组合数学
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08级《组合数学》考试要求
1.掌握计数的基本原则。
2.掌握排列、组合、T 路、二项式反演公式等的应用。
3.掌握容斥原理及其用应。
4.掌握递推关系的建立和迭代法及用特征根求递推关系解。
5.掌握Catalan 数和Fibonacci 数的性质和计算。
6.掌握常生成函数求法和应用。
7.掌握整数分拆的计数公式及简单应用。
《组合数学》10练习题(08级)
一、填充题:(每题3分,共21分)
1.不含数字2,也不含数字7,且各位数字相异的大于5400的4位数有 个。
2.由n 个人排成一列,要求1号不能排在第一位,2号不排在第二位,共有 种不同排法。
3.甲乙两人比赛乒乓球,最后的比分是20:20,在比赛过程中甲都领先乙的记分情况的种数共有 个。
4.不定方程r x x x n =+++ 21 的非负整数解的个数是 。
5.若)(n ϕ表示不大于n 且与n 互质的自然数的个数,则=)56(ϕ 。
6.)(n π表示不大于n 的质数的个数,则)70(π= 。
7.以n Q 表示由1,2,3,…,n (n ≥2)作成的不含有连续数对的全排列的个数,则5Q 。
二、选择题:(每题3分,共30分)
1.整除632632的正整数的个数是 ( C )
A .48
B .32
C .64
D .72
2.多重集}4,4{b a S ⋅⋅=的6-排列的个数是 ( A )
A .50
B .60
C .70
D .80
3.∑==+n
k k n k
C k 01(-1) (
D )
A .n 1
B .11+n
C .n n )1(-
D .1
)1(+-n n
4.从1到500的整数中,能被3和5都整除但不能被7整除的个数是 ( A )
A .29
B .38
C .27
D .41
5.以),,(n p n r h +表示把r 件相异物件分给n+p 个人,使得预先指定的n 个人中每人至少分得一件物件的不同分法的种数是 ( B )
A . ∑=-+-n k r k n k
k p n C 0)()1( B .∑=-+-n
k k k n k r p n C 0)()1(
C . ∑=-+n k r k n k p n C
0)( D .∑=-+-n
k r k n k k p n C 1)()1( 6.平面上有)2(≥n n 条直线,任意两直线都相交但无三线共点,这n 条直线把平面分成的不连通区域的个数是 ( D )
A .)22(21
2++n n B .)12(21
2++n n C .)1(21
2++n n D .)2(21
2
++n n 7.把平面上的一个凸七边形7A 用4条不相交的对角线分成5个三角形的所有方法数是 ( D )
A .9C
B .8
C C .7C
D .6C
8.Fibonacci 数=)20(f ( C )
A .966
B .1530
C .10946
D .12645
9.数列 )
)2(1(++=n n n a n 的常生成函数是 ( A ) A .4)-(16t t B .4)-(116t t - C .3)-(16t t D .42
)-(16t t 10.=≤)48(3p ( B )
A .21
B .37
C .50
D .74
三、计算题:(每题6分,共18分)
1.解递推关系:⎩
⎨⎧==≥+--=--9,3)2(,24341021a a n n a a a n n n 2.求不定方程1544321=+++x x x x 的非负整数解的个数。
3.求532)321(x x x +++展开式中5x 的系数。
四.证明题:(第1题,每题7分,第2题8分,共15分)
1.求证:0)
1(1=-∑=k n n k k C k
2.证明,用)2(≥m m 种颜色去涂n ⨯1(n ≥2)棋盘,每格涂一种颜色,相邻格子异色,首尾两格也相异的不同涂色方法数以)1()1()1()(--+-=m m n f n n
五、应用题:(每题8分,共16分)
1.一次宴会上有7位来宾寄存他们的帽子,在取回他们的帽子时,有多少种可能使得至少有两位来宾取回他们自己的帽子?
2.由1至1000的整数中,由多少个整数能被4整除,但不能被7也不能被10整除?