相似三角形典型例题
例1. 如图，P 为Rt △ABC 斜边AB 上任意一点（除A 、B 外），过点P 作直线截△ABC ，使截得的新三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有（ ） A
、1种B 、2种C 、3种D 、4种
错解：过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ，可得相似三角形。选B 解：过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ，可得相似三角形； 过点P 还可作PE ⊥AB ，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A ∴△APE ∽△ACB ； ∴共有3条． 选：C
点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。
例2. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？
错解：△AOB ∽△DOC.理由如下：
在△AOB 和△DOC 中，∵AD ∥BC ，∴， ∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC
正解：要得到△AOB ∽△DOC ，如果由两边对应成比例且夹角相等，则应得到；而这位同学根据平行线型得到△AOD ∽△COB ，则
。以上两个比
例式是不一样的.所以该学生的解答是不正确的。
例3. 如图1，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。
图1
解：（1）∠ABC＝135°，BC=22
（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝
135°，AB
DE
BC
EF
==2
∴△ABC∽△DEF
评析：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高。
例4 如图2所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。
图2
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
解：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、
CF 、DG 即为所求的造价最低的管道线路。如图3所示。
图3
（2）BE BC CE =-=-=17005001200（米）
AE AB BE =
+=221500（米）
∵△ABE ∽△CFE 得
CF AB CE
AE
=
∴·CF CE AB AE =
=⨯=500900
1500
300（米）
∵△BHE ∽△CFE ，得
CF BH CE
BE
=
∴·BH BE CF CE =
=⨯=1200300
500
720（米）
∵△ABE ∽△DGA ，∴
AB DG AE
AD
=
∴·DG AB AD AE =
=⨯=9001700
1500
1020（米）
所以，B 、C 、D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是720800576000⨯=（元），
300800240000⨯=（元）
，1020800816000⨯=（元）。 评析：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，
但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学。
例5. 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2
=·，则∠BCA 的度数为_____________。
解：（1）当高AD 在△ABC 内时，如图4。
图4
∵·，∴
AD BD DC AD BD DC
AD
2==
又∠ADB ＝∠CDA ，∴△ADB ∽△CDA ∴∠BAD ＝∠ACD ∵∠CAD ＋∠ACD ＝90° ∴∠CAD ＋∠BAD ＝90° ∵∠B ＝25°，∴∠BCA ＝65° （2）当高AD 在△ABC 外时，如图5。
图5
同理可证△ADB ∽△CDA ∴∠ABD ＝∠CAD ＝25° ∴∠ACD ＝65°
∴∠BCA ＝180°－∠ACD ＝115°
评析：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。
例6. 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形。
探究：（1）如图6，已知△ABC 中∠C ＝90°，你能把△ABC 分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。
图6
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF （图7）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图7-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图7-2）……依此规则操作下去。
n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数），设此时小三角形的面积为S n 。
①若△DEF 的面积为10000，当n 为何值时，23<
②当n ＞1时，请写出一个反映S S S n n n -+11，，之间关系的等式（不必证明）。 解：（1）如图8，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 即是满足要求的分割线。
图8
