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反比例函数的图象和性质
(1)是非零常数；
学做思一：你能作出反比例函数的图像
例：画出函数
导学：画出函数图象一般分为列表，描点、连线三个步骤，
这个
的取值
范围是不等于零的一切
用表里各组对
在直角坐
．连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一分支。
这两个分支合起来，就是反比例函数的图象，如图所示。
这种
画出函数的图象。
学
教师注意指导画函数图象有困难的学生，并评
这个函数的图象在哪两个象限
联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函随着自变量
导做：在充分讨论、交流后达成共识：
时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象跟内
时，函数的图象在第二、四象限，在
3。
第17章函数及其图象知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！2.反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质（1）【知识与技能】1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；2.利用反比例函数的图象解决有关问题.【过程与方法】经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质【情感态度】探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题【教学重点】会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质【教学难点】探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用一、情境导入,初步认识在课本P56练习中第2题中，我们可以发现问题2中的图象它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y=k/x（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质.二、思考探究，获取新知1.画出函数y=6/x的图象．分析:画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0．解:1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．【教学说明】上述图象，通常称为双曲线.提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？学生试一试：画出反比例函数y=-6/x的图象【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.学生讨论、交流以下问题，并就讨论、交流的结果回答问题．1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数y=6x的图象有什么不同？2.反比例函数y=kx(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？【归纳结论】反比例函数y=kx有下列性质：(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也是在每个象限内y随x的增加而减少；(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．三、运用新知，深化理解1.若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．分析：由反比例函数的定义可知：2-m2=-1,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．解:由题意，得解得m=-3．2.已知反比例函数y=k/x(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx－k的图象经过的象限．分析：由于比例函数y=kx(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一次函数y=kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．解：因为反比例函数y=k/x(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函数y=kx－k的图象经过一、二、四象限．3.已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的解析式，并画出图；(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析：(1)反比例函数的图过点(1,－2)，即当x=1时，y=－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解：(1)设：反比例函数解析式为：y= 错误!未找到引用源。
17．4 反比例函数1．反比例函数教学目标：1、知识与技能：理解反比例函数的概念，会列出实际问题的反比例函数关系式。
2、过程与方法：经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力。
3、情感态度与价值观：能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思想。
教学重、难点：1、 重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。
2、 难点：理解反比例函数的概念。
教学过程：一、复习1．什么是正比例函数?2．复习小学已学过的反比例关系，例如(1)当路程s 一定，时间t 与速度v 成反比例，即vt=s(s 是常数)(2)当矩形面积一定时，长a 和宽b 成反比例，即ab ＝s(s 是常数)3．创设问题情境问题1：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集，回来时让小华乘坐公共汽车，用的时间少了。
假设自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系。
分析：和其他实际问题一样，要探索两个变量之间的关系，应先选用适当的符 号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式。
设小华乘坐交通工具的速度是v 千米／时，从家里到镇上的时间是t 小时，因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以t ＝___________(1)问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场。
设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x 的函数关系。
根据矩形面积可知xy ＝24即y ＝_________________(2)提问： 1.以上(1)和(2)这两个函数有什么共同点?让学生观察、分析后回答：这两个函数都具有y= (k 是常数)的形式)。
2.自变量的取值范围有什么限制?二、反比例函数的意义1.反比例函数定义：形如y ＝k x(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数。
说明：反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例函数y=kx ，即y x＝k ，k 是常数，且k ≠0;反比例函数y ＝k x，则xy ＝k ，k 是常数，且k ≠0。
17.4 反比例函数一、素质教育目标(一)知识储备点1.了解反比例函数的意义.2.了解反比例函数图象的特征.3.掌握反比例函数的性质.(二)能力培养点通过观察反比例函数图象的特征,能够正确地归纳出反比例函数的性质,进一步培养学生从运动中概括抽象出事物本质属性的能力, 进一步拓宽数形结合的思路和方法.(三)情感体验点通过利用反比例函数解决简单问题,体验反比例函数与人类生活的密切联系,增强对反比例函数学习的求知欲,发展学生的探索与创新精神.二、教学设想1.重点、难点重点:由反比例函数图象探索反比例函数的性质.难点:反比例函数性质的灵活运用.2.课型与基本教学思路课型:新授课.教学思路:情境质疑──观察操作──概括归纳──解决问题.三、媒体平台1.教具学具准备教具:多媒体一台,三角板一副,彩色粉笔若干.学具:三角板一副,几何练习簿一本,彩笔若干.2.多媒体课件撷英(1)课件资讯利用powerpoint制作幻灯片:问题、例题、达标反馈等;华东师范大学出版社教学光盘中课件:“你能建围栏吗？”、“反比例函数”；利用FLASH制作“反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动”的课件.(2)素材储备幻灯片:问题1、2;例题；达标反馈1、2；课件：“建围栏”、“反比例函数”、FLASH 动画等.四、课时安排: 2课时.五、教学设计第1课时(一)本课目标1.了解反比例函数的意义.2.会用待定系数法求反比例函数解析式.(二)教学流程1.情境导入利用多媒体演示课件“反比例函数”.(华东师范大学出版社教学光盘)通过观察发现:无论三角形的底边和底边上的高怎样变化,它们的积保持不变( 等于一个非零常数).2.课前热身(1)在正比例函数中,两个变量的商具有什么特征?(2)回顾小学所学的反比例,请举出两个成反比例关系的实例.(例如:路程一定时,速度与时间成反比;矩形面积一定时,长与宽成反比例等)3.合作探究(1)整体感知本节课我们着重探讨两个变量的积是一个非零常数的函数的相关概念、解析式的求法.(2)四边互动互动1师:利用多媒体演示幻灯片.问题1: 甲、乙两地相距120千米,汽车匀速从甲地驶往乙地.显然,汽车的行驶时间由行驶速度确定,时间是速度的函数,试写出这个函数的关系式.师: 这里的“汽车的行驶时间由行驶速度确定”是什么意思?生:展开讨论,举手回答个人的不同认识.师:归纳讨论的结果:这里涉及时间和速度两个值, 实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之相对应的时间.现在你们能解答这个问题了.生:动手尝试,并交流解答的过程和结果.明确和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.设汽车行驶的速度是v 千米/时,从甲地到乙地的行驶时间是t 小时.因为在匀速运动中,时间＝路程÷速度,所以t=120v.互动2师:利用多媒体演示课件“你能建围栏吗?”(华东师范大学出版社教学光盘)问题2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24 平方米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x 的函数关系式. 生:观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.明确 根据矩形面积可知y=24,即y=24x . 互动3师:上述函数(1)、(2)具有怎样的共同特征?能否用一个统一的函数关系式把它们表示出来?说出你的想法.生:相互交流自己的观点,逐渐达成共识.明确 上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y=k x (k≠0) 的形式. 一般地, 形如y=k x ( k 是常数, k ≠0) 的函数叫做反比例函数( inverseproportional function).互动4师:请同学们把正比例函数与反比例函数进行比较,说出它们有哪些不同?生:讨论交流,逐个举手回答自己的观点.明确 从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数, 反比例函数两个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零.互动5师:利用多媒体演示幻灯片.请解答下列问题.(1)若y 与x 成正比例,x 与z 成反比例,则y 与z 成什么关系?(2)y 是x 的反比例函数,当x=2时,y=3,求y 与x 之间的函数关系式.(3)已知y 1与x 成正比,y 2与x 成反比,且y=y 1+y 2,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3, 求y 与x 之间的函数关系式.生:分组合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演,其余同学在座位上独立解答.明确 师生共同归纳完善学生板演结果.(1)因为y 与x 成正比例,所以可设y=k 1x(k 1≠0),同样设x=2k z (k 2≠0),则y=12k k z,由于k 1k 2≠0,所以y 与z 成反比例.(2)设y=k x (k≠0),则3=2k,解得k=1.5,所以函数解析式为y=1.5x =32x. (3)设y 1=k 1x,y 2=2k x ,则y=k 1x+2k x ,依题题得12213232k k k k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解方程组得k 1=1,k 2=2,所以y=x+2x. 由上面的操作过程可知: 确定反比例函数解析式的条件是已知一对对应的自变量和函数值求几个简单函数的复合形式函数的解析式, 常常首先分别设出这几个函数的一般形式,然后用待定系数法解决问题.互动6师:请同学们独立解答课本第56页练习,解答完毕后在小组内进行交流.生:独立尝试,并交流解答结果.(教师来回巡视,帮助学有困难的学生分析.) 明确 教师和学生共同归纳解答过程和应注意的事项.4.达标反馈(多媒体演示)(1)若y 与x 成反比,x 与z 成反比,则y 与z 成 正比 关系.(2)若y 与x 2-2成反比例,且当x=2时,y=1,则y 与x 之间的关系式为 y=222x -. (3)如果点(3,-1)在反比例函数y=k x的图象上,那么一次函数y=kx-k 的解析式为y=-3x+3. (4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成 (B)A.正比B.反比C.一次函数关系D.无法确定(5)已知点(2,5)在反比例函数y=x# 的图象上,其中“#”是被污染的无法辨认的字迹,则下列各点在该反比例函数图象上的是(B)A.(2,-5)B.(-5,-2)C.(-3,4)D.(4,-3)5.学习小结(1)内容总结反比例函数 意义(表达形式) 解析式的求法 (2)方法归纳确定反比例函数解析式的条件是已知一对自变量和函数的对应值( 或其图象上一点的坐标),可以利用待定系数法求反比例函数的解析式.⎧⎨⎩(三)延伸拓展1.链接生活火车从安庆驶往相距约200千米的合肥,求火车行驶的速度v(千米/时)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.2.实践探索(1)实践活动用描点法画出本节课中问题2的函数图象,并把所画的图象与一次函数的图象进行比较.(2)巩固练习课本第59页习题17.4第2题.补充题:列出下列函数关系式,并指出它们是分别什么函数.①火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.②火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.③某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x 之间的函数关系式.答案:①s=60t(0≤t≤1003);正比例函数②s=200-60t(0≤t≤1003);一次函数③-y=20x(x>0);反比例函数.(四)板书设计。
《反比例函数图象和性质》复习课说课稿 我说课的题目是《反比例函数图象和性质》复习课，我设计本节课的基本出发点是依据课标，、灵活使用教材、创新教法，立足学生、培养能力、激发兴趣，增强学生用数学的意识。下面我将从教材分析、设计思路、教学程序、教后反思等方面进行说课。 数学课程标准（实验稿）》要求：“数学教育不仅要使学生获得数学知识，用数学知识去解决问题，而且更重要的是：使学生认识到，数学原来就来自我们身边，是认识和解决我们生活中问题的有力武器。” 一、教材分析 （一）、地位和作用 本课内容是华东师大版八年级（下）数学第十八章《函数及其图象》第四节《反比例函数》第四节的内容，是一节复习课，通过有关反比例函数的图象和性质的复习，让学生体验数学“建模”思想。并学会利用反比例函数解决问题，重在培养学生探索精神和创新意识。 （二）、学情分析 学生已经学习过了反比例函数的图象及其性质，同时已有用数学知识解决实际问题的经验，另外学生个性活泼,思维活跃,积极性高，已初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。 （三）、教学目标分析 知识目标： 1、理解反比例函数的概念，掌握不同形式的表达式的用法。 2、能够画出反比例函数的图象并能根据图象说出性质。 3、能利用反比例函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。 能力目标 ：培养学生的数学应用能力。 情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，体现发展性教学评价。 教学重点——反比例函数的图象和性质 教学难点——反比例函数的图象和性质应用 突破点--------利用丰富的素材，充分感知，实现数学化过程。 （四）、教法及学法分析 《新课标》明确要求：“教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。” 教学方法——导学展练，师生互动 学习方法——自主探索，合作交流 教学手段-------使用多媒体辅助教学、导学案 设计意图：1、采用导学案教学,“导学案”中将学习目标示意学生，能使学生在课前的预习、课本中的学习及课后的检查中，都可以“导学案”为导向进行学习和小结，从而使学生的学习目标明确，在学习中也能有的放矢，而不是盲目的学。在课堂上通过师生互动，生生交流培养学生主动获取知识的能力。“学案导学”充分体现了“教为主导、学为主体、学会与会学、个性发展与全面发展”相统一的教学理念。它通过创建师生互动互助的生动活泼的课堂教学氛围，促进了学生在学习中的主动参与意识，这对学生良好的学习习惯的培养和学习兴趣的提高以及自学能力的提高有着显著的促进作用，特别是对培养学生的学习能力有着重要的作用。 2.采用多媒体教学，通过直观演示图象，更好地教会学生“数形结合”的研究方法，同时通过多媒体辅助手段展示教学内容，扩大课堂容量，提高教学效率。 二、设计思路
设计思路 ：1、突出一个设计意识，养成提问的习惯。 2、理清一条主线：看图象。图象是函数的工具，如何养成看图象的习惯，如何看图象，如何收集有利信息，如何用图象为做题服务等。
教学过程分析：出示表格，构建知识网络----树立用反比例函数构建数学模型解决问题的思想-------合理解释相应的数学模型------通过丰富的问题情景，形成用反比例函数解决问题的一般性策略和方法
出示课标，点明主旨 ； 自主探索，构建网络 拓展转化，加深理解 ； 合作探索，学以致用 反思小结，形成新知 ； 直击中招，巩固新知 三、教学过程 （一）新课标解读： 1、理解反比例函数的概念，掌握不同形式的表达式的用法。 2、能够画出反比例函数的图象并能根据图象说出性质。 3、能利用反比例函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。 设计思路：出示考纲目标，学生做到心中有数 （二）自主探索，构建网络： 完成学案基础知识回顾表格并解决下列问题： （1）反比例函数的有几种不同形式的表达形式各有什么特点举例说明。 （2）反比例函数的图象形状有什么特征画图象时应注意哪些 （3）反比例函数的图象位置由什么来决定的根据反比例函数的图象说出性质是什么 （4）如何利用反比例函数的图象和性质解决一些简单的面积问题
反比例函数 K的符号 k>0 k<0 图象 性区别 质 联系 设计思路：新课标指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。出示复习导纲，学生结合导纲思考解决问题。看问题逐个解决，独立思考、交流合作，填表辨析，构建网络。 （三）、拓展转化，加深理解 例1、如图所示，当k＜0时，反比例函数y=k/x和一次函数y=kx+2的图像是( )。
例2、一次函数yaxb 的图象与反比例函数 kyx 图象交于M、N两点. （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围. 例3:如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在
AB上，点B，E在函数y=1/x的图象上，则点E的坐标是 . 变式:如图，△P1O A1、△P2 A1 A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数 （x＞０）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是 设计意图：例3是为了解释和应用模型而设,目的是为了更完整的体现数学建模的过程。意图有：1）题目中的问题是不可分割的，暗示学生，建系要有利于解题；2）传递纵观全局的思维方式，运用数形结合。 四、快速反应，知识反馈 （1）基础知识检测： 1.反比例函数y=k/x 的图象经过点(-1,2)，k的值是 . 2.如果两点P1(1，y1)和P2(2，y2)在反比例函数y=1/x 的图象上，那么 （ ） A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0 3 、己知函数 2212mxmy的图象是双曲线,且y随x的增大而增大,则m=______; 4.如图所示，已知点P是反比例函数y=5/x的图象在第二象限内的一点，过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积= （2）拓展提高：
4yx
M （ 2 ， m ）
x
y
O N （ - 1 ， - 4 ） xy2
P D o y x
xy2
1、所受压力为F (F为常数且F≠ 0) 的物体，所受压强P与所受面积S的图象大致为（ ）
设计意图：学过的物理知识来解释这个问题，这样既增强学生的学习新知的积极性又达到了解决问题的目的。拓展变式，达到举一反三。 2、点P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 3、A、C是函数 的图象上关于原点O对称的任意两点，过C向x 轴引垂线，垂足为B，则⊿ABC的面积为 。 五、合作探索，学以致用 学生以四人小组为单位，利用手中的资料设计一道用面积求解的反比例函数练习题。教师选择设计合理，富有创意的题目上台演示，由出题者分析讲演。 启发学生编题方式：情景启发、榜样启发、同伴启发 学生活动情况可能有：①题目编写正确，情境引人入胜，同时解答正确。②题目编写正确，情境符合实际，解答虽有错，但能在讨论时能发现并改正。③题目编写的情境不错，但数据不当，造成所得结果与实际不符。 合理解释相应的数学模型． 设计意图 ：新课标指出：“教师要引导学生在数学知识和方法的应用中，体现数学的价值。”（1）充分利用学生这一重要的教学资源，改变单一的教学方式，体现主体性。（2）学生体会合作学习的乐趣；(3）促使学生主动提炼现实生活中的数学问题 六、反思小结，形成新知 1、学生对所学内容进行总结。这节课你有什么收获和体会 2、学生自我评价。（1）、本节课我是否积极主动参与学习活动 （2）、是否乐于与同伴交流各自想法，并在交流中获益 （3）、我需要改进的地方或今后努力的方向是什么 3、老师对学生的发言进行归纳、概括。
设计意图: 通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系。启发学生总结本节课的学习体会、激励小组代表总结发言。建立数学成长记录，感受自己的点滴进步。
七、布置作业，巩固新知 1、已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例函数 的图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)为
xy2A B
C
D x y
O D
C
B A
2、图三个反比例函数在x轴上方的图像， 由此观察得到的大小关系为（ ） >k2>k3 >k3>k1 >k2>k1 >k1>k2 3.如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，和反比例函数的图像交于C、D两点，如果点A的坐标(2，0),点C、D分别在第一、三象限,且OA=OB=AC=BD. 试求一次函数、反比例函数的解析式.
设计意图:旨在使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。 八、几点思考： 1、关于评价方式的思考：以发展性教学评价为主，实现评价主体和形式的多样化。 2、关于学法指导的思考： 变式教学，总结归纳 3、课堂活动的思考：提问的面不广，比较集中在一部分学生身上，未能让不同的学生学不同的数学。
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