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高二数学导数 课件人教版

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人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 基本初等函数的导数

人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 基本初等函数的导数

2
=-3 .
-3
(3)y'=14x13.
1
(4)∵y=4 =x-4,
∴y'=-4x
4
=-5 .
-5
1
5
;(4)y= 4 ;(5)y=
1 x
3
x ;(6)y=(3) ;(7)y=log3x.
-2
0
14
(1)y=e ;(2)y=x ;(3)y=x
5
解 (5)∵y= x 3 =
3 -2
∴y'= x 5
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进
行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的
几何意义求解.
变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:
(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.
解 (1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,
又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)设切点为(x0,03 ),则 f'(x0)=302 ,所以切线方程为 y-03 =302 (x-x0).
因为切线过点 B(0,16),
m
n
x ,从而 f'(x)=(x
m
n
m
)'= n
·x
m
-1
n
.
思考辨析
对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,
1
时,f'(x)分别为多少?
2

人教版高中数学选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数【教学课件】

人教版高中数学选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数【教学课件】

2．基本初等函数的导数公式 (1)若 f(x)＝c(c 是常数)，则 f′(x)＝ 0 ； (2)若 f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)，则 f′(x)＝ αxα－1 ； (3)若 f(x)＝sin x，则 f′(x)＝ cosx ； (4)若 f(x)＝cos x，则 f′(x)＝ －sinx；
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解，公式法最简 捷．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导” 的基本原则，避免不必要的运算失误．比如对带根号的函数，一 般先将其转化为分数指数幂，再利用公式(xα)′＝αxα－1 进行求导．
3．要特别注意“x1与 ln x”，“ax 与 logax”，“sin x 与 cos x” 的导数区别．
提示：(2x)′＝2xln 2. (3)(ln x)′＝1x.( √ )
1．函数 f(x)＝0 的导数是( A )
A．0
B．1
C．不存在
D．不确定
2．若函数 f(x)＝x，则 f′(2)＝( )
A．0
B．1
C．2
D．不存在
B 解析：f′(x)＝1，∴f′(2)＝1.
3．若函数 f(x)＝x2，则曲线 y＝f(x)在 x＝21处的切线斜率为(
求曲线方程或切线方程时，应注意： (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足 切线方程； (2)曲线在切点处的切线的斜率，即对应函数在该点处的导数． (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
已知函数 y＝kx 是曲线 y＝ln x 的一条切线，则 k＝________.
5．求下列函数的导数： (1)y＝ x3； (2)y＝cosπ2－x； (3)y＝( 3)x.
解：(1)y′＝(x23)′＝32x . (2)∵y＝cosπ2－x＝sinx， ∴y′＝(sinx)′＝cosx. (3)y′＝[( 3)x]′＝( 3)xln 3＝21( 3)xln 3.

人教版高二数学选修2-2导数及其应用《函数单调性与导数》课件(共33张PPT)

人教版高二数学选修2-2导数及其应用《函数单调性与导数》课件(共33张PPT)
x
内是减函数
方程根的问题
1 求证：方程 x sin x 0只有一个根。 2
1 f ( x ) x - sin x,x ( , ) 2 1 f '( x ) 1 cos x 0 2 f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x )=0 1 方程x sin x 0有唯一的根x 0. 2
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?
(2)能用单调性的定义吗?
发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很
麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时
2 f '(x) 0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x
a -1
练习2 已知函数f (x)=2ax - x ，x (0, 1],a 0,
3
若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
3 [ , ) 2
变式2.函数y=ax bx 6 x 1的
x x 在x (0, )上单调递减.
(0, )
练习：求下列函数的单调区间.
(1) f ( x) x ln x (2) f ( x) e x x 1
变式2：求f ( x) 2 x 6ax 7(a 0) 的单调减区间
3 2
解：
2 f ( x)＝6x 12ax
候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．
函数的单调性可简单的认为是：
f ( x2 ) f ( x1 ) 若 0, 则函数f ( x)为增函数 x2 x1

5.2.1 基本初等函数的导数(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

5.2.1 基本初等函数的导数(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

[典例 2]已知曲线 y＝ x,求： (1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程； (2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
[跟踪训练]当常数 k 为何值时,直线 y＝x 与曲线 y＝x2＋k 相切? 请求出切点．
解:设切点为 A(x0，x20＋k)．
∵y′＝2x，
2x0＝1， ∴
[大本例 3] 某质点沿直线运动，位移 y(单位：m)与时间 t(单位：s)之间
的关系为
y(t)＝sin
t，则质点在
t＝π3
s
1 时的速度为__2______
m/s；质点运
动的加速度为__－__si_n_t__ m/s2.
分析：利用导数的物理意义解决问题．
[大本例4] 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存 在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝x
f′(x)＝ 1
f(x)＝x2 f(x)＝1x
f(x)＝ x
f′(x)＝ 2x f′(x)＝ －x12
1
f′(x)＝ 2 x
x1
知识探究2:基本初等函数的导数公式
原函数
① f(x)＝c(c为常数)
②f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
③f(x)＝sinx ④f(x)＝cosx ⑤f(x)＝ax(a>0且a≠1) ⑥f(x)＝ex
线的切线互相垂直？并说明理由。
解：不存在．理由如下：假设曲线y＝sin x，y＝cos x存 在一个公共点，其坐标为P(x0，y0)，则这两条曲线在P(x0， y0)处的切线的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1， 也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．

人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.2.1 基本初等函数的导数【课件】

人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.2.1 基本初等函数的导数【课件】

思考题 3 (1)曲线 y＝ln x 在点 P 处的切线方程为 x－ey＝0，则切点为
___(e_，__1)__． 【解析】 y′＝(ln x)′＝1x，设切点为 P(x0，y0)， 则切线的斜率为x10＝1e，∴x0＝e. ∴y0＝ln x0＝ln e＝1. ∴切点为(e，1)．
(2)已知直线 x＋2y－4＝0 与抛物线 y2＝4x 相交于 A，B 两点，O 是坐标原点， 试在抛物线的弧 AOB 上求一点 P，使△ABP 面积最大．
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
2．函数 y＝ex 的导数与函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的导数有何关系？ 答：因为(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a，所以当 a＝e 时，(ex)′＝(ax)′.
课时学案
题型一 简单函数的求导
例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝x14；(3)y＝x x；
(4)y＝log2x；(5)y＝2sin
x 2cos
x 2.
【思路分析】 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以
直接应用公式的基本函数的形式，如 y＝x14可以写成 y＝x－4，y＝5 x3＝x35等，这 样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算错误．
【解析】 (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45. (3)y′＝(x32)′＝32x12＝32 x. (4)y′＝(log2x)′＝xln1 2. (5)∵y＝sin x，∴y′＝cos x.

5.2.2导数的四则运算法则课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.2导数的四则运算法则课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
’()和’()有什么关系？
导数的运算法则1:
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g
继续以 = ， = ，为例。′ = 2，
′ = 1.
你猜函数的积商关系和导数的积商关系是
怎样的？
已知 = 2 ， = 。′ = 2，′ = 1.

课本P78
练习
3
课堂小结
本小节结束
F佳

′
′
=
3
′

=
2
3 ，
′
= 2 ⋅ 1 = 2，
′
所以[ ()]′ ≠ ′().
已知 = 2 ， = 。′ = 2，′ = 1.


′
2 ′

=


所以

′
=
′()
≠
.
′()
′
′() 2
3
（1） = e ； （2） = 2 ;

解:
2.求下列函数的导数∶
(1)y=2x3-3x²-4;
(4)y=（x²+2x） ;
(2)y=3cosx＋2x;

(5) =
;

(3)y=exln x;
(6)y=tan x.
课本P78
练习
2
3.求曲线
3
y=x²+ 在点（1，4）处的切线方程.
1
特别地 , 若f ( x ) = lnx, 则f' ( x ) = .
x
求切线方程的步骤：
导数的四则运算法则
F佳
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’？

5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

例 5 下图是人体血管中药物浓度 c f (t) （单位： mg / mL ）随时间 t（单位：min） 变化的函数图象，根据图象，估计 t 0.2 ，0.4，0.6，0.8 min 时，血管中药物浓度 的瞬时变化率（精确到 0.1）.
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬吋变化率，就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导
从 f (x0 ) 变化到 f (x0 Δx) . 这时，x 的变化量为 Δx ，y 的变化量
为 Δy f (x0 Δx) f (x0 ) .
把比值
Δy Δx
Δy ，即 Δx
f (x0
Δx) Δx
f (x0 )
叫做函数 y
f (x)
从 x0 到
x0 x 的平均变化率.
如果当 Δx 0 时，平均变化率 Δy 无限趋近于一个确定的值， Δx
答案：D 解析：由题意，得 f (5) 5 5 0 ， f (5) 1.故选 D.
2.若函数 f (x) 在 x x0 处存在导数，则 lim f x0 h f x0 的值( )
h0
h
A.与 x0 ，h 都有关
B.与 x0 有关，与 h 无关
C.与 h 有关，与 x0 无关
D.与 x0 ，h 都无关
1.4
，所以
f
(0.8)
1.4
.
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
t
0.2
0.4
0.6
0.
药物浓度的瞬时变化率 f (t)
0.4
0
-0.7
-1
5.导函数的概念
从求函数 y f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到，当 x x0 时， f (x0 ) 是一个
唯一确定的数. 当 x 变化时， y f (x) 就是 x 的函数，称它为 y f (x) 的导函数

第二学期高二数学人教A版选修22.2导数的概念精品PPT课件

第二学期高二数学人教A版选修22.2导数的概念精品PPT课件

y' |xx0 表 示 函 数 y关 于 自 变 量x在x0处 的 导 数.
1 .平 均 变 化 率 ： y f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 x ) f(x 1 )
x x 2 x 1
x
2．瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在_某__一__时__刻___的速度称为瞬时速度．
易混点
1.h(t0t)h(t0) [4.9(t0t)26.5(t0t)10](4.9t026.5t010) 4.9(t022t0tt2)6.5t06.5t104.9t026.5t010 9.8t0t4.9t26.5t 2 .v h th (t0 tt) h (t0 ) 9 .8 t0 t 4 .9 t t2 6 .5 t 9 .8 t0 4 .9 t 6 .5 3 .求 当 t趋 于 0 时 ， v 趋 于 的 值 ? lit m 0 ( 9 .8 t0 4 .9 t 6 .5 ) 9 .8 t0 6 .5 4 . 当 t 0 = 2 时 ， l i t m 0 ( 9 . 8 t 0 4 . 9 t 6 . 5 ) 9 . 8 2 6 . 5 = 1 3 . 1
肇庆学院附属中学 郑瑞华老师
复习回顾 1.1.1变化率问
题 具 体 实 例 ( 数 学 上 ) ： 函 数 yf(x )的 图 象 分 别 如 下 ，
求 [ 0 , 3 ] 上 的 平 均 变 化 率 ？
y
y
y
10
10
10
3x
3x
3x
（1）
（2）
（3）
yf(3)f(0)10, x 30 3
yf(3)f(0)10, x 30 3
但是x 0到底是个啥？ 无穷小量究竟是不是0？ 无穷小及其分析是否合理？

人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答

高二下学期数学人教A版选择性必修第2册5.2.1基本初等函数的导数公式及运算法则课件

高二下学期数学人教A版选择性必修第2册5.2.1基本初等函数的导数公式及运算法则课件

导数的四则运算法则
(u v) u v
(uv) uv uv
u v
uv uv v2
(v 0)
1.y f (x) c
y 0
2.y f (x） x
y 1
3.y f (x) x2
y 2x
5.y f (x) x3
y 3x2
4.y f (x) 1
x
y
1 x2
6.y f (x) x
y 1 2x
公式3 (sin x)' cos x.
公式4 (cos x)' sin x.
解：因为y=2sinx+x2
y'=2cosx+2x
y |x0 2， 即k 2 又 当x 0时 ，y 0,即 切 点 为(0,0)。 切 线 方 程 为 ：y 2 x
3、商的导数
u v
uv uv v2
(v 0)
例3：求
y x 2 的导数。 sin x
解：y
( x2 ) sin x sin 2
或y ' |x x0 ,即
f
y
'(
x0 )
lim
x 0
x
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
当x变化时，f '( x)是x的一个函数，我们称
它为f ( x)的导函数（简称导数）.即
y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x) .
x 0
x
2.导数的几何意义：f '( x0 )是曲线y f ( x)在切 点P( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率.
f ' (1)等 于___e ___

人教版高中数学选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数【课件】

人教版高中数学选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数【课件】

4.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( B )
A.1条
B.2条
C.3条
D.不确定
解析
∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则
3x20＝1，得
x0＝± 33，即在点
33，
3 9
和点－ 33，－ 93处有斜率为 1 的切线.所以有 2 条切线.
5.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( A )
提示 若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln 4.
2.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( C )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
3.若 f(x)＝sin x，则 f′π6＝( D )
A.－12
B.－
3 2
C.12
解析
f′(x)＝cos
则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环， 故f2 021(x)＝f4×505＋1(x)＝f1(x)＝－sin x.
∴所求切线方程为 y＋ln 4＝4x－14，
即4x－y－1－ln 4＝0.
题型三 导数公式的实际应用
【例5】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间 t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年 头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611， ln 1.1＝0.095) 解 由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1， 所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.

高二数学人教A版选择性必修第二册：5.2导数的运算课件册

高二数学人教A版选择性必修第二册：5.2导数的运算课件册
2

(1)y＝2x ＋3x －5x＋4； y 6 x 6 x 5
3
2

y

3
ax
b
(2)y＝ax －bx＋c；
3
2
(3)y＝sinx－x＋1；
y cos x 1
2
(4)y＝(3x ＋1)(2－x)； y 9 x 2 12 x 1
2
2
(5)y＝(1＋x )cosx；
例2 求下列函数的导数
(1)y＝x3＋sin

x；（2） = ； （3） =

；


(4)y=tan x .
解：(1)y′＝(x3＋sin x)′ ＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x.
（2）’ = ( )’ = ( )’ + ( )’ = +
问题引入
引言： 由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.
在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很
多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得
到的.
问题：我们能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数
的“运算法则”，再利用导数的运算法则和基本初等函数的导
数求出复杂函数的导数呢？
’
’
()

−
()
(
)
’
’
（3） = ( ) =

( )
−
−
=
=


典 型 例 题 利用导数的四则运算法则求函数的导数
例2 求下列函数的导数
(1)y＝x3＋sin

x；（2） = ； （3） =

5.1.2 导数的概念及其意义课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其意义课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的
导数h′(1)，即
v(1) h(1) lim h(1 t) h(1) 5.
t 0
t
问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函 数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即
k0
f (1)
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
是一个常数，你能说出这个常数的意义吗？
结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题思考.
类似地，运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和 瞬时变化率:
1. 平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y
巩固练习
练习.比较函数 f(x)＝2x 与 g(x)＝12x－1 在区间[a－1，a](a<0)上的 平均变化率的大小．
解:f(x)＝2x 在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为 faa－－fa－a－11＝2a－2a－1＝2a－1；
g(x)＝12x－1 在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为 gaa－－ga－a－11＝12a－1－121a－1－1＝12.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. f (6) 5 表示在第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率为 5℃/h， 这说明在第 6 h 附近，原油温度大约以 5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
巩固练习
练习.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为y v(t) t 2 6t 60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它 们的意义. 解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6).

5.1 导数的概念及其意义(导数的几何意义)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义(导数的几何意义)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
)
(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
)
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的几何意义与函数图象
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区
间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区
间[a,b]上的大致图象可能是(
)
解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)
(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
y
(+Δ)2 +(+Δ)-2-( 2 +-2)
解:(1)y'= lim =
=2x+1.
Δ
Δ→0 x x→0
因为直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.

Δ
x→0
= lim (4x+2Δx)=4x.
Δ→0
(1)∵切线的倾斜角为45°,
∴切线的斜率为tan 45°=1.
设切点的坐标为(x0,y0),则 y'|= =4x0=1,解得
0
∴该切点的坐标为
1 9
,
4 8
.
1
x0= ,
4
(2)∵切线平行于直线4x-y-2=0,
∴切线的斜率为4.
则切线的斜率 k=2x0.
切线方程为 y-x02 =2x0(x-x0),将点(-1,0)的坐标代入,
得-x02 =2x0(-1-x0),解得 x0=0 或 x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=0,过点(-1,0)的切线方程为y=0;
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/ /
导数的几何意义
函数 f (x) 在 x = x0 处的导数就是曲线 f (x) 在点 P（ x 0 ， f ( x0 ) ）处的 f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) k = lim = f / ( x0 ) ． 切线的斜率，即 ∆x → 0 ∆x
基本初等函数的导数公式
c = 0 （ c 为常数） ；
[ f ( x) ± g ( x)] / = f / ( x) ± g / ( x) ；
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x) ；
/ / /
[cf ( x)]
/
/
= cf ( x) （ c 为常数） ；
/
f ( x) f / ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g / ( x) （ g ( x) g ( x) = 2 [g ( x)]
知识回顾
导数的概念
一 般 地 ， 函 数 y = f (x) 在 x = x 0 处 的 瞬 时 变 化 率 是
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim ，我们称它为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的 ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y / / / lim lim 导数，记作 f ( x 0 ) 或 y x = x0 ，即 f ( x0 ) = ∆x→0 = ∆x→0 ； ∆x ∆x lim
2 变式 1、已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) = 2 f (2 − x) − x + 8 x − 8 ，求曲
线 y = f ( x) 在点（1， f (1) ）处的切线方程．
f ( x ) = 2 f (2 − x ) − x 2 + 8 x − 8 得 解：方法一 由
f (2 − x) = 2 f ( x) − (2 − x) 2 + 8(2 − x) − 8 ， 2 f ( x) − f (2 − x) = x 2 + 4 x − 4 ，∴ f ( x) = x 2 ∴ f / ( x) = 2 x ， 即
y/ = x x2 +1
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
1 2 (1) y = − 2 ; x x x (2) y = ; 2 1− x (3) y = tan x ; (4) y = (2 x 2 − 3) 1 + x 2 ;
1 4 答案: 答案 (1) y′ = − 2 + 3 ; x x
∴切线方程为 y − 1 = 2( x − 1) ，即 2 x − y − 1 = 0 ．
2 方法二 由 f ( x) = 2 f (2 − x) − x + 8 x − 8 得 f (1) = 1 ，
且f
/
(x ) = 2 f / (2 − x ) ⋅ (2 − x )/ − 2 x + 8 = −2 f / (2 − x ) − 2 x + 8 ，
/ 令 x=1，得到 f (1) = 2 ，
∴切线方程为 y − 1 = 2( x − 1) ，即 2 x − y − 1 = 0 ．
y = x 3 在点 P（1，1）处的切线方程． 例 2、求曲线
y = x 3 相切的直线的方程． 变式 2、求过点 P（1，1）且与曲线
/ 2 2 解：设切点（ m ， m 3 ） ，由 y = 3x 得切线的斜率 k = 3m ，
≠ 0） ．
复合函数的导数
u 复合函数 y = f ( g ( x )) 的导数和函数 y = f (u ) ， = g (x ) 的导数间的关系
为 y x = y u ⋅ u x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 数的乘积．
/ / /
例题评析
例 1、求下列函数的导数
n
f ( x) = x 3 + 2bx 2 + cx − 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方 2、已知函数
程是 y = 5 x − 10 ． （1）求函数 f ( x) 的解析式； （2）求证：直线 3x + y + m = 0 不可能是函数 f (x ) 图像的切线．
故所求切线方程为 3 x − y − 2 = 0 或 3 x − 4 y + 1 = 0 ．
课堂小结
导数的概念； 基本初等函数的导数、导数的运算法则和复合函数的导数；
导数的几何意义．
思考
1、对正整数 n，设曲线 y = x (1 − x) 在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵 an 坐标为 a n ，求数列 n + 1 的前 n 项和 S n ．
y − m 3 = 3m 2 ( x − m) ∴切线方程为
∵切线过点 P（1，1） ， 3 2 ∴ 1 − m = 3m (1 − m) ，即 2 m
+1 = 0 1 2 整理得 (m − 1) (2m + 1) = 0 ，∴ m = 1 或 m = − ， 2 故所求切线方程为 3x − y − 2 = 0 或 3 x − 4 y + 1 = 0 ．
x （1） y = ； 1− x2
x2 +1 y/ = (1 − x 2 ) 2
y = e x ( x 2 + 3x + 1) ； （2）
（3） y = 2 x sin(2 x + 5) ； （4） y = ln( x + 1) ．
2
y / = e x ( x 2 + 5 x + 4)
y / = 2 sin( 2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5)
∴切线方程为 3 ∵切线过点 P（1，1） ，பைடு நூலகம்a ≠3 0 2 2 − 2m 3 ∴ 1 3m = 3m (1 − m) ，即a = 3 − 3 m + 1 = 0 ∴ ，解得 ． a f (0) ⋅ f ( )2 = 0 1 1 整理得 (m −3) (2m + 1) = 0 ，∴ m = 1 或 m = − ， 2
/
( x ) = nx
n /
n −1
n ∈ Q* ） （ ；
(sin x) / = cos x ；
(a x ) / = a x ln a ；
1 (log a x) = ； x ln a
/
(cos x) / = − sin x ；
(e x ) / = e x ；
1 (ln x) = ． x
/
导数的运算法则
1 + x2 (2) y′ = ; 2 2 (1 − x )
(4) y′ = 6x3 + x 1+ x
2
1 ′= ( 3) y ; 2 cos x
;
3 例 2、求曲线 y = x 在点 P（1，1）处的切线方程．
y / = 3x 2 ，∴切线斜率 k = 3 ， 解： 故所求切线方程为 3 x − y − 2 = 0 ．
/ 当 x = x0 时， f ( x 0 ) 是一个确定的数．当 x 变化时， f ( x) 便是 x 的
/
一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数（简称导数） y = f (x) 的导函数 ， 有时也记作 y
/
f ( x + ∆x) − f ( x) lim ，即 f ( x) = y = ∆x→0 ． ∆x
3 2
− 3m
y = x 3 − ax 2 的切线通过（0，1）点，且通过（0，1）点 变式 3、曲线
的切线有两条，求实数 a 的值． 解：设切点为（ m ， m 3 − am 2 ） y / = 3 x 2 − 2ax ，∴切线斜率 k = 3m 2 − 2am ， ∵
y − (m 3 − am 2 ) = (3m 2 − 2am)( x − m) ， 则切线方程为 ∵切线过（0，1） ， 3 2 2 3 2 ∴ 1 − (m − am ) = (3m − 2am)(0 − m) ，即 2 m − am + 1 = 0 ， 3 2 y =f x 3 相切的直线的方程． 变式 2、求过点 m − am + 1 ，则方程 ( m) = 0 有两解． 设 f (m) = 2 P（1，1）且与曲线 / 2 2 解：设切点（ m ，2m 3 ） ，由 y = 3x 得切线的斜率 k = 3m ， a / m= ， − 23 0 由 f (m) = 6my − mam =m 2 ( xm m)0 或 =3 得 −=