1)(2)()1(2)()f x x x x n x x x n '=++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++

(1)(2)(1)1x x x x n ++⋅

⋅+-⋅,