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3.5 圆周角（二）1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(B)A. 40°，80°B. 50°，100°C. 50°，80°D. 40°，100°(第1题)2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结C D.若⊙O的半径r＝5，AC＝5 3，则∠B的度数是(D)A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°(第2题)3.如图，⊙O的直径BD＝6，∠A＝60°，则BC的长为(C)A. 3B. 3C. 3 3D. 4 3(第3题)4.如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连结AE，则∠E的度数为(A)A. 36°B. 46°C. 27°D. 63°(第4题)5.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，点B 正好落在圆上的点E 处.若∠C ＝38°，则∠BAE ＝ 104° .(第5题)6.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E . (1)求证：∠BCO ＝∠D.(2)若CD ＝4 2，AE ＝2，求⊙O 的半径.(第6题)【解】 (1)∵OC ＝OB ， ∴∠BCO ＝∠B. 又∵∠B ＝∠D ， ∴ ∠BCO ＝∠D.(2)设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，OE ＝OA －AE ＝r －2. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴ CE ＝12CD ＝2 2.在Rt △OCE 中，∵OC 2＝CE 2＋OE 2， ∴ r 2＝(2 2)2＋(r －2)2，解得r ＝3.∴⊙O 的半径为3.(第7题)7.如图，已知BC 为半圆O 的直径，AB ︵＝AF ︵，AC 与BF 交于点M . (1)若∠FBC ＝α，求∠ACB 的度数(用含α的代数式表示). (2)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，交BF 于点E .求证：BE ＝EM . 【解】 (1)连结CF .∵AB ︵＝AF ︵，∴∠ACB ＝12∠BCF . ∵BC 是直径，∴∠BFC ＝90°， ∴∠BCF ＝90°－∠FBC ＝90°－α. ∴∠ACB ＝12(90°－α). (2)∵BC 是直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝90°. 又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°. ∴∠BAD ＝∠AC B.∵AB ︵＝AF ︵，∴∠ACB ＝∠ABF . ∴∠ABF ＝∠BA D.∴BE ＝AE .∵∠BAD ＋∠EAM ＝90°＝∠ABF ＋∠BMA ， ∴∠EAM ＝∠EMA ，∴AE ＝EM . ∴BE ＝EM .8.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角尺ABC的一条直角边BC放在直线EF 上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合.将三角尺ABC沿OE方向平移，直到点B与点E重合为止.设∠POF＝x°，则x的取值范围是30≤x≤60 .(第8题)【解】当点B与点O重合时，∠POF＝∠ABC＝30°；当点B点E重合时，∠POF＝2∠ABC＝60°.∴30≤x≤60.(第9题)9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连结OD交BE于点M，且MD＝2，则BE＝8.【解】连结A D.∵AB为直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∴BD＝C D.∵OA＝OB，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∴∠OMB ＝∠AEB ＝90°， ∴BM ＝EM ＝12BE .∵OD ＝OB ＝12AB ＝5，DM ＝2， ∴OM ＝3，∴BM ＝OB 2－OM 2＝4， ∴BE ＝2BM ＝8.10.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，延长AD 交⊙O 于点N ，AE 平分∠BAC ，交⊙O 于点E .求证：AE 平分∠OA D.(第10题)【解】 延长AO 交⊙O 于点F ，连结BF . ∵AF 为直径，∴∠ABF ＝90°， ∴∠BAF ＋∠F ＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠C ＝90°. ∵∠F ＝∠C ，∴∠BAF ＝∠DA C. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE . ∴∠OAE ＝∠EAN ， 即AE 平分∠OA D.11.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连结AC ，OC ，B C. (1)求证：∠ACO ＝∠BC D.(2)若EB ＝8 cm ，CD ＝24 cm ，求⊙O 的直径.(第11题)【解】 (1)∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ， ∴CE ＝ED ，BC ︵＝BD ︵， ∴∠BCD ＝∠BA C.∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO . ∴∠ACO ＝∠BC D.(2)设⊙O 的半径为R (cm)，则OE ＝OB －EB ＝(R －8)cm. ∵AB ⊥CD ，∴CE ＝12CD ＝12×24＝12(cm).在Rt △CEO 中，OC 2＝OE 2＋CE 2， 即R 2＝(R －8)2＋122，解得R ＝13(cm)， ∴2R ＝2×13＝26(cm)， ∴⊙O 的直径为26 cm.12.如图，C 为△ABD 外接圆上的一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.(第12题)(1)求证：BD 是该外接圆的直径. (2)连结CD ，求证：2AC ＝BC ＋C D.(3)若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连结DM ，试探究AM ，BM ，DM 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.【解】 (1)∵∠ADB ＝∠ACB ＝45°，∠ABD ＝45°， ∴∠ABD ＋∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝90°， ∴BD 是该外接圆的直径.(2)如解图①，作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E . ∵∠ACB ＝45°，CA ⊥AE ， ∴△ACE 为等腰直角三角形， ∴AC ＝AE .由勾股定理，得CE 2＝AC 2＋AE 2＝2AC 2， ∴CE ＝2A C.由(1)可知AB ＝AD ，∠BAD ＝90°， 又∵∠EAC ＝90°，∴∠EAB ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ， ∴∠EAB ＝∠CA D. 在△ABE 和△ADC 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠EAB ＝∠CAD ，AE ＝AC ，∴△ABE ≌△ADC (SAS ).∴BE ＝DC ， ∴CE ＝BC ＋BE ＝BC ＋DC ， 即2AC ＝BC ＋C D.(第12题解)(3)2AM 2＋BM 2＝DM 2.证明如下：如解图②，延长MB 交圆于点E ，连结AE ，DE . ∵∠AEB ＝∠ACB ＝∠AMB ＝45°， ∴AM ＝AE ，∠MAE ＝90°， ∴AM 2＋AE 2＝2AM 2＝EM 2. ∵AC ＝AM ＝AE ，∴AC ︵＝AE ︵. 又∵AD ︵＝AB ︵，∴AC ︵－AD ︵＋CE ︵＝AE ︵－AB ︵＋CE ︵， 即DE ︵＝BC ︵，∴DE ＝BC ＝BM . ∵BD 为直径，∴∠BED ＝90°， ∴在Rt △MED 中，EM 2＋DE 2＝DM 2，∴2AM 2＋BM 2＝DM 2.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
