数值分析试题集
（试卷一）
一（10分）已知3409.1*1=x ，0125.1*
2=x 都是由四舍五入产生的近似值，判断*
2*
1x x +及*
2
*
1x x -有几位有效数字。
二（10
三（15分）设],[)(4
b a C x f ∈，H （x ）是满足下列条件的三次多项式
)()
()(,)()(,)()(,)()(b c a c f c H c f c H b f b H a f a H <<'='===
求)()(x H x f -，并证明之。
四（15分）计算
dx x
⎰+1
0312，2
10-=ε。 五（15分）在[0，2]上取2,1,0210===x x x ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。
七（10分）对模型0,<⋅='λλy y ，讨论改进的尢拉法的稳定性。 八（15分）求方程01742
3
=--+x x x 在-1.2附近的近似值，3
10-=ε。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（试卷二）
一 填空（4*2分）
1 ∞
=0})({k k x φ是区间[0，1]上的权函数为2
)(x x =ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中
1)(0=x φ，则=⋅⎰1
0)(dx x x φ-------------------，=)(1x φ------------------。
2 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=4112A ，则=∞
A -----------， =)(A ρ-----------------。
3 设⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=4121a A ，当a 满足条件----------------时，A 可作LU 分解。
4 设非线性方程0)3)(133()(2
3=+-+-=x x x x x f ，其根3*1-=x ，1*2-=x ，则求*
1x 的
近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是---------------------------。
二（8分）方程组AX=b ，其中⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=15.05.025
.05.01
a a A ，3,R
b X ∈ 1 试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a 的取值范围，a 取何值时雅可比迭代
收敛最快？
2 选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a 的取值范围。
三（9分）常微分方程初值问题⎩⎨⎧==')()
,(00
x y y y x f y 的单步法公式为),(211n n n n y x hf y y +=-+，求该
公式的精度。
四（14分）设b X A =⋅为对称正定方程组
1 求使迭代过程)(1k k k X A b X X ⋅-⋅+=+α收敛的数α的变化范围；
2 用此法解方程组⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----01010102
1112321x x x （取初值T
X )1,1,1(0=，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）。
(试卷三)
一 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1511－＝A ，求A 的谱半径)(A ρ，范数为1的条件数1)(cond A 。
二 设),2,1,0(,,53)(2
Λ==+=i i x x x f i ，分别计算该函数的二、三阶差商
],,[21++n n n x x x f ，],,,[321+++n n n n x x x x f 。
三 设向量T
x x x x ),,(321=
1
若定义3212x x x x ++=，问它是不是一种向量范数？请说明理由。 2
若定义3213x x x x ++=，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。
四 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=101021112A ，将矩阵分解为T
L L A =，其中L 是对角线元素)3,2,1(0=>i l ii 的
下三角阵。
五 设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代法n n x x cos 3
2
41+
=+ 1 证明：对任意),(0∞-∞∈x ，均有*lim x x n n =∞
→（*
x 为方程的根）；
2 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过3
10-，列出各次迭代值；
3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六 对于求积公式
])4
3
(2)21()41(2[31)(1
f f f dx x f +-≈⎰
1 求该求积公式的代数精度；
2 证明它为插值型的求积公式。
（试卷四）
一 填空题（每空5分，共25分）
1 设精确值为054039412.0=x ，若取近似值05410281.0*
=x ，该近似值具有------------位有效数字。
2 设53)(2
+=x x f ，),2,1,0(Λ==i i x i ，则三阶差商=+++],,,[321n n n n x x x x f --------。 3 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1511A ，则=)(A ρ-----------------。 4 设⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+=421a a A ，当a 满足条件 ---------------- 时，必有分解式A=LL T ，其中L 是对角线元素为正的下三角阵。
5 求积公式
)4
3
(32)21(31)41(32)(1
f f f dx x f +-≈
⎰
的代数精度为-----------。 二（10分）设]1,0[)(3
C x f ∈，试求一个次数不超过2的多项式)(x P ，使得
e f p e f p f p ='='====)1()1(,)1()1(,1)0()0(
三（20分）1 利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
[][
])
()(12
)()()(2)(2
a f
b f a b b f a f a b dx x f b
a
'-'--+-≈⎰
且其余项为
