复数知识点与历年高考 题型

数系的扩充与复数的引入知识点（一）

1．复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；

（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① n

i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；

③ 若ω=-21

+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).

（2）复数z=a+bi 的模

|Z|=且2||z z z ⋅==a 2+b 2.

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相

等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨

=⎩.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

7．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2=－1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2

9．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，

即22

()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i

c di c di c di c

d ++-++-==

++-+.

10．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。

（二）典型例题

例1．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ .

例2．证明：i z

i z +-＝1．

数系的扩充与复数的引入(历年高考经典题型)（二）

一、选择题

1.设复数z 满足(1-i)z=2 i,则z= ( )

+i +i 2. =-+2

)1(21i i

（ ）

A. i 211--

B. i 211+-

C. i 211+

D. i 2

11-

3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭

复数的点是（ ）

A.A

B.B

C.C

D.D

4.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ( )

+i +3i +3i +i

5.2

1i =

+

（）

A. B.2 C. D.1

6.()3=（）

A.8-

B.8

C.8i

- D.8i

7.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )

+5i +5i

8.复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )

+i C. 5+i

9.若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为（ ）

A. 4-

B. 54-

C. 4

D. 5

4

10.复数)()2(2

为虚数单位i i

i z -=，则=||z （ ）

B. 41 D.5

11. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )

A. 若12||0z z -=, 则12z z =

B. 若12z z =, 则12z z =

C. 若,21z z = 则2112·

·z z z z = D. 若,21z z = 则2122z z =

12.设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若20z ≥, 则

z 是实数 B. 若20z <, 则z 是虚数

C. 若z 是虚数, 则20z ≥

D. 若z 是纯虚数, 则20z <

13.复数z=i·(1+i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

14.已知集合M={1，2，zi },i 为虚数单位，N=｛3，4｝，M ∩N=｛4｝，则复数z= ( )

A. -2i

B. 2i

C. -4i

15.复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

16.设i 是虚数单位，_

z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ⋅+= ，则z = （ ）

A.1+i

B.1i -

C.1+i -

D.1-i -

17.设i 是虚数单位，若复数10

()3--

∈a a R i

是纯虚数，则a 的值为 （ ）

18.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于 ( )