四、平抛运动与斜面、圆周运动相结合问题
平抛运动问题经常会与斜面、圆周等相结合,此类问题的运动情景与规律方法具有一定的规律性,总结如下:
运动情景
物理量分析 方法归纳
v y =gt,tan θ=
v 0v y =v 0gt →t=v 0gtan θ
→求x 、y
分解速度,构建速度三角形,确定时间,进一步分析位移
x=v 0t,y=12gt 2
→ tan
θ=y x →t=2v 0 tan θg
→求
v 0,v y
分解位移,构建位移三角形
tan θ=
v y v 0=gt
v 0 → t=v 0 tan θg
P 点处速度与斜面平行,分解速度,求离斜面最远的时间
落到斜面合速度与水平方向夹角φ→ tan
φ=
gt v 0=
gt 2v 0t =
2y
x
=2 tan
θ→α=φ-θ
小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角α为定值,与初速度无关
tan θ=
v y v 0=gt v 0 →t=v 0 tan θg
小球平抛时沿切线方向进入凹槽时速度方向与水平方向夹角为θ,可求出平抛运动时间
在半圆内的平抛运动(如图),由半径和几何关系知时
间
t,h=12
gt 2
,R+√R 2-h 2=v 0t
联立两方程可求t
水平位移、竖直位移与圆半径构筑几何关系可求运动时间
几何约束与平抛规律结合的问题是平抛问题的常见题型,解答此类问题除要运用平抛的位移和速度规律外,还要充分运用几何,找出满足的其他关系,从而使问题顺利求解。
典例1 (多选)如图所示,从倾角为θ的足够长的斜面上的某点先后将同一小球以不同初
速度水平抛出,小球均落到斜面上,当抛出的速度为v
1
时,小球到达斜面时的速度方向与斜面的
夹角为α
1,当抛出的速度为v
2
时,小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α
2
,则( )
A.当v
1>v
2
时,α
1
>α
2
B.当v
1>v
2
时,α
1
<α
2
C.无论v
1、v
2
大小如何,均有α
1
=α
2
D.2 tan θ= tan (α
1
+θ)
答案CD 建立数学模型,写出v的函数表达式,讨论v与α的关系。
建立物理模型,如图。
以任一速度v抛出后,落到斜面上用时t,由平抛运动知识得
x=vt y=1
2
gt2
tan θ=y
x
v
合分解为v
y
=gt
又由图可知
tan (θ+α)=v y v
以上方程联立可得
2 tan θ= tan (θ+α)
故α为一恒量,A、B错误,C、D正确。
典例2 (多选)如图所示,从半径为R=1 m的半圆PQ上的P点水平抛出一个可视为质点的小球,经t=0.4 s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g=10 m/s2,据此判断小球的初速度可能为( )
A.1 m/s
B.2 m/s
C.3 m/s
D.4 m/s
答案AD 由h=1
2
gt2,可得h=0.8 m<1 m,如图所示,小球落点有两种可能,若小球落在左
侧,由几何关系得平抛运动水平距离为0.4 m,初速度v
0=0.4
0.4
m/s=1 m/s;若小球落在右侧,平抛
运动的水平距离为1.6 m,初速度v
0=1.6
0.4
m/s=4 m/s,A、D项正确。
