算法设计期中试卷、平时作业参考解答
《算法分析与设计》2012-2013-2学期期中测试（信息安全专业DQ 教学班）
姓名： 学号： 得分：
1. 证明()()()()()()()O f n O g n O f n g n +=+。（10分）
证明：对于任意f 1(n ) ∈ O (f (n ))，存在正常数c 1和自然数n 1，使得对所有n ≥ n 1，有f 1(n ) ≤ c 1f (n )成立。
类似，对于任意g 1(n ) ∈ O (g (n ))，存在正常数c 2和自然数n 2，使得对所有n ≥ n 2，有g 1(n ) ≤ c 2g (n )成立。
令c 3 = max{c 1, c 2}，n 3 = max{n 1, n 2}，则对所有的n ≥ n 3，有 f 1(n ) +g 1(n ) ≤ c 1f (n ) + c 2g (n ) ≤ c 3f (n ) + c 3g (n )
= c 3(f (n ) + g (n ))
即()()()()()()()O f n O g n O f n g n +=+成立。
2. 将下列5个函数按渐近增长率由低至高进行排序，要求写出比较过程。（15分）
100log 2log loglog 12345()(log ),()log ,()log ,()2,()n n n n f n n n f n n f n n n f n f n +=====
解： 100log 2log log log 24()log 100log ,()2log ,n n n f n n n f n n n +====
(1) 2()f n 是对数函数的幂，5()f n 是幂函数，因此()25()()f n O f n =; (2) ()()()49101105log lim
lim
lim log n n n f n n n
n n f n n →∞
→∞→∞===∞，因此()54()()f n O f n =; (3) ()()
423log 1lim
lim
lim 0log n n n f n n n f n n n n
→∞
→∞→∞===，因此()43()()f n O f n =;
(4) 对1()f n 和3()f n 取对数，有
()()() 13log ()log loglog loglog ,log ()2log loglog log f n n n n n n n f n n n n =+=Θ=Ω=+=Θ，
因为()log n O n =，所以()31()()f n O f n =;
因此，5个函数按渐近增长率由低至高排序为25431(),(),(),(),()f n f n f n f n f n 。
3. 给定按升序排列的n 个不同整数存于数组a [1:n ]中，请设计()log O n 的算法找到下标i ，1i n ≤≤，使得a [i ] = i ，如不存在这样的下标，则返回0。（15分） 解：
令head = 1, rear = n .
(1) 当head <= rear 时，令mid = ?(head + rear)/2?； (2) 如果a [mid] = mid ，返回mid 值，结束。
如果a [mid] > mid ，令rear = mid – 1，返回(1)继续执行； 如果a [mid] < mid ，令head = mid + 1，返回(1) 继续执行； (3)返回0值，结束。
public static int Search(int [] a, int n)
{
// 在 a[0] <= a[1] <= ... <= a[n-1] 中搜索 a[i] = i // 找到a[i] = i时返回i，否则返回0
int left = 0; int right = n – 1;
while (left <= right)
{
int mid = ?(left + right)/2?;
if (a[mid] == mid) return mid;
if (a[mid] > mid) right = mid – 1;
else left = mid + 1;
}
return 0; // 未找到a[i] = i
}
4. 利用主方法给出下列递归式的渐近界，并用数学归纳法证明式(2)的渐近界。（20分）
(1) ()()42T n T n n =+, (2) ()()242T n T n n =+, (3) ()()342T n T n n =+
解：(1) 24,2,log log 42,b a b a ==== ()()2, if 0.5,f n n O n εε-=== 因此，()()2T n n =Θ.
(2) 24,2,log log 42,b a b a ==== ()()22,f n n n ==Θ
因此，()()
2log T n n n =Θ.
(3) 24,2,log log 42,b a b a ==== ()(
)
32, if 0.5,f n n n εε+==Ω=
而且()()()3
334242234,f n n n n cf n ==≤=其中34n =， 因此，()()
3T n n =Θ.
证明：假设当k n <时，()2log T k ck k ≤，其中c 为常数。
()()()()()()2
2
22222242 42log 2 log 1 log 1 log if 1
T n T n n c n n n cn n n cn n c n cn n c =+≤+=-+=--≤≥
因此，命题得证。
5. 利用直接展开法求解下列递归式的渐近界。（20分）
(1) ()()242T n T n n =+, (2) (
)T n n =+
解：(1)
()()()()
()()()
()()()()()2
2222222
232423322log log 2222424422422442224234242log 1log log k k n n T n T n n T n n n T n n T n n n T n n T n kn T n n n n T n n O n n =+=++=+=++=+==+==+=+=L
L
(2) (
)T n n =+ (
)()()()()(
)()
12
121414
181812
12
1
11 111 2 , 2
k
k
T n n
T n
T n n n T n n T n n T n k
n T k =
+=+=++=
+++==
+='=
+L L
其中122k
n '
=，则
6. 某超市中有n 种商品搞活动，每种商品i 的重量是w i ，其价格为v i ，现在给你发一个容量为C 的购物车，你可以在这n 种商品中选一些放入你的购物车中免费带走。但是要求所选的商品重量之和不能大于购物车容量C ，而且超市中每种商品每人最多选两件。请问在这种情况下你如何选择商品使得你能带走的免费商品的价格达到最大？（20分）
(a) 为该问题设计一个动态规划算法，要求写出分析过程和递归式。
(b) 若该超市共有3种商品搞活动，商品的价值依次为v = (25, 30, 15)，商品的重量依次为w = (2, 3, 1)，购物车容量为C = 5。运用自底而上的方法求解上述问题，要求画出表格，并给出最优解与最优值！
解： 方法1
? 将n 种商品全部复制一份得到2n 种商品，这样每种商品最多只能选择1件。 ? 定义m (i , j )为购物车容量为j ，由第1, …, i 种商品装入购物车的最优值。 ? Case 1: 不选择第i 种商品
? 则m (i , j )为当重量限制为j 时，{1, …,i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值 ?
Case 2: 选择第i 种商品. ? 新的重量限制为 j – w i
? m (i , j – w i ) 为新重量限制下，{1, …, i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值
因此，递归式如下：
()()()(){}0if 0 or 0,1,if max 1,,1,otherwise
i i i i j m i j m i j w j
m i j v m i j w ?==??
=->??-+--??
最优解：选择商品1,1’,3, 即选择两个商品1, 一个商品3 最优值 = 25+25+15=65
方法2
? 定义m (i , j )为购物车容量为j ，由第1, …, i 种商品装入购物车的最优值。 ? Case 1: 不选择第i 种商品
? 则m (i , j )为当重量限制为j 时，{1, …,i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值 ?
Case 2: 仅选择1格第i 种商品. ? 新的重量限制为 j – w i
? m (i , j – w i ) 为新重量限制下，{1, …, i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值 ?
Case 3: 选择两个第i 种商品 ? 新的重量限制为 j – 2w i
? m (i , j – 2w i ) 为新重量限制下，{1, …,i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值
因此，递归式如下：
()(
)()(){}
()()()0
if 0 or 0
1,if max 1,,1,if <2,1,,1,,max if 221,2i i i i i i i i
i i i j m i j
j w m i j v m i j w w j w m i j m i j v m i j w j w v m i j w ==??-
-+--<=????-+--??
?>???
+--?????
最优解：选择两个商品1, 一个商品3 最优值
= 25+25+15=65
第2章作业：算法分析基础 1. 算法与程序的区别
(1).算法特性之一是有穷性，程序不一定满足有穷性。
(2). 计算机程序是用来给计算机读的，而算法是给人来读的，直接将算法输入计算机是不能运行的。
(3).算法是解决问题的一种方法或一个过程，而程序则是算法用某种程序设计语言的具体实现。 2. 将下列函数按渐进增长率由低到高排列出来。
(
)()(
)()()()2
4/3
log 2log 123456,,(log ),2,,n
n n n f n f n n f n f n n n f n f n n ===
===
令log m n =，则有
()()()()()()()()()1113344266log ,
2
log log ,
3log log log ,log ,
g n f n m g n f n m g n f n m m m m n g n f n m ======+=Θ==
显然上述4个函数的渐近增长率排序为()()()()3146g n g n g n g n ≤≤≤；
()()()()()()22255266log log ,log 2,log log ,
n g n f n n n g n f n g n f n n ======
显然上述3个函数的渐近增长率排序为()()()625g n g n g n ≤≤；
因此，原函数的渐近增长率排序为()()()()()()314625f n f n f n f n f n f n ≤≤≤≤≤。
3. 已知()()()g n O f n =，证明()()()()f n g n O f n +=。
证明：因为()()()g n O f n =，存在正常数c 0和自然数n 0，使得对所有n ≥ n 0，有()()0g n c f n ≤成立。
令c 1 = c 0 + 1，则对所有的n ≥ n 0，有 f (n ) +g (n ) ≤ f (n ) + c 0f (n ) ≤ (1 + c 0)f (n ) = c 1f (n )
即()()()()f n g n O f n +=成立。
习题1 1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现 在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次， 图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草 图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点 1， 一次步行 2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点 该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。 2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 =m-n 2.循环直到r=0 m=n n=r r=m-n 3 输出m 3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。 编写程序，求n 至少为多大时，n 个“1”组成的整数能被2013整除。 #include
for(int n=1;n<=10000 ;++n) { value=value*10+1; if(value%2013==0) { cout<<"n至少为:"<
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2008学年第一学期考试科目：算法分析与设计考试类型：（闭卷）考试时间：120 分钟学号姓名年级专业 一、选择题（20分，每题2分） 1.下述表达不正确的是。 A．n2/2 + 2n的渐进表达式上界函数是O(2n) B．n2/2 + 2n的渐进表达式下界函数是Ω(2n) C．logn3的渐进表达式上界函数是O(logn)
D．logn3的渐进表达式下界函数是Ω(n3) 2.当输入规模为n时，算法增长率最大的是。 A．5n B．20log 2n C．2n2 D．3nlog 3 n （n）表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是。 A．T（n）= T（n – 1）+1，T（1）=1 B．T（n）= 2n2 C．T（n）= T（n/2）+1，T（1）=1 D．T（n）= 3nlog 2 n 4.在棋盘覆盖问题中，对于2k×2k的特殊棋盘（有一个特殊方块），所 需的L型骨牌的个数是。 A．（4k– 1）/3 B．2k /3 C．4k D．2k 5.在寻找n个元素中第k小元素问题中，若使用快速排序算法思想， 运用分治算法对n个元素进行划分，应如何选择划分基准下面答案解释最合理。 A．随机选择一个元素作为划分基准 B．取子序列的第一个元素作为划分基准
C．用中位数的中位数方法寻找划分基准 D．以上皆可行。但不同方法，算法复杂度上界可能不同 6.有9个村庄，其坐标位置如下表所示： 现在要盖一所邮局为这9个村庄服务，请问邮局应该盖在才能使到邮局到这9个村庄的总距离和最短。 A．（，0）B．（，）C．（5，5）D．（5，0） 个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小，水桶必须打满水，水流恒定。如下说法不正确 A．让水桶大的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小 B．让水桶小的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小
《计算机算法设计与分析》习题及答案 一．选择题 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树 5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 6、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 7、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 8. 实现循环赛日程表利用的算法是（A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 9．下面不是分支界限法搜索方式的是（D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法
11.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 12．哈夫曼编码的贪心算法所需的计算时间为（B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n） 13．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（B ）。 A、最小堆 B、最大堆 C、栈 D、数组 14．最长公共子序列算法利用的算法是（B）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 15．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A ）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 16.下面是贪心算法的基本要素的是（C ）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解 17.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ D ） A.满足显约束的值的个数 B. 计算约束函数的时间 C.计算限界函数的时间 D. 确定解空间的时间 18.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（B ） A．递归函数 B.剪枝函数 C。随机数函数 D.搜索函数 19. （D）是贪心算法与动态规划算法的共同点。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、最优子结构性质 20. 矩阵连乘问题的算法可由（ B ）设计实现。 A、分支界限算法 B、动态规划算法 C、贪心算法 D、回溯算法 21. 分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（ A ）。
第一章 15P 1-3. 最大公约数为1。快1414倍。 主要考虑循环次数，程序1-2的while 循环体做了10次，程序1-3的while 循环体做了14141次（14142-2循环） 若考虑其他语句，则没有这么多，可能就601倍。 第二章 32P 2-8.（1）画线语句的执行次数为 log n ????。(log )n O 。划线语句的执行次数应该理解为一格整体。 （2）画线语句的执行次数为 111 (1)(2) 16 j n i i j k n n n ===++= ∑∑∑。3()n O 。 （3 ）画线语句的执行次数为 。O 。 （4）当n 为奇数时画线语句的执行次数为 (1)(3) 4 n n ++， 当n 为偶数时画线语句的执行次数为2 (2)4 n +。2()n O 。 2-10.（1）当1n ≥时，225825n n n -+≤，所以，可选5c =，01n =。 对于0n n ≥，22 ()5825f n n n n =-+≤，所以，22 582()n n n -+=O 。 （2）当8n ≥时，2222 582524n n n n n -+≥-+≥，所以，可选4c =，08n =。对于0n n ≥， 22()5824f n n n n =-+≥，所以，22582()n n n -+=Ω。 （3）由（1）、（2）可知，取14c =，25c =，08n =，当0n n ≥时，有22212582c n n n c n ≤-+≤，所以 22582()n n n -+=Θ。 2-11. (1) 当3n ≥时，3 log log n n n <<，所以()20log 21f n n n n =+<，3 ()log 2g n n n n =+>。可选21 2 c = ，03n =。对于0n n ≥，()()f n cg n ≤，即()(())f n g n =O 。注意：是f (n )和g (n )的关系。 （2）当4n ≥时，2 log log n n n <<，所以2 2 ()/log f n n n n =<，2 2 ()log g n n n n =≥。可选1c =，04n =。对于0n n ≥，2 ()()f n n cg n <≤，即()(())f n g n =O 。 （3）因为log log(log )()(log ) n n f n n n ==，()/log log 2n g n n n n ==。当4n ≥时，log(log )()n f n n n =≥，
《算法设计与分析》期中试卷 一、叙述分治算法的基本思想及一般算法设计模式； 二、叙述动态规划算法的基本步骤及动态规划算法的基本 要素； 三、改进课本P74的Lcs算法，使改进算法不用数组b亦 可在O（m+n）的时间内构造最长公共序列； 四、求下列函数的渐近表达式 (1). 3n2+10n (2).n2/10+2n (3)21+1/n (4)logn3 (5)10log3n 五、对于下列各组函数发f（n）和g（n），确定f（n）=O(（g(n)）) 或者f（n）= (（g(n)）)或者f（n）=θ(（g(n)）)，并简述理由 (1). f（n）=logn2 , g(n)=logn+5; (2). f（n）=logn2 , g(n)= √n; (3), f（n）=n, g(n)= logn2; (4). f（n）=nlogn+n,g(n)=logn; (5). f（n）=10.g(n)=log10; (6). f（n）=log2n g(n)=logn (7). f（n）=2n g(n)= 3n; (8). f（n）=2n g(n)= 100n2;
六、设a[0:n-1]是已排好序的数组，请改写二分搜索算法，使得当 搜索元素x不再数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x 的最小元素位置j。当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x 在数组中的位置 七、设a[0:n-1]是有n个元素的数组，k（0<=k<=n-1）是非负整数。 试设计一个算法将子数组a[0:k]与a[k+1:n-1]换位。要求算法在最坏的情况下耗时O(n),且只用到O(1)的辅助空间。 八、在一个由元素组成的表中出现次数最多的元素称为众数。试写 一个寻找众数的算法，并分析其计算复杂性。 九、设计一个O(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长 单调递增子序列。 十、给定n中物品和一背包，物品i的重量是ω，体积是b i，其价 值为v i ，背包的容量为C，容积为D。问：应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包，不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 试设计一个解此问题的动态规划算法，并分析算法的计算复杂性。
算法实现题3-7 数字三角形问题 问题描述： 给定一个由n行数字组成的数字三角形，如图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。编程任务： 对于给定的由n行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。数据输入： 有文件input.txt提供输入数据。文件的第1行是数字三角形的行数n，1<=n<=100。接下来的n行是数字三角形各行的数字。所有数字在0-99之间。结果输出： 程序运行结束时，将计算结果输出到文件output.txt中。文件第1行中的数是计算出的最大值。 输入文件示例输出文件示 例 input.txt output.txt 5 30 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 源程序： #include "stdio.h" voidmain() { intn,triangle[100][100],i,j;//triangle数组用来存储金字塔数值,n表示行数 FILE *in,*out;//定义in，out两个文件指针变量 in=fopen("input.txt","r"); fscanf(in,"%d",&n);//将行数n读入到变量n中
for(i=0;i
武汉大学计算机学院 算法设计与分析 期中测试 姓名： 学号： 学院： 专业： 一、请用大“O(·)”记号求下列函数的渐进表达式：3n 2 + 10n -1; n 2/10 + 2n +1/n; 14 + 5/n + 1/n 2 ; n n +2log ; 20log3n （10分,每小题2分） 解答： 上述渐进表达式的时间复杂度分别为： 3n 2 + 10n -1 =O(n 2); n 2/10 + 2n + 1/n =O(2n ); 14 + 5/n + 1/n 2=O(1); n n +2log =O(logn); 20log3n =O(n) 二、 令{1},{2},{3},…,{8}是n 个单元素集合，每个集合由一棵仅有一个结点的树表示。请用按秩合并和路径压缩措施的UNION-FIND 算法来执行以下操作序列，并画出每一步操作完成后的树表示。（总分20分）合并和查找操作序列如下所示：UNION （1,2）；UNION （4,3）；UNION （5,6）；UNION （7,8）；UNION （2,6）；FIND （1）；UNION （3,8）；UNION （8,6）；FIND （4）；FIND （5）。要求：UNION 操作在同秩情况下，以后一个结点作为根结点。如UNION （1，2），生成以2为根结点的树。 解答：
(b) (a) UNION （1,2）;UNION （4,3）;UNION （5,6）;UNION （7,8）; (c) UNION （2,6）; (d) FIND （1）; (e) UNION （3,8）;(g)FIND （4 ）; (h) FIND （5）; (f) UNION （8,6）; 三、 设有n 个小球，其中一个是劣质球，其特征是重量较轻，给你一个天平，设计一个分治算法，找出劣质球。（总分15分） （1) 写出算法的主要思路；（5分） （2) 试分析算法的时间复杂度；（5分） （3) 试分析n=9和10，即n 分别为奇数和偶数，两种情形下的分治过程。（5分） 解法：（1）二对分算法思路：
算法设计与分析习题答案1-6章 习题1 1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783) 提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的:北区 一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡(现在东区叫加里宁格勒，在波罗的海南岸)城中全部的七岛区 座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7 南区是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请 图1.7 七桥问题将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是 否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入:一个起点 输出:相同的点 1，一次步行 2，经过七座桥，且每次只经历过一次 3，回到起点 该问题无解:能一笔画的图形只有两类:一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个 奇点的图形。 2(在欧几里德提出的欧几里德算法中(即最初的欧几里德算法)用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n
2.循环直到r=0 2.1 m=n 2.2 n=r 2.3 r=m-n 3 输出m 3(设计算法求数组中相差最小的两个元素(称为最接近数)的差。要求分别给出伪代码和C++描述。 //采用分治法 //对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻的差 #include 《算法设计与分析》历年期末试题整理(含答案) （1）用计算机求解问题的步骤： 1、问题分析 2、数学模型建立 3、算法设计与选择 4、算法指标 5、算法分析 6、算法实现 7、程序调试 8、结果整理文档编制 （2）算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 （3）算法的三要素 1、操作 2、控制结构 3、数据结构算法具有以 下5 个属性： 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间完成。确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出口可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。 算法设计的质量指标：正确性：算法应满足具体问题的需求；可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解；健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。 效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。 经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法 迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代模型。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n 项函数fib（n）。 精品文档习题胡明-版)-王红梅-算法设计与分析(第2答案 1 习题）—1783Leonhard Euler，17071.图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（提 出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：北区一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现东区在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部岛区的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，南区是这条河以及河上的两个岛和七座桥的图1.7 1.7 七桥问题图草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点一次步行1，经过七座桥，且每次只经历过一次2，回到起点3，该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。）用的不是除法而是减最初的欧几里德算法2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n r=0 循环直到2.m=n 2.1 n=r 2.2 r=m-n 2.3 m 输出3 ．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代3++描述。C码和 采用分治法// //对数组先进行快速排序在依次比较相邻的差//精品文档． 精品文档 #include 算法设计课程习题答案 第一章 1-1什么是算法？它与计算过程和程序有什么区别？ 算法是指求解一个问题所需要的具体步骤和方法。它是指令的有限序列。算法有一系列明确定义的基本指令序列所描述的，求解特定问题的过程，它能够对合法的输入，在有限时间内产生所要求的输出，取消有穷性限制则是计算过程；而程序是算法的描述。 1-11使用归纳法证明汉诺塔函数的正确性。 用数学归纳法证明汉诺塔函数对任何n （即n 可以是任何正整数）有解。 （1）当盘子数n =1时，只需直接将此盘从A 柱搬到C 柱即可。 （2）现假设n =k 时有解，即可以将k 个盘子（在不违反规则的情况下）从一个源柱，通过一个中间柱移到目的柱上。 （3）现在证明n =k +1时也有解。开始时A 柱上的k +1个盘子可以看成由k 个盘和最底下的一个最大盘组成。根据归纳假设这k 个盘可以（在不违反规则的情况下）通过C 柱移到B 柱上（在这k 个盘的移动过程中，最大盘可以看成不存在）。完成这一大步后，只要将A 柱上的最大盘直接搬到C 柱上。再根据归纳假设B 柱上的这k 个盘可以（在不违反规则的情况下）通过A 柱移到C 柱上。 至此证明结束。 第二章 2-8确定下列各程序段的程序步，确定划线语句的执行次数，计算它们的渐近时间复杂度。 （1）程序步为n log 1+画线语句的执行次数为log n ????。(log )n O 。划线语句的执行次数 应该理解为一个整体。 （2）画线语句的执行次数为 111 (1)(2)16 j n i i j k n n n ===++= ∑∑∑。3 ()n O 。 （3）画线语句的执行次数为 。O 。 （4）当n 为奇数时画线语句的执行次数为 (1)(3) 4 n n ++， 当n 为偶数时画线语句的执行次数为 2(2)4 n +。2 ()n O 。 2-11设有)(f n 和)(n g 如下所示，分析)(f n 为))((n g O 、))((n g Ω还是))((n g Θ。 (1) 当3n ≥时，3 log log n n n <<，所以 ()20log 21f n n n n =+<， 3()log 2g n n n n =+>。可选 21 2 c = ，03n =。对于0n n ≥，()()f n cg n ≤，即()(())f n g n =O 。注意：是f (n )和g (n )的关系。 (2) 当4n ≥ 时，2 log log n n n <<，所以2 2 ()/log f n n n n =<， 2 2 ()log g n n n n =≥。可选 1c =，04n =。对于 0n n ≥，2 ()()f n n cg n <≤，即 ()(())f n g n =O 。 1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。 2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法 好坏的标准是______________________。 3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是 ____________________________________。 4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y的一个最长公共子序列_____________________________。 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。 6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。 7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。 8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。 9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。 10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。 二、综合题（50分） 1.写出设计动态规划算法的主要步骤。 2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。 1、用计算机求解问题的步骤： 1、问题分析 2、数学模型建立 3、算法设计与选择 4、算法指标 5、算法分析 6、算法实现 7、程序调试 8、结果整理文档编制 2、算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 3、算法的三要素 1、操作 2、控制结构 3、数据结构 算法具有以下5个属性： 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出口 可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。 算法设计的质量指标： 正确性：算法应满足具体问题的需求； 可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解； 健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。 效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。 经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法 迭代法 基本思想：迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。 解题步骤：1、确定迭代模型。根据问题描述，分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型。 2、建立迭代关系式。迭代关系式就是一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的表达式，存储新值的变量称为迭代变量 3、对迭代过程进行控制。确定在什么时候结束迭代过程，这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一 湖南科技学院二○ 年 学期期末考试 信息与计算科学专业 年级《算法设计与分析》 试题 考试类型：开卷 试卷类型：C 卷 考试时量：120 分钟 1. 用O 、Ω和θ表示函数f 与g 之间的关系______________________________。 ()()log log f n n n g n n == 2. 算法的时间复杂性为1, 1()8(3/7), 2 n f n f n n n =?=? +≥?，则算法的时间复杂性的阶 为__________________________。 3. 快速排序算法的性能取决于______________________________。 4. 算法是_______________________________________________________。 5. 在对问题的解空间树进行搜索的方法中，一个活结点最多有一次机会成为活结点的是_________________________。 6. 在算法的三种情况下的复杂性中，可操作性最好且最有实际价值的是_____情况下的时间复杂性。 7. 大Ω符号用来描述增长率的下限，这个下限的阶越___________，结果就越有价值。。 8. ____________________________是问题能用动态规划算法求解的前提。 9. 贪心选择性质是指________________________________________________________ ____________________________________________________________。 题 号 一 二 三 四 五 总分 统分人 得 分 阅卷人 《算法分析与设计》2012-2013-2学期期中测试（信息安全专业DQ 教学班） 姓名： 学号： 得分： 1. 证明()()()()()()()O f n O g n O f n g n +=+。（10分） 证明：对于任意f 1(n ) ∈ O (f (n ))，存在正常数c 1和自然数n 1，使得对所有n ≥ n 1，有f 1(n ) ≤ c 1f (n )成立。 类似，对于任意g 1(n ) ∈ O (g (n ))，存在正常数c 2和自然数n 2，使得对所有n ≥ n 2，有g 1(n ) ≤ c 2g (n )成立。 令c 3 = max{c 1, c 2}，n 3 = max{n 1, n 2}，则对所有的n ≥ n 3，有 f 1(n ) +g 1(n ) ≤ c 1f (n ) + c 2g (n ) ≤ c 3f (n ) + c 3g (n ) = c 3(f (n ) + g (n )) 即()()()()()()()O f n O g n O f n g n +=+成立。 2. 将下列5个函数按渐近增长率由低至高进行排序，要求写出比较过程。（15分） 100log 2log loglog 12345()(log ),()log ,()log ,()2,()n n n n f n n n f n n f n n n f n f n +===== 解： 100log 2log log log 24()log 100log ,()2log ,n n n f n n n f n n n +==== (1) 2()f n 是对数函数的幂，5()f n 是幂函数，因此()25()()f n O f n =; (2) ()()()491105log lim lim lim log n n n f n n n n n f n n →∞ →∞→∞===∞，因此()54()()f n O f n =; (3) ()() 423log 1lim lim lim 0log n n n f n n n f n n n n →∞ →∞→∞===，因此()43()()f n O f n =; (4) 对1()f n 和3()f n 取对数，有 ()()() 13log ()log loglog loglog ,log ()2log loglog log f n n n n n n n f n n n n =+=Θ=Ω=+=Θ， 因为()log n O n =，所以()31()()f n O f n =; 因此，5个函数按渐近增长率由低至高排序为25431(),(),(),(),()f n f n f n f n f n 。 3. 给定按升序排列的n 个不同整数存于数组a [1:n ]中，请设计()log O n 的算法找到下标i ，1i n ≤≤，使得a [i ] = i ，如不存在这样的下标，则返回0。（15分） 解： 令head = 1, rear = n . (1) 当head <= rear 时，令mid = ?(head + rear)/2?； (2) 如果a [mid] = mid ，返回mid 值，结束。 如果a [mid] > mid ，令rear = mid – 1，返回(1)继续执行； 如果a [mid] < mid ，令head = mid + 1，返回(1) 继续执行； (3)返回0值，结束。 一、函数渐进阶。对于下列各组f(x)和g(x)，确定他们的关 系（15分） a)f(x)=log n10+1；g(x)= log n – 10 b)f(x)=5 n10；g(x)=10n c)f(x)=；g(x)= log n +5 二、设n个不同的整数排好序后存于T[0:n-1]中。若存在下 标i，0≤i 1函数渐进阶。对于下列各组f(x)和g(x)，确定他们的关系（15分） a)f(x)=log n10+1；g(x)= log n – 10 b)f(x)=5 n10；g(x)=10n c)f(x)=；g(x)= log n +5 2设n个不同的整数排好序后存于T[0:n-1]中。若下标i，0≤i 第一章作业 1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质 1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f) 证明：充分性。若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得?n≥n0，有f≤c1*g(n)。由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。 必要性。同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得?n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。 2）若f=Θ(g)则g=Θ(f) 证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得?n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。 3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。 证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得?n≥n1，有 F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n)) = c1 f(n) + c1g(n) ≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g} =2 c1*max{f,g} 所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g)) 对于Ω和Θ同理证明可以成立。 4）log(n!)= Θ(nlogn) 证明： ?由于log(n!)=∑=n i i 1 log ≤∑=n i n 1 log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。 ?由于对所有的偶数n 有， log(n!)= ∑=n i i 1 log ≥∑=n n i i 2 /log ≥∑=n n i n 2 /2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。 当n ≥4，(nlogn)/2-n/2≥(nlogn)/4，故可得?n ≥4，log(n!) ≥(nlogn)/4，即log(n!)= Ω(nlogn)。 综合以上两点可得log(n!)= Θ(nlogn) 2. 设计一个算法，求给定n 个元素的第二大元素，并给出算法在最坏情况下使用的比较次数。（复杂度至多为2n-3） 算法： V oid findsecond(ElemType A[]) { for (i=2; i<=n;i++) if (A[1] 《算法设计与分析实用教程》参考解答 1-1 加减得1的数学游戏 西西很喜欢数字游戏，今天他看到两个数，就想能否通过简单的加减，使最终答案等于1。而他又比较厌烦计算，所以他还想知道最少经过多少次才能得到1。 例如，给出16,9：16-9+16-9+16-9-9-9+16-9-9=1，需要做10次加减法计算。 设计算法，输入两个不同的正整数，输出得到1的最少计算次数。（如果无法得到1，则输出-1）。 （1）若输入两个不同的正整数a,b均为偶数，显然不可能得到1。 设x*a与y*b之差为“1”或“-1”,则对于正整数a,b经n=x+y-1次加减可得到1。 为了求n的最小值，令n从1开始递增，x在1——n中取值，y=n+1-x： 检测d=x*a+y*b，若d=1或-1，则n=x+y-1为所求的最少次数。 （2）算法描述 // 两数若干次加减结果为1的数学游戏 #include 第6章程序设计与算法分析 习题(答案) 一、选择题 1. A 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 9. ABCD 10. D 11. C 12. A 13. B 14. D 15. A 二、简答题 1．简述程序的概念。 答：一个程序就是能够实现特定功能的一组指令序列的集合。或者表示为：程序＝算法＋数据结构。 2．结构化程序设计的思想是什么？ 答：结构化程序设计的基本思想就是采用自上而下、逐步求精的设计方法和单入口单出口的控制结构。 3．结构化程序设计的原则是什么？ 答：结构化程序设计的原则是： (1) 使用顺序、选择、循环3种基本控制结构表示程序逻辑。 (2)程序语句组织成容易识别的语句模块，每个模块都是单入口、单出口。 (3)严格控制GOTO语句的使用。 4．结构化程序设计语言采用自顶向下的方法进行程序设计的特点是什么？ 答：利用结构化程序设计语言采用自上而下的方法进行程序设计的特点是： (1) 问题分解成子问题的结构必须与3种基本程序结构之一相对应。 (2) 问题的划分决定了程序的结构。一方面，子问题的划分决定了这一层次的程序是3种基本结构中的哪一种结构；另一方面，一个问题该如何划分成子问题是灵活的，并不是只有一种分解方法。分解的好坏就决定了设计的质量，也决定了程序的不同结构。 (3) 问题的边界应该清晰明确。只有这样才能精确地解决这些子问题，否则就会模棱两可，无从下手。 5．简述面向对象和结构化程序设计的区别。 答：面向对象是从本质上区别于传统的结构化方法的一种新方法、新思路。它吸收了结构化程序设计的全部优点，同时又考虑到现实世界与计算机之间的关系，认为现实世界是由一系列彼此相关并且能够相互通信的实体组成，这些实体就是面向对象方法中的对象，每个对象都有自己的自然属性和行为特征，而一类相似对象的共性的抽象描述，就是面向对象方法中的核心——类。《算法设计与分析》历年期末试题整理_含答案
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