高中数学直线与圆的综合问题训练题

直线与圆的综合问题训练题

A 级——保大分专练

1．已知圆C ：x 2

＋y 2

－2x －2my ＋m 2

－3＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则直线x ＝－1与圆C 的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不能确定

解析：选A 由已知得C ：(x －1)2

＋(y －m )2

＝4，即圆心C (1，m )，半径r ＝2，因为圆

C 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以圆心(1，m )在直线l ：x －y ＋1＝0上，所以m ＝2.由

圆心C (1,2)到直线x ＝－1的距离d ＝1＋1＝2＝r 知，直线x ＝－1与圆C 相切．故选A.

2．直线ax ＋1a

y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝r 2

相切，则圆的半径最大时，a 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．±1

D ．a 可为任意非零实数

解析：选C 由题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋1a y ＋2＝0的距离等于半径r ，即

|0＋0＋2|

a 2＋1

a

2

＝r .由基本不等式，得r ≤

22

＝2，当且仅当a 4

＝1，即a ＝±1时取等号．故选C.

3．与圆x 2

＋y 2

＋22y ＋1＝0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．6

解析：选B 圆的标准方程为x 2＋(y ＋2)2

＝1，设切线方程为y ＝kx ＋m ，则|2＋m |k 2＋1＝

1，整理得(2＋m )2

＝k 2

＋1，又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以m ＝－m

k

，联立方

程得⎩

⎪⎨⎪

⎧

2＋m 2＝k 2

＋1，m ＝－m

k ，解得⎩⎪⎨

⎪⎧

m ＝0，k ＝±1

或⎩⎨

⎧

k ＝－1，

m ＝－22，

所以切线方程为y ＝

±x 或y ＝－x －22，切线共有3条．

4．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2

＋y 2

－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )

A ．3

B ．

212

C ．2 2

D ．2

解析：选D 圆C ：x 2＋y 2

－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1.由圆的性质，知S 四边形PACB

＝2S △PBC .∵四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1，则1

2rd min ＝1(d 是切线长)，

∴d min ＝2.∵圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离就是PC 的最小值，∴|PC |min ＝51＋k

2

＝d 2

＋1

＝ 5.∵k >0，∴k ＝2.故选D.

5．(2019·赣州七校联考)已知圆C ：x 2

＋y 2

－2ax －2by ＋a 2

＋b 2

－1＝0(a ＜0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线 3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则

a 2＋

b 2的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C 易知圆的标准方程为(x －a )2

＋(y －b )2

＝1，所以圆心为(a ，b )，由圆心在直线3x －y ＋3＝0上，可得3a －b ＋3＝0，即b ＝3(a ＋1) ①.圆C 上的点到直线 3x ＋y ＝0的距离的最大值d max ＝1＋|3a ＋b |

2＝3＋1，得|3a ＋b |＝2 3 ②.由①②得

|2a ＋1|＝2，又a ＜0，所以a ＝－32

，a 2＋b 2＝a 2＋3(a ＋1)2

＝3.

6．已知实数x ，y 满足(x ＋5)2

＋(y －12)2

＝25，那么x 2

＋y 2

的最小值为________． 解析：由题意得x 2

＋y 2

＝

x －0

2

＋y －0

2

表示点P (x ，y )到原点的距离，所以

x 2＋y 2的最小值表示圆(x ＋5)2＋(y －12)2＝25上一点到原点距离的最小值．又圆心(－5,12)

到原点的距离为

－5

2

＋122＝13，所以x 2＋y 2

的最小值为13－5＝8.

答案：8

7．已知P (x ，y )为圆(x －2)2

＋y 2

＝1上的动点，则|3x ＋4y －3|的最大值为________． 解析：设t ＝3x ＋4y －3，即3x ＋4y －3－t ＝0.由圆心(2,0)到直线3x ＋4y －3－t ＝0的距离d ＝|6－3－t |32＋4

2

≤1， 解得－2≤t ≤8.所以|3x ＋4y －3|max ＝8. 答案：8

8．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2

＋y 2

－4y ＝0相交于

A ，

B 两点，且∠AMB ＝π3

，则实数a ＝________.

解析：直线l 的方程可变形为y ＝1

3ax ＋4，所以直线l 过定点(0,4)，

且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2

＋(y －2)2

＝4，所以圆心为M (0,2)，