第五章非周期信号的频域分析

1 2


-
f (t )e
- jt
dt


-
F ( j ) e
j t
d
F ( j ) F [ f ( t )] f (t ) F
F
-1
[ F ( j )]
或
f ( t ) F ( j )
Dirichlet条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
-

f ( t ) dt
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
0
t
0

单位冲激信号及其频谱
(3) 直流信号
由
F [ ( t )] 1
-1
以及 F
[1]
1 2


-
e
j t
d (t )
) t ( 为偶函数，上式可以等价为
(t )
1 2



-
e
- j t
d
所以
F [1]
1e
-
- j t
d t 2 ( )
1 1 F( ) 2 2 1 At 2
t
t 4
t 4
4 t
0
4 t

5． 时移特性
若 f (t ) F ( j )
则 f (t - t 0 ) F ( j ) e
-j t 0
式中t0为任意实 数 证明： F [ f ( t - t 0 )]


-
f (t - t 0 ) e
dt lim
1 T
T


-
f (t )e
- jt
dt
F ( j ) lim TF n
T


-
f (t )e
- j t
dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
2. 频谱函数与频谱密度函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。 （2）周期信号的频谱为Fn的分布， 表示每个谐波分量的复振幅； 非周期信号的频谱为T Fn的分布，表示每单位带宽内 所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。
T (t )

n -
+
( t - nT )
+
1 T

n -
+
e
jn 0 t
F [ T ( t )] 2

n -
1 T
( - n 0 ) 0

n -
+
( - n 0 )
T (t )
F [ T ( t )]
0

- t
]


F ( )
( ) /2
0

0

- / 2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
(5) 单位阶跃信号u(t)
u (t ) 1 2 { u ( t ) + u ( - t )} + 1 2 { u ( t ) - u ( - t )} 1 2 + 1 2 sgn( t )
两者关系：
F ( j ) lim TF n
T
Fn
F ( j ) T
n 0
3.
T
傅里叶反变换
T
f ( t ) lim f T ( t ) lim
lim


Fn e
jn 0 t
n=— jn 0 t
T

n=—

F ( j ) 0 2
f (t ) 1 t
F ( ) (2 )
0
0

直流信号及其频谱
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
（4） 符号函数信号
- 1 sgn( t ) 0 1
t
- j t
t 0 t 0 t 0
符号函数定义为
sin 0 t 1
F ( ) ( )
t
( )
- 0
0
0

正弦信号及其频谱函数
（3）一般周期信号
fT (t )

n -
+
Fn e
jn 0 t
( 0
2 T
)
• 两边同取傅立叶变换
F [ f T ( t )] F ( j ) F [

n -
+
Fn e
- t 0
F [sgn( t ) e
]

-
( - 1) e e
( - j ) t 0
dt +


e
- t
e
- j t
dt
0

-
e
- j
t -
e
- ( + j ) t
+ j

t0
-1
- j
2 j
+
1
+ j
F [sgn( t )] lim F [sgn( t ) e
F [ u ( t )] ( ) +
u (t )
1
( )
1 j
( ) /2
0
F ( )

0
t
0

- / 2
阶跃信号及其频谱
•2 常见周期信号的频谱
(1) 虚指数信号
由 1 e
- - j t
j 0 t
e
( - t )
F ( ) (2 )
dt 2 ( )
- j( - 0 ) t
0
0

é ¸ ý Å Å Ä µ × Ð Ö Ê Ð º µ Æ Æ
得 F [e
j 0 t
]

-
e
dt 2 ( - 0 )
dt 2 ( + 0 )
同理:
F [e
- j 0 t
]


-
e
- j( + 0 ) t
（ 2 ） 正弦型信号
F [ f ( at )] 1 a


-j

a
x
-
f ( x )e
dx
1 a
F(j

a
)
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
f ( 1 t) 2
2 F (2 )
2 At
-t
0
t
t
0 t t

f (t ) F ( ) At
t
2
-
t
2
t
2 t
0
2 t

f (2t )
A
由傅立叶正变换定义式，可得
F ( j )


t
-
f (t )e
- jt
dt
t
2 2
A e
- jt
dt
A t Sa (
F ( ) tA
t
2
)
f (t ) A
-
t
2
t
2
t
-
2
2

t
t
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
F ( j )
-t
u ( t )， 0，
- t - j t


-
f (t ) e
- j t
dt


e
e
dt

e
- ( + j ) t

0
- ( a + j ) 0

1 a + j
幅度频谱为 相位频谱为
F ( j )
1

2
+
2
( ) - arctg (
F R ( j ) F R ( - j ), FI ( - j ) - FI ( - j )
3.互易对称特性
若 f (t ) F ( j )
f (t )
A
Et
则 F ( jt ) 2 f ( - )
F ( )
-
t
2
0
t
2
t
-4 -2 2 4 6
Fn
tA
T
Sa (
n 0t 2
)
Fn
At T
Sa (
n 0t 2
)
Fn
At / T
-
2
2
t
t
n 0
0 2 / T
Fn
1 T
1 T
T


2 T 2
fT (t )e
- jn 0 t
dt
T 2 T 2
T
lim F n lim
T
f T (t )e
- jn 0 t
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。
[例题] 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 [解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A， f (t ) 0， | t | t / 2 | t | t / 2
F (t )
A 0 2
2
t
t
t
t
t
A
f ( )
t
-
0
2
0
0
2

4. 展缩特性
若 f (t ) F ( j )
则 f ( at ) 1 a F(j

a
)
• 证明:
F [ f ( at )]


-
f ( at ) e
- j t
dt
令x=at，则dx=adt ，代入上式可得
e
T , 记n0=, 0=2/T=d,
f (t ) 1 2


-
F ( j ) e
j t
d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F()/2]d 的复指数信号ej t的线性组合。
傅立叶正变换： F ( j ) 傅立叶反变换： f ( t ) 符号表示：

a
)
f (t ) 1
F ( ) 1/
0
t
( )
/2
0

0

- / 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
(2) 单位冲激信号δ(t)
F [ ( t )]


-
f (t ) e
- j t
dt


-
(t ) e
- j t
dt
1
(t )
(1)
1
F ( )
• 12. 能量定理
1. 线性特性
若 f1 (t ) F1 ( j )；
F
f 2 (t ) F 2 ( j )，
F
则 af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) aF 1 ( ) + bF 2 ( )
• 其中a和b均为常数。
2.共轭对称特性
若 f ( t ) F ( j )
cos 0 t
1 2
(e
j 0 t
+e
- j 0 t
) [ ( - 0 ) + ( + 0 )]
cos 0t 1
( )
F ( ) ( )
t
- 0
0
0
பைடு நூலகம்

余弦信号及其频谱函数
sin 0 t
1 2 j
(e
j 0 t
-e
- j 0 t
) - j [ ( - 0 ) - ( + 0 )]
第五章 非周期信号的频域分析
• • • • 从傅立叶级数到傅立叶变换 频谱函数与频谱密度函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
5.1非周期信号的频谱
1．从傅立叶级数到傅立叶变换
讨论周期T增加对离散谱的影响：
fT (t ) A
-T
-
t
2
t
2
T
t
周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为
5.2常见连续时间信号的频谱
• 常见非周期信号的频谱(频谱密度)
• 单边指数信号 • 单位冲激信号δ(t) • 直流信号 • 符号函数信号 • 单位阶跃信号u(t)
• 常见周期信号的频谱密度
• • 虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
1. 常见非周期信号的频谱
• (1) 单边指数信号
f (t ) e
则
f * ( t ) F * ( - j )
f * ( - t ) F * ( j )
F(j)为复数，可以表示为
F ( j ) F ( j ) e
j ( )
F R ( j ) + jF I ( j )
• 当f(t)为实函数时，有 幅度谱偶对称，相位 谱奇对称,实部偶对称，虚部奇对称。 • |F(j )| = |F(-j )| ， () = -(-)
( 0 )
(1)



t

-T
0
T
-0 0 0

单位冲激序列及其频谱函数
5.3 傅里叶变换的基本性质
• 1. 线性特性 • 2. 共轭对称特性 • 3. 对称互易特性 • 4. 展缩特性 • 5. 时移特性 • 6. 频移特性 • 7. 时域卷积特性
• • • •
8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性
f1 (t )
A
f (t )
A
t
T t
0
-
t
2
0
t
2
t
•[解] 无延时且宽度为t的矩形脉冲信号f(t) 如右图，
其对应的频谱函数为
F ( j ) A t Sa (
jn 0 t
]

n -
+
Fn F [e
jn 0 t
]
F [ f T ( t )] 2

n -
+
F n ( - n 0 )
（4）周期冲激串
T (t )
( t - nT
n -
+
)
•因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅 立叶级数：
- j t
dt
令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得
F [ f ( t - t 0 )]


-
f ( x )e
- j ( t 0 + x )
dx F ( j ) e
-j t 0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
•[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。