北京大学2015年博雅计划测试题
一、选择题（四选一，每小题10分，满分50分；选对得10分，不选不得分，选错扣5分） 1.整数,,x y z 满足，则2
2
2
(1)(1)(1)x y z +++可能取到的值为______. A. 16900 B. 17900 C. 18900 D. 前三个答案都不对 解答：代数式变形.
由1xy yz zx =++，可知()()221x xy yz zx x x y
x z +=+++=++，同理
(
)()()
()
()()
2
22
222111x y z x y x z y z +++=+++，于是2
2
2
(1)(1)(1)x y z +++是平方数，
取()()
,,2,5,13x y y z z x +++=，可知2
2
2
(1)(1)(1)16900x y z +++=. 答案:A. 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任意两个的和都不等
于99，也不等于100，这50个数的和有可能等于________. A.3524 B.3624 C.3724 D. 前三个答案都不对 解答：组合构造问题
考虑将99个数分为如下50组：()()()()1,99,2,98,
,49,51,50. 断言：这50个数中包
含50，若否，总有两个数和等于100，矛盾. 接下来()()()1,99,2,98,
,49,51这49组数
中每组选出一个数，不难发现这50个数就是50，51，… ，99，所以： 505152993725++++=. 答案:D. 3.已知]2
,
0[π
∈x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为)(a g ，则当
a 跑遍所有实数时，的最大值为_______.
A.1
B.2
C.3
D. 前三个答案都不对 解答：换元法，二次函数分类讨论.
记[]cos 0,1,t x =?则()
[]
2
21,0,1y h t t at t ==-+?，则有
()21,0,1,01,22,1,
a g a a a a a ì<ïï
=-＃íï->ïî 于是()g a 的最大值是1. 答案:A.
4.已知20
20
210-是n
2的整数倍，则正整数n 的最大值为________. A.21 B.22 C. 23 D. 前三个答案都不对
解答：因式分解整除问题.
根据()()()()
2020201054321102251515155551-=++-++++ 注意到101055251,451;
251,451;++++寣从而正整数n 的最大值为24. 答案:D.
5.在凸四边形ABCD 中4BC =，
90,60=∠=∠BAD ADC ，四边形ABCD 的面积为
1xy yz zx ++=)(a g
2
AD
BC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为________.
A. 6.9
B. 7.1
C. 7.3
D. 前三个答案都不对 解答：托勒密定理和四点共圆.
凸四边形ABCD 的面积记为S,直线,AC BD 的夹角记成q ，则
()sin sin 22
2
AB CD AC BD AC BD AB CD AC BD
S q q ?鬃
鬃??=
＃
，
由题目条件，AB CD AC BD AC BD ???，从而凸四边形ABCD 是圆内接四边形.
所以 6.9CD =. 答案:D.
二、填空题 6. 满足等式2015
1
)2015
11()
11(+
=++x x
的整数x 的个数是_______. 解答：两个重要极限之一.
若0x >,则1
2015
1
1112015
x e x
+骣骣琪琪+>>+琪
琪
桫桫；若x 是负整数，
令,2x n n =-?，则1
1
1
1111x n x n +-骣骣琪琪+=+琪
琪
-桫桫，根据1
1
11
n n a n -骣琪=+琪
-桫单调增，从而
20151)2015
11()11(+=++x x 当且仅当2016x =-. 答案:1.
7.已知]4,2[,,,∈d c b a ，则)
)(()(22222
c b
d a cd ab +++的最大值与最小值的和为________.
解答：数形结合加平面区域问题. 记()
(),,
,x a d y b c ==，则22
2222()cos ,()()ab cd t x y a d b c +==++，max min
161,25
t t ==， 求和即是
4125. 答案：41
25
. 8.已知]5,1[,2||2
∈∀≤++x q px x ，则不超过22q p +的最大整数是________.
解答：二次函数临界值问题.
[][]22,2,1,5y x px q x =++?"?，容易验证满足条件的二次函数只能是
2267+67,
y x x y x x =-+=--或容易得到不超过
22q p +的最大整数是9.
答案：9.
