《通信网理论基础》
实验二：二次排队问题——M/M/1排队系统的级联一、实验目的
M/M/1是最简单的排队系统，其假设到达过程是一个参数为λ的Poisson过程，服务时间是参数为μ的负指数分布，只有一个服务窗口，等待的位置有无穷多个，排队的方式是FIFO。
M/M/1排队系统的稳态分布、平均队列长度，等待时间的分布以及平均等待时间，可通过泊松过程、负指数分布、生灭过程以及Little公式等进行理论上的分析与求解。
本次实验的目标有两个：
➢实现M/M/1单窗口无限排队系统的系统仿真，利用事件调度法实现离散事件系统仿真，并统计平均队列长度以及平均等待时间等值，以与理论分析结果进行对比。
➢仿真两个M/M/1级联所组成的排队网络，统计各个队列的平均队列长度与平均系统时间等值，验证Kleinrock有关数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交
换机时，随机按负指数分布取一个新的长度的假设的合理性。
二、实验原理
1、M/M/1排队系统
根据排队论的知识我们知道，排队系统的分类是根据该系统中的顾客到达模式、服务模式、服务员数量以及服务规则等因素决定的。
设到达过程是一个参数为λ的Poisson过程，则长度为t的时间到达k个呼叫的概率
)(t P k 服从Poisson 分布，即
()()!k
t
k t P t k e
λλ-=
，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,2,1,0k ，其中λ>0为
一常数，表示了平均到达率或Poisson 呼叫流的强度。设每个呼叫的持续时间为
i τ，服从
参数为μ的负指数分布，即其分布函数为
{}1,0t
P X t e t μ-<=-≥.服务规则采用先进
先服务的规则（FIFO ）。
在该M/M/1系统中，设
λρμ=
，则稳态时的平均队长为
[]1E N ρ
ρ=
-，顾客的平均等待时间为
1
T μλ=
-。
2、 二次排队网络
由两个M/M/1排队系统所组成的级联网络，顾客以参数为λ的泊松过程到达第一个排队系统A ，服务时间为参数为1μ的负指数分布；从A 出来后直接进入第二个排队系统B ，B
的服务时间为参数为
2μ的负指数分布，且与A 的服务时间相互独立。
在该级联网络中，如稳态存在，即
1λμ<且2λμ<，则两个排队系统相互独立，顾客
穿过网络的总时延为各个排队系统的时延之和，即
1211
T μλμλ=
+
--。
如将该模型应用于数据包穿越网络的平均时延的计算，假设数据包的包长服从负指数分布，平均包长为b ；排队系统A 的信道速率为
1
C ，B 的信道速率为
2
C 。为保证两次排队的
独立性，Kleinrock 假设数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交换机时，随机按负指数分布取一个新的长度。
三、 实验容
1、 仿真时序图示例
本实验中的排队系统为当顾客到达分布服从负指数分布，系统服务时间也服从负指数分布，单服务台系统，单队排队，按FIFO 方式服务为M/M/1排队系统。
理论上，我们定义服务员结束一次服务或者有顾客到达系统均为一次事件。i
b 为第i
个任何一类事件发生的时间，其时序关系如下图所示。
t
b9150
b8t5
b7c3b6t4
b5c2b4t3
b3c1
b2t2b1t1D2
A3
A4
A5
D3
D4D5S3S4S1S2
A1
A2
b0t0
bi 第i 个任何一类事件发生的时间 ti 第i 个顾客到达类事件发生的时间 ci 第i 个顾客离开类事件发生的时间 Ai 为第i-1个与第i 个顾客到达时间间隔 Di 第i 个顾客排队等待的时间长度 Si 第i 个顾客服务的时间长度
顾客平均等待队长()Q n 及平均排队等待时间()d n 的定义为
1
011()()()T
n
i
i Q n Q n Q t dt R T T ===≈∑⎰
其中，
i
R 为在时间区间
1[,]
i i b b -上排队人数
i
q 乘以该区间长度
1()
i i b b --。
11()()n
i
i d n D n D n ===∑
i
D 为第i 个顾客排队等待时间。
2、 仿真设计算法
（1）利用负指数分布与泊松过程的关系，产生符合泊松过程的顾客流。
（2）对每个排队系统，分别构建一个顾客到达队列和一个顾客等待队列。顾客到达后，首先进入到达队列的队尾排队，并检测是否有顾客等待以及是否有服务台空闲，如果无人等待并且有服务员空闲则进入服务状态，否则顾客将进入等待队列的队尾等待。
（3）产生符合负指数分布的随机变量作为每个顾客的服务时间。
（4）当服务员结束一次服务后，就取出等待队列中位于队头的顾客进入服务状态，如果等待队列为空则服务台空闲等待下一位顾客的到来。
（5）顾客结束A系统的服务后，立即进入B系统排队等待服务。
（6）由事件来触发仿真时钟的不断推进。每发生一次事件，记录下两次事件间隔的时间以及在该时间段排队的人数。
（7）在排队网络达到稳态时，计算顾客平均系统时间以及平均队长。
3、仿真结果分析
（1）分析仿真数据，统计顾客的平均系统时间与平均队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。
（2）验证Kleinrock假设的合理性。——假设包长不变，即二次排队不独立，统计平均值与理论值的相近程度。
4、仿真结果分析
分析仿真数据，统计顾客的平均等待时间与顾客的平均等待队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。
四、实验要求
1.两人一组，利用MATLAB实现排队网络的仿真模拟。
