武汉理工大学研究生课程考试标准答案
用纸
课程名称:数值计算(A) 任课教师 :
一、 简答题,请简要写出答题过程(每小题5分,共30分) 1、将
227与355113
作为 3.14159265358979π=L 的近似值,它们各有几位有效数字, 绝对误差与相对误差分别就是多少？
3分)
2分)
2、已知()8532f x x x =+-,求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ,019
3,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L 、
(5分)
3、确定求积公式
1
0120
()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰
中的待定系数,使其代数
精度尽量高,并指明该求积公式所具有的代数精度。
解:要使其代数精度尽可能的高,只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。由于有三个待定系数,可以满足三个方程,即2m =。 由()1f x =数值积分准确成立得:011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得:121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得:11/3A =
解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分)
此时,取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。 (2分)
4、求矩阵101010202A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
的谱半径。 解 ()()1
0101
132
2
I A λλλλλλλ--=
-=---
矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分)
5、 设10099,9998A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞、
解:**
1
9899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭
矩阵A 的较大特征值为198、00505035,较小的特征值为-0、00505035,则
1222
()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分)
1
()199********cond A A A -∞∞∞
=⨯=⨯= (3分)
22
0011301
01011010
2
2010011
0110
()(12
)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分)
并依条件1
(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====,得
2222
331
()(12)(1)2(32)(1)2(1)2
11
122
H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分)
2、已知()()()12,11,21f f f -===,求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解:注意到:
()0120121200102021101201220212
1,1,2;2,1,1()()(1)(2)
()()6()()(1)(2)
()()2()()(1)(1)
()()3
(1)(2)(1)(2)()2162n
j j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==-=====----==
----+-==
-----+-=
=
----+-==⨯+⨯-∴∑()2
(1)(1)1
3
1386
x x x x +-+⨯=
-+3、3、给出如下离散数据,试对数据作出线性拟合
解: x a a x P 10)(+=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+=+∑∑∑∑∑=====m i m
i i i m i i i m i m
i i
i y x a x a x y a x ma 1
1112011
10)()()( (5分) ⎩⎨
⎧=+=+25
14612
641010a a a a 419010.,.==a a ,x x P 4190..)(+= (5分)
4、用Jacobi 迭代法求解方程组1231231
23202324
812231530
x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩,取初值()
()00,0,0T x =,计算迭
代二次的值;(2分)
问Jacobi 迭代法就是否收敛？为什么？(2分)
若收敛,需要迭代多少次,才能保证各分量的误差绝对值小于610-？(提
问Gauss-Seidel 迭代法就是否收敛？为什么？(1分)
解:先将方程组化成便于迭代的形式,以20,8,15分别除以三个方程两边得
1
23213
3
2313610205133882212155x x x x x x x x x ⎧=--+⎪⎪
⎪=--+⎨⎪⎪=-++⎪⎩ , 迭代矩阵13010
20110,882301515
B ⎛⎫
--
⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
由于1
||||1,3
B q ∞=
=<或者因为原方程组系数矩阵严格对角占优,故Jacobi 迭代法收敛、且Gauss-Seidel 迭代法收敛。
由()
(1)(0)||*||||||1k k q x x x x q
-≤
--v v v v 得公式 (1)(0)(1||||)
ln
||||ln ||||B x x K B ε∞∞∞
--> 及(1)(0)
||||x x ∞-
可得6661
10(1)
13ln(10)ln
ln(310)3213.5711ln 3ln ln 33
K ---⨯⨯>
==≈ 所以迭代14次时,能保证各分量的误差绝对值小于6
10.-
5、用欧拉法解初值问题()2
02
y x y
y '⎧=-+⎪⎨=⎪⎩在[]0,1.5上的数值解,取0.5h =,计算过程保留
5位小数。(要求写出迭代公式,不写公式扣4分)
解:欧拉法的公式为
()()()2
111111,k k k k k k k k y x y y hf x y y h x y ------≈=+=+-+,1,2,3,4k = (4分)
已知00x =,02y =
()()210.520.5024y y ≈=+⨯-+=
