微积分基本定理教案

3.4 微积分基本定理考纲要求1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．1．定积分的定义设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上． 用分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b ，把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1. 记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作__________，即⎠⎛a bf (x )d x ＝lim λ→0i ＝0n －1f (ξi )Δx i . 其中f (x )叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．f (x )d x 叫做被积式．此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．2．定积分的性质(1)⎠⎛a bcf x d x ＝__________(c 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1 x ±f 2 x ]d x ＝______________； (3)⎠⎛a b f x d x ＝__________________. 3．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．其中F (x )叫做f (x )的一个______．由于[F (x )＋c ]′＝f (x )，F (x )＋c 也是f (x )的原函数，其中c 为常数．一般地，原函数在[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a )简记作______．因此，微积分基本定理可以写成形式：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．4．定积分在几何中的应用(1)如图①，当x ∈[a ，b ]，f (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________.(2)如图②，当x ∈[a ，b ]，f (x )＜0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________.(3)如图③，当x ∈[a ，b ]，f (x )＞g (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝__________.(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f x d x ＝2⎠⎛0af x d x ；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a af x d x＝0.5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .(2)变力做功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a ＜b )(单位：m)，则变力F (x )所做的功W ＝⎠⎛a bF (x )d x .1.∫421xd x ＝( )．A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 22．下列值等于1的积分是( )． A.∫10x d xB.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x3．函数F (x )＝∫x0t (t －4)d t 在[－1,5]上( )． A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值4．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )．A ．1B ．43C ． 3D ．25．根据定积分的几何意义计算定积分：∫31|x －2|d x ＝__________.6．(2012山东高考)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.一、利用微积分基本定理计算定积分 【例1】 计算下列定积分：(1)∫3－1(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x ；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈ 1，e]，试求∫e0f (x )d x 的值．方法提炼计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．提醒：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．请做演练巩固提升2二、定积分在物理中的应用【例2】 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？方法提炼1．做变速运动的物体在一段时间间隔内所经过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解．因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体做变速直线运动的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分∫ba v (t )d t .另外物体做变速直线运动的速度v ，等于加速度函数a ＝a (t )在时间区间[a ，b ]上的定积分∫ba a (t )d t .2．如果力F (x )使得物体沿力的方向由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F (x )对物体所做的功W ＝∫ba F (x )d x .请做演练巩固提升4 三、利用定积分求面积【例3】 (2012上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________． 方法提炼1．求曲边多边形的面积的步骤为：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限； (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和； (4)计算定积分． 2．失误与防范(1)被积函数若含有绝对值号，应去掉绝对值号，再分段积分．(2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．(4)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．(5)将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷． 请做演练巩固提升1,5利用函数思想研究定积分问题【典例】 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．分析：(1)题目要求是求S 1与S 2之和最小，所以要先构造S ＝S 1＋S 2的函数，利用函数思想求解．(2)S 1，S 2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量．规范解答：面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积减去曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－∫t 0x 2d x ＝23t 3.(2分)面积S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝∫1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.(4分)所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．(5分)令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.(8分)t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.(10分)所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.(12分)答题指导：本题既不是直接求曲边梯形的面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．1．(2013辽宁名校模拟)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积是( )．A.154B.174C.12ln 2 D ．2ln 2 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝∫30(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )． A ．15 B ．20 C ．25 D ．303．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，其中－1＜x 0＜0，则x 0＝__________.4．一物体受到与它运动方向相反的力F (x )＝110e x＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于__________．5．求定积分∫101－x 2d x .参考答案基础梳理自测知识梳理1.()d baf x x ⎰2．(1) ()d bacf x x ⎰(2)1()d ba f x x ⎰±2()db a f x x ⎰(3)()d caf x x ⎰＋()d bc f x x ⎰(a ＜c ＜b )3．原函数 ()b aF x4．(1)()d b a f x x ⎰(2) ()d baf x x -⎰(3) [()()]d baf xg x x -⎰基础自测 1．D 解析：421d x x⎰＝ln x 42＝ln 4－ln 2＝ln 2.2．C 解析：11d x ⎰＝x 10＝1－0＝1.3．B 解析：F (x )＝0x t ⎰(t －4)d t＝x⎰(t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 20x＝13x 3－2x 2， 函数F (x )的极值点为x ＝0，x ＝4，F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253，故F (x )在[－1,5]上有最大值0，最小值－323.4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2. ∴S ＝2⎰(－x 2＋2x ＋1－1)d x＝2⎰(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x33＋x 22＝－83＋4＝43.5．1 解析：根据定积分的几何意义，所求的定积分就是函数y ＝|x －2|的图象、直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积，故S ＝31⎰|x －2|d x ＝12×1×1＋12×1×1＝1.6.49 解析：由题意可得曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积S ＝0a ⎰xd x ＝3223a x ＝3223a ＝a 2，解得a ＝49.考点探究突破【例1】 解：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )|3－1＝24.(2)e1⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝e 1⎰x d x ＋e 1⎰1x d x ＋e 1⎰1x2d x ＝12x 2e 1＋ln x e1－1x e 1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. (3)e⎰f (x )d x ＝1⎰x 2d x ＋e 1⎰1xd x＝13x 310＋ln x e 1 ＝13＋ln e ＝43. 【例2】 解：因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v ＝0，求出t ，再根据v 和t 应用定积分求出路程．已知列车速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，列车制动时获得的加速度为a ＝－0.4 m/s 2， 设列车开始制动到经过t 秒后的速度为v ，则v ＝v 0＋t⎰a d t ＝20－t⎰0.4d t ＝20－0.4t ，令v ＝0，得t ＝50(s)．设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s ， 则s ＝50⎰v d t ＝50⎰(20－0.4t )d t ＝500(m)，所以列车应在进站前50 s ，以及离车站500 m 处开始制动． 【例3】 54 解析：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1.∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝103×18＋⎝⎛⎭⎪⎫5－103－⎝ ⎛⎭⎪⎫54－103×18＝54. 演练巩固提升1．D2．A 解析：S 10＝3⎰(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)30＝12.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，即12,5，S 30－17成等差数列，易得S 30＝15.3．－33 解析：∵10⎰(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 02＋c ，∴x 02＝13.又－1＜x 0＜0，∴x 0＝－33. 4．－e 10－25解析：由题意知F (x )所做的功为－10⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋x d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋12x 210＝－e 10－25.5．解：定积分1⎰1－x 2d x 的几何意义就是圆x 2＋y 2＝1在第一象限同坐标轴围成的图形的面积，故1⎰1－x 2d x ＝π4.。

§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。

注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。

变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。

定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。

证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。

由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。

定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

§微积分基本定理已知函数()＝，()＝.问题：() 和()有何关系？提示：′()＝()．问题：利用定积分的几何意义求的值．提示：＝.问题：求()－()的值．提示：()－()＝×－×＝.问题：你得出什么结论？提示：()＝()－()，且′()＝()．问题：由()与()－()之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：()＝()－()，其中′()＝()．微积分基本定理如果连续函数()是函数()的导函数，即()＝′()，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称()是()的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号()来表示()－()，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作()＝()＝()－()．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[例]计算下列各定积分：()(＋)；()( ＋)；().[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析]()∵(＋)′＝＋，∴(＋)＝(＋)＝＋＝.()∵( ＋)′＝＋，∴( ＋)＝( ＋)＝－－π.()∵′＝－，∴＝＝＋＝.[一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数()的导函数′()＝()为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．＝.解析：＝－＝.答案：．求下列函数的定积分：()(＋＋)；()( － )；().解：()(＋＋)＝＋＋＝＋＋＝.()( － )＝－＝(－ )－＝.()＝＋＝＋＝×－×＋－＝＋ .．求下列定积分：()；() (－)·(－).解：()＝)，。

定积分与微积分基本定理一. 教学内容：定积分与微积分基本定理二. 教学目的：1. 了解定积分的定义和定积分的几何意义；2. 会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。

三. 重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。

［知识分析］知识点1：定积分的定义1. 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的．它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下： （1）把闭区间［a ，6］用n ＋1个分点（包括两个端点0n x a,x b ==）分为任意n 个小区间，并非要求一定分成n 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n 等分的方法去布列分点． （2）在每个小区间i x ∆上，点ξ的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即i i 1i x x 2-+ξ=，也可以取在小区间的两个端点，即i i x ξ=或i i 1x -ξ=，还可以取在小区间的其他任何位置（i ＝1，2，…，n ）． （3）从几何意义上讲，i i f ()x ξ⋅∆（i ＝1，2，…，n ）表示以i x ∆为底边，以i f ()ξ为高的第i 个小矩形的面积，而不是第i 个小曲边梯形的面积，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑表示n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高． （4）总和n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑取极限时的极限过程为“i x 0∆→”（n →∞），当分割无限变细，即n →∞时，不一定能保证和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积．（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义n 1bi iax 0i 0f (x)dx lim f ()x -∆→==ξ⋅∆∑⎰实际上给出了定积分baf (x)dx⎰的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用．2. 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bb ba a a f (x)dx f (u)du f (t)dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分baf (x)dx⎰与积分区间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如12(x1)dx+⎰与320(x 1)dx+⎰的值就不同。

1.6微积分基本定理教学设计总体设计：复习旧知、设题引入、探究归纳、定理导出与应用、定理延伸、课堂小结与布置作业1、复习旧知老师和学生一起复习定积分的几何意义：f (x )d x 的几何意义：表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积。

设计意图：复习定积分的几何定义是为了加深学生对定积分的印象，为微积分基本定理的探究导出做好铺垫。

2、体验探究引例：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是()t s s =，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度是()()t s t v '=。

设这个物体在时间段[]b a ,内的位移为S ，你能分别用()()t s t v ,表示S 吗?2.1引导学生把探究的基本思路分解成以下2个方向：（1）根据位移的定义探索发现并得出()()a s b s S -=——基本定理的右端雏形（2）从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s 可以用定积分表示为——基本定理左端雏形 ()d .ba s v t t =⎰3、探究生成综上可得到：()()()a s b s dt t v ba -=⎰——基本定理雏形 4、定理的导出与应用4.1由定理导出得到定理雏形可以直接归纳一般连续函数()x f 在区间[]b a ,的积分与其导数的关系，即微积分基本定理：如果()x f 是区间[]b a ,连续函数，若()()()()()a F b F dx x f x f x F b a -=='⎰则该公式也称作牛顿——莱布尼茨公式4.2可以简要介绍一下牛顿和莱布尼茨。

4.3 活学活用例1.利用微积分基本定理解决前面的问题（1）dx x ⎰214 （2）()⎰≥102n dx x n （3）⎰10d x e x解：（1）令4)(x x f =，取551)(x x F ⋅=，则()()x f x F =' 由微积分基本定理得 ()()5101104=-=⎰F F dx x 同理，可以解出（2）11+n （3）1-e ，同时也可以解出dx x ⎰103 练习：课本例题 和课本A 组1.（2）、（4）、（6）5、定理延伸例2.计算下列定积分并给出定积分的几何意义（1）⎰ππ2d sin x x （2）⎰π20d sin x x 通过求解得：（1）1-，（2）0其几何意义如下图:（1） （2）归纳总结：微积分基本定理求的是整个区间的定积分，若要求曲线与x轴围成的面积则需将x轴上下部分分开求解。

2微积分基本定理已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )． 问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎜⎛12x d x的值．提示：⎠⎜⎛12x d x ＝32. 问题3：求F (2)－F (1)的值．提示：F (2)－F (1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎜⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎜⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：⎠⎜⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎜⎛ab f x d x ＝F b －F a定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x ) ⎪⎪⎪⎪ba来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作⎠⎜⎛a bf (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪⎪b a ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例1](1) ⎠⎜⎛01 (2x ＋3)d x ； (2) ⎠⎜⎛－π0 (cos x ＋e x )d x ； (3) ⎠⎜⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎠⎜⎛01(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪⎪1＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x)′＝cos x ＋e x，∴⎠⎜⎛－π0 (cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x) ⎪⎪⎪⎪－π＝1－e－π.(3)∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x 2，∴⎠⎜⎛13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ⎪⎪⎪⎪31＝7＋13＝223.[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1. ⎠⎜⎛1 e 1x d x ＝________.解析：⎠⎜⎛1 e 1x d x ＝ln e －ln 1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1) ⎠⎜⎛12 (x 2＋2x ＋3)d x ； (2) ⎠⎜⎛0 π(sin x －cos x )d x ；(3) ⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎜⎛12x 2d x ＋⎠⎜⎛122x d x ＋⎠⎜⎛123d x＝x 33⎪⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪⎪21＝253. (2) ⎠⎜⎛0 π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎜⎛0 πsin x d x －⎠⎜⎛0 πcos x d x ＝(－cos x ) ⎪⎪⎪⎪π－sin x ⎪⎪⎪⎪π＝2.(3) ⎠⎜⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎠⎜⎛12x d x ＋⎠⎜⎛121x d x ＝12x 2⎪⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪⎪21＝12×22－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：(1) ⎠⎜⎜⎛0π2sin 2x 2d x ；(2)⎠⎜⎛23(2－x 2)·(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，∴⎠⎜⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎜⎛0π2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝π4－12＝π－24.(2)原式＝⎠⎜⎛23 (6－2x －3x 2＋x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4⎪⎪⎪⎪32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24＝－74.求分段函数的定积分[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，[2,4]三段积分求和．[精解详析] 图像如图．⎠⎜⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎜⎛π22 1d x ＋⎠⎜⎛24 (x －1)d x＝(－cos x ) ⎪⎪⎪⎪ π2＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪⎪42＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.[一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝( )A.34B.45 C.56 D ．不存在解析：选C⎠⎜⎛02f (x )d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x )d x ， 取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以⎠⎜⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分⎠⎜⎛－11F (x )d x .解：⎠⎜⎛－11F (x )d x ＝⎠⎜⎛－10 (sin x －1)d x ＋⎠⎜⎛01x 2d x ＝(－cos x －x ) ⎪⎪⎪⎪－1＋13x 3⎪⎪⎪⎪10＝cos 1－53.含参数的函数的定积分[例3]已知函数f (x )＝⎠⎜⎛0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．[精解详析]f (x )＝⎠⎜⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t ⎪⎪⎪⎪x＝a 3x 3＋b 2x 2＋x .∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若⎠⎜⎛01(k －2x )d x ＝2 018，则k ＝________. 解析：⎠⎜⎛01 (k －2x )d x ＝(kx －x 2) ⎪⎪⎪⎪10＝k －1＝2 018，∴k ＝2 019. 答案：2 0197．已知函数f (a )＝⎠⎜⎛0asin x d x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：∵f (a )＝⎠⎜⎛0asin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪⎪a 0＝－cos a ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎜⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx ⎪⎪⎪⎪1＝a2＋b ＝1，所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．1．下列积分值等于1的是( )A. ⎠⎜⎛01x d xB. ⎠⎜⎛01(x ＋1)d x C. ⎠⎜⎛011d xD. ⎠⎜⎛0112d x解析：选C⎠⎜⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪⎪10＝1.2.⎠⎜⎛01(e x ＋2x )d x ＝()A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C⎠⎜⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2) ⎪⎪⎪⎪1＝(e 1＋1)－e 0＝e.3. ⎠⎜⎛03|x 2－4|d x ＝()A.213B.223C.233D.253解析：选 C⎠⎜⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎜⎛02 (4－x 2)d x ＋⎠⎜⎛23 (x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪⎪32＝233，故选C.4．函数F (x )＝⎠⎜⎛0 xt (t －4)d t在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 解析：选 BF (x )＝⎠⎜⎛0 x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪⎪x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.5．若⎠⎜⎛－a ax 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________.解析：⎠⎜⎛－a a x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪⎪a－a ＝a 33－－a 33＝18⇒a ＝3.答案：36．设f (x )＝⎩⎨⎧ lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎜⎛0a3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a 03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪⎪a0＝1，得a ＝1.答案：17．求下列定积分：(1) ⎠⎜⎛122x 2＋x ＋1x d x ；(2) ⎠⎜⎛0 π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .解：(1) ⎠⎜⎛122x 2＋x ＋1x d x＝⎠⎜⎛12(2x ＋1x ＋1)d x＝⎠⎜⎛122x d x ＋⎠⎜⎛121x d x ＋⎠⎜⎛121d x＝x 2⎪⎪⎪⎪ 21＋ln x ⎪⎪⎪⎪ 21＋x ⎪⎪⎪⎪ 21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin x ·22＋cos x ·22 ＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，∴⎠⎜⎛0 π2sin(x ＋π4)d x ＝⎠⎜⎛0 π (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪⎪ π＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离；(2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝⎠⎜⎛0 201.2t d t ＝0.6t 2⎪⎪⎪⎪ 200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎜⎛0 20(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) ⎪⎪⎪⎪ 200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m ．。

第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。