扩频通信的理论基础
1.1扩频通信的基本概念
通信理论和通信技术的研究，是围绕着通信系统的有效性和可靠性这两个基本问题展开的，所以有效性和可靠性是设计和评价一个通信系统的主要性能指标。
通信系统的有效性，是指通信系统传输信息效率的高低。这个问题是讨论怎样以最合理、最经济的方法传输最大数量的信息。在模拟通信系统中，多路复用技术可提高系统的有效性。显然，信道复用程度越高，系统传输信息的有效性就越好。在数字通信系统中，由于传输的是数字信号，因此传输的有效性是用传输速率来衡量的。
通信系统的可靠性，是指通信系统可靠地传输信息。由于信息在传输过程中受到干扰，收到的信息与发出的信息并不完全相同。可靠性就是用来衡量收到信息与发出信息的符合程度。因此，可靠性决定于系统抵抗干扰的性能，也就是说，通信系统的可靠性决定于通信系统的抗干扰性能。在模拟通信系统中，传输的可靠性是用整个系统的输出信噪比来衡量的。在数字通信系统中，传输的可靠性是用信息传输的差错率来描述的。
扩展频谱通信由于具有很强的抗干扰能力，首先在军用通信系统中得到了应用。近年来，扩展频谱通信技术的理论和应用发展非常迅速，在民用通信系统中也得到了广泛的应用。
扩频通信是扩展频谱通信的简称。我们知道，频谱是电信号的频域描述。承载各种信息（如语音、图象、数据等）的信号一般都是以时域来表示的，即信息信号可表示为一个时间的函数)(t f 。信号的时域表示式)(t f 可以用傅立叶变换得到其频域表示式)(f F 。频域和时域的关系由式(1-1)确定：
⎰
∞∞--=t e t f f F ft j d )()(π2 ⎰∞
∞-=f e f F t f ft j d )()(π2 (1-1)
函数)(t f 的傅立叶变换存在的充分条件是)(t f 满足狄里赫莱(Dirichlet)条件，或在区间(-∞，+∞)内绝对可积，即t t f d )(⎰∞
∞-必须为有限值。
扩展频谱通信系统是指待传输信息信号的频谱用某个特定的扩频函数（与待传输的信息信号)(t f 无关）扩展后成为宽频带信号，然后送入信道中传输；在接收端再利用相应的技术或手段将其扩展了的频谱压缩，恢复为原来待传输信息信号的带宽，从而到达传输信息目的的通信系统。也就是说在传输同样信息信号时所需要的射频带宽，远远超过被传输信息信号所必需的最小的带宽。扩展频谱后射频信号的带宽至少是信息信号带宽的几百倍、几千倍甚至几万倍。信息已不再是决定射频信号带宽的一个重要因素，射频信号的带宽主要由扩频函数来决定。
由此可见，扩频通信系统有以下两个特点：
(1) 传输信号的带宽远远大于被传输的原始信息信号的带宽；
(2) 传输信号的带宽主要由扩频函数决定，此扩频函数通常是伪随机（伪噪声）编码信号。
以上两个特点有时也称为判断扩频通信系统的准则。
扩频通信系统最大的特点是其具有很强的抗人为干扰、抗窄带干扰、抗多径干扰的能力。这里我们先定性地说明一下扩频通信系统具有抗干扰能力的理论依据。
扩频通信的基本理论根据是信息理论中香农(C ·E ·Shannon)的信道容量公式
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=N S B C 1log 2 (1-2) 式中： C ——信道容量，b/s ；
B ——信道带宽，Hz ；
S ——信号功率，W ；
N ——噪声功率，W 。
香农公式表明了一个信道无差错地传输信息的能力同存在于信道中的信噪比以及用于传输信息的信道带宽之间的关系。
令C 是希望具有的信道容量，即要求的信息速率，对(1-2)式进行变换
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=N S B C 1ln 44.1 (1-3) 对于干扰环境中的典型情况，当1<S 时，用幂级数展开(1-3)式，并略去高次项得
N
S B C 44.1= (1-4) 或
S
N C B 7.0= (1-5) 由式(1-4)和(1-5)可看出，对于任意给定的噪声信号功率比S N /，只要增加用于传输信息的带宽B ，就可以增加在信道中无差错地传输信息的速率C 。或者说在信道中当传输系统的信号噪声功率比N S /下降时，可以用增加系统传输带宽B 的办法来保持信道容量C 不变。或者说对于任意给定的信号噪声功率比N S /，可以用增大系统的传输带宽来获得较低的信息差错率。
若100/=S N (20dB)，kb/s 3=C ，则当kHz 21031007.0=⨯⨯=B 时，就可以正常的传送信息，进行可靠的通信了。
这就说明了增加信道带宽B ，可以在低的信噪比的情况下，信道仍可在相同的容量下传送信息。甚至在信号被噪声淹没的情况下，只要相应的增加信号带宽也能保持可靠的通信。如系统工作在干扰噪声比信号大100倍的信道上，信息速率R ＝C ＝3kb/s ，则信息必须在kHz 210=B 带宽下传输，才能保证可靠的通信。
扩频通信系统正是利用这一原理，用高速率的扩频码来扩展待传输信息信号带宽的手段，来达到提高系统抗干扰能力的目的。扩频通信系统的带宽比常规通信系统的带宽大几百倍乃至几万倍，所以在相同信息传输速率和相同信号功率的条件下，具有较强的抗干扰的能力。
香农在其文章中指出，在高斯噪声的干扰情况下，在受限平均功率的信道上，实现有效和可靠通信的最佳信号是具有白噪声统计特性的信号。这是因为高斯白噪声信号具有理想的自相关特性，其功率谱密度函数为
2
)(0N f S = -∞< f <∞ (1-6) 对应的自相关函数为 ⎰∞∞-==)(2
d )()(0π2τδN f
e
f S τR f τj (1-7) 其中：为时延，)(τδ定义为
⎩⎨⎧≠=∞=0
00)(τττδ (1-8) 白噪声的自相关函数具有)(τδ函数的特点，说明它具有尖锐的自相关特性。但是对于白噪声信号的产生、加工和复制，迄今为止仍存在着许多技术问题和困难。然而人们已经找到了一些易于产生又便于加工和控制的伪噪声码序列，它们的统计特性近似于或逼近于高斯白噪声的统计特性。
伪噪声序列的理论在本书以后的章节中要专门讲述，这里仅简略引用其统计特性，借以说明扩频通信系统的实质。
通常伪噪声序列是一周期序列。假设某种伪噪声序列的周期(长度)为N ，且码元i c 都是二元域{}1,1-上的元素。一个周期（或称长度）为N ，码元为i c 的伪噪声二元序列{}i c 的归一化自相关函是一周期为N 的周期函数，可以表示为
∑∞-∞=-*
=k c kN R R )()()(τδττ (1-9)
其中)(τc R 为伪噪声二元序列{}i c 一个周期内的表示式 ⎪⎩⎪⎨⎧≠-===∑=+01011)(1τN
τc
c N τR N i i i c τ (1-10) 式中0=τ，1，2，3，…N 。当伪噪声序列周期(长度)N 取足够长或N →∞时，式(1-10)可简化为
⎪⎩⎪⎨⎧≠≈-==00101)(τN
ττR c (1-11) 比较式(1-7)和式(1-11)，看出它们比较接近，当序列周期(长度)足够长时，式(1-11)就逼近式(1-7)。（式(1-10)是自相关函数归一化的形式，乘周期N 后就是一般表达式，在一般表达式中N R =)0(）。所以伪噪声序列具有和白噪声相类似的统计特性，也就是说它很接近于高斯信道要求的最佳信号形式。因此用伪噪声码扩展待传输信息信号频谱的扩频通信系统，优于常规通信系统。
哈尔凯维奇(А·А·Харкевич)早在上世纪50年代，就已从理论上证明：要克服多径衰落干扰的影响，信道中传输的最佳信号形式应该是具有白噪声统计特性的信号形式。采用伪噪声码的扩频函数很接近白噪声的统计特性，因而扩频通信系统又具有抗多径干扰的能力。
下面我们以直接序列扩频通信系统为例，来研究扩频通信系统的基本原理。图1-1给出了直接序列扩频通信系统的简化原理方框图。
由信源产生的信息流{}n a 通过编码器变换为二进制数字信号)(t d 。二进制数
