§3----解三角形的实际应用举例

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第二章 解三角形
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解析： 设山顶为 C，山高 CD＝x，由题意 ∠CAD＝30°，∠CBD＝40°，∠ACB＝50°. 在 Rt△ADC 中，AC＝sinCD30°＝2x， 在 Rt△BDC 中，BC＝sinCD40°＝sinx40°，
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在△ABC 中，由余弦定理知 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB ∴1 0002＝(2x)2＋sinx40°2－2×2x×sinx40°×cos 50° ∴x＝1 000·sin 40°≈643(m)
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1．通过前面的学习，我们已经知道，在三角形的三条边和 三个角共六个元素中，要知道三个(其中至少有一个边)才能解该 三角形，按已知条件可分为四种情况：
已知条件 应用定理
一般解法
一边和两 角(如a，B， 正弦定理
C)
由 A＋B＋C＝180°，求角A；由 正弦定理 求出b与c，在有解
(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距 离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求 未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量 问题，然后运用正弦定理解决．
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1.如图，为测量河对岸 A，B 两点的距离，在河的这边 测出 CD 的长为 23km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°， ∠ACB＝45°，求 A，B 两点间的距离．
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解析： 易知∠ACB＝120°， 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×－21＝ 3a2. ∴AB＝ 3a.
答案： 3a cm
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4.如图，海上有A、B、C三个小岛，其中A、B两个小岛相距 10 n mile从A岛望C岛和B岛成45°的视角，从B岛望C岛和A岛成 75°的视角，则BC的距离为________n mile.
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1．基线 (1)定义：在测量上，根据测量 需要适当确定的线段叫做基 线．
(2) 性 质 ： 在 测 量 过 程 中 ， 要 根 据 实 际 需 要 选 取 合 适 的 基线长度 ，使测量具有较高的 精确度 ． 一 般 来 说 ， 基线越长，测量的精确度越 高 ．
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如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A 点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得 ∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
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[解题过程] 由于 CD⊥面 ABD，∠CAD＝45°，
所以 CD＝AD，
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在△ABC 中，
由余弦定理得
cos∠BAC＝AC2＋2AACB·A2－B BC2＝
3 2.
∴∠BAC＝30°，
又∵B 位于 A 南偏东 60°，
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一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出 求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获 悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方 位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即 以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的 最少时间及所经过的路程．
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[解题过程]
如图所示，若“黄山”舰以最少时间在 B 处追上商船， 则 A，B，C 构成一个三角形．
设所需时间为 t 小时， 则 AB＝21t，BC＝9t. 又已知 AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°， 根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.
画出示意图，在三角形中利用正、余弦定理求有关角度进 而解决问题．
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[解题过程]
如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台 风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B、C、 D 在一直线上，且 AD＝20、AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2， BC＝( 3＋1)·10 2. 在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2， ∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
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解析： 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快
截获(在 D 点)走私船，则 CD＝10 3t 海里，BD＝10t 海里．
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6.
∵sin∠BCBAC＝sin∠ACABC，
由 余弦定理 求出A、B；再利用
A＋B＋C＝180° 求出角C，在
有解时只有一解
由 正弦定理 求出B；由 A＋B＋C＝180° 求出角C；再
利用 正弦定理或余弦定理 求c， 可有两解、一解或无解
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2.在正弦定理、余弦定理及其变形公式中 (1)求边 a 的公式有 a＝bssiinnBA＝ b2＋c2－2bccos A＝ 2Rsin A(R 为 △ABC 外接圆半径) (2)求角 A 的公式有 sin A＝asibn B，cos A＝b2＋2cb2c－a2.
因此，只需在△ABD 中求出 AD 即可．
在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由sinAB15°＝sinAD45°得，
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2
2 2
＝800(
3＋1)(km)
4
答：山高 CD 为 800( 3＋1)km.
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方法二：在正△ADC 中，AC＝CD＝ 23(km)．
在△ABC 中，由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°
＝34＋166－2× 23× 46× 22＝38，
∴AB＝ 46(km)．
答：河对岸
A，B
两点间距离为
6 4
km.
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时只有一解
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已知条件
两边和夹角 (如a，b，C)
三边(a，b，c)
两边和其中 一边的对角 (如a，b，A)
应用定理 余弦定理 正弦定理
余弦定理
正弦定理 余弦定理
一般解法
由 余弦定理 求第三边c；由 正弦定理 求出一边所对的角；再 由 A＋B＋C＝180°求出另一角， 在有解时只有一解
§3 解三角形的实际应用举例
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1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题．
2.提高应用数学知识解决实际问题的能力．
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1.对解三角形实际应用的考查是本节的热点． 2.本节内容多与实际问题中测量距离、高度、角度、面积等 问题结合考查． 3.各种题型均可出现，以中低档题为主.
∴sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC＝2sin
120°＝ 6
22，
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∴∠ABC＝45°，
∴B 点在 C 点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵sin∠BDBCD＝sin∠CDCBD，
∴sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD
＝10tsin 10
C．d1＞20 m
D．d2＜20 m
解析： 由 tan50°＝2d01°，tan40°＝2d02及 tan50°＞tan40°
可知，d1＜d2.
答案： B
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3．如下图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离 都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．
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1．以下图示是表示北偏西135°的是( )
答案： C
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2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗 杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别 表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1＞d2
B．d1＜d2
答：山高约为643 m.
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某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南 偏东 60°相距 20( 3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半 径为 20 海里，正以每小时 10 2海里的速度沿某一方向匀速 直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且 3＋1 小 时后开始影响基地持续 2 小时．求台风移动的方向．
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解析： 易知 C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理，得sBinCA＝siAnBC，
所以
BC＝AsBisninCA＝1s0isnin604°5°＝103
6 .
答案：
10 6 3
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5.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－ 1)海里的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最 快截获走私船？并求出所需时间．
132t 0°＝12，
∴∠BCDຫໍສະໝຸດ Baidu30°.
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由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°， ∴BD＝BC，即 10t＝ 6，∴t＝106小时．
答：缉私船沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私 船，需106小时.
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2．对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解 (1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．
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(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．
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(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角， 如图中B点的方位角为α.
[题后感悟] 解决测量高度问题的一般步骤是：
在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识， 注意方程思想的运用．
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2.在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为30°， B的俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，已知A、B在 同一海平面上且相距1 000米，求山的高度．(精确到1米，sin 40°≈0.643)
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[题后感悟] (1)将追及问题转化为三角形问题，即可把实际 问题转化为数学问题．这样借助于正弦定理或余弦定理，就容 易解决问题了．最后要把数学问题还原到实际问题中去．
(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离 问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从 而运用正弦定理去解决．
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∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°， ∴(21t)2＝100＋81t2＋90t， 即 360t2－90t－100＝0. ∴t＝32或 t＝－152(舍)． ∴AB＝21×32＝14(海里)． 即“黄山”舰需要用32小时靠近商船，共航行 14 海里．
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(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角，如南偏西 60°，指以正南方向为始边，顺时针方 向向西旋转 60°.如图中∠ABC 为北偏东 60°或为东偏北 30°.
3．正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习 它们在测量 距离 、 高度 、 角度 等问题中的一些应用．
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解析： 在△BCD 中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得sinBC30°＝sinCD45°， 则 BC＝CDsinsin453°0°＝ 46(km)． 在△ACD 中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形， 方法一：∵∠ADB＝∠BDC， ∴BD 为正△ADC 边 AC 上的中垂线， ∴AB＝BC＝ 46(km)．