2014年江苏省苏州市高考数学一模试卷

2014年江苏省苏北四市（徐州、连云港、淮安、宿迁）高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设复数z1=2-i，z2=m+i（m∈R，i为虚数单位），若z1•z2为实数，则m的值为______ ．【答案】2【解析】解：∵z1•z2=（2-i）（m+i）=2m+1+（2-m）i为实数，∴2-m=0，解得m=2．故答案为：2．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.已知集合A={2+，a}，B={-1，1，3}，且A⊆B，则实数a的值是______ ．【答案】1【解析】解：∵集合，，B={-1，1，3}，且A⊆B，∴a=-1或a=1或a=3，当a=-1时，无意义，∴不成立．当a=1时，A={3，1}，满足条件．当a=3时，A={2+，3}，不满足条件，故答案为：1．根据集合A⊆B，确定元素之间的关系即可求解a的值．本题主要考查集合关系的应用，根据集合关系确定元素关系是解决本题的关键，注意要进行检验．3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为______ ．【答案】20【解析】解：设样本中松树苗的棵数为x，则由题意知，解得x=20，故答案为：20．根据分层抽样的定义进行求解即可．本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．4.在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是______ ．【答案】【解析】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1=，S2=，∵S1＞2S2，∴AP＞2BP，∴S1＞2S2的概率是．故答案为：．由S1＞2S2，可得AP＞2BP，以长度为测度，即可求得概率．本题考查概率的计算，考查三角形面积的计算，确定AP＞2BP，以长度为测度是解题的关键．5.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x，∴=2，即b=2a，∴c=，∴e===．故答案为：．由双曲线的一条渐近线方程为y=2x，知b=2a，由此能求出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．6.如图是一个算法流程图，则输出S的值是______ ．【答案】25【解析】解：S的初值为0，n的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S=1，n=3，满足进行循环的条件，经过第二次循环得到的结果为S=4，n=5，满足进行循环的条件，经过第三次循环得到的结果为S=9，n=7，满足进行循环的条件，经过第四次循环得到的结果为S=16，n=9，满足进行循环的条件，经过第五次循环得到的结果为S=25，n=11，不满足进行循环的条件，退出循环，故输出的S值为25故答案为：25按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出结论．本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找出规律．7.函数f（x）=lg（2x-3x）的定义域为______ ．【答案】（-∞，0）【解析】解：要使函数有意义，则2x-3x＞0，即2x＞3x＞0，∴＞，解得x＜0，∴函数的定义域为（-∞，0），故答案为：（-∞，0）．根据对数函数的性质，以及指数函数和幂函数的性质求函数的定义域即可．本题主要考查函数定义域的求法，利用指数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．8.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为______ ．【答案】【解析】解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作SO⊥平面ABC，∴OC为底面正三角形的高，且OC=××=，∴棱锥的高SO==，∴三棱锥的体积V=×××××=．故答案是．过S作SO⊥平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．9.在△ABC中，已知AB=3，A=120°，且△ABC的面积为，则BC边长为______ ．【答案】7【解析】解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsin A=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A=25+9+15=49，则BC=a=7．故答案为：7利用三角形面积公式列出关系式，将c，sin A及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cos A的值代入计算即可求出a的值．此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．10.已知函数f（x）=x|x-2|，则不等式的解集为______ ．【答案】[-1，+∞）【解析】解：当x≤2时，f（x）=x|x-2|=-x（x-2）=-x2+2x=-（x-1）2+1≤1，当x＞2时，f（x）=x|x-2|=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1，此时函数单调递增．由f（x）=（x-1）2-1=1，解得x=1+．由图象可以要使不等式成立，则，即x≥-1，∴不等式的解集为[-1，+∞）．故答案为：[-1，+∞）．化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可．本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想．11.已知函数＞的最大值与最小正周期相同，则函数f（x）在[-1，1]上的单调增区间为______ ．【答案】，【解析】解：函数＞的最大值为2，最小正周期，∴，∴ω=，函数，由，k∈Z，解得：，k∈Z，∴当k=0时，函数f（x）在[-1，1]上的单调增区间：，．故答案为：，．求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出ω，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．12.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a3，a5成等差数列，且S k=33，S k+1=-63，其中k∈N*，则S k+2的值为______ ．【答案】129【解析】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，由已知得2a3=a4+a5，∴2a1q2=a1q3+a1q4∵a1≠0，q≠0，∴q2+q-2=0，解得q=1或q=-2，当q=1时，与S k=33，S k+1=-63矛盾，故舍去，∴q=-2，∴，解之得q k=-32，a1，=3，∴S k+2==129，故答案为：129．首先根据a4，a3，a5成等差数列，求出公比q，代入S k=33，S k+1=-63，求出q k-1代入S k+2即可求出结果．本题主要考查等比数列的性质，解本题的关键是运用等差数列的重要性质a n-1+a n+1=2a n，要准确把握等差数列和等比数列的性质．属于中档题．13.在平面四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且=3，=3．若向量与的夹角为60°，则•的值为______ ．【答案】7【解析】解：如图所示：设直线AB和DC相交于点H，则由题意可得∠AHD=60°．∵=++①，又=++②，①×2+②可得3=2+，∴=+．∴=+=×32+||•||•cos∠AHD=6+•3•2•=7．故答案为：7．设直线AB和DC相交于点H，则由题意可得∠AHD=60°，利用两个向量加减法及其几何意义，用两种方法求得，进而求得=+，从而求得的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．14.在平面直角坐标系x O y中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=-x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为______ ．【答案】18【解析】解：∵动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=-x+2的距离之和为，∴，化为|a-b|+|a+b-2|=4．分为以下4种情况：或＜或＞或＜．可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．可知：当取点A时，取得最大值=．∴a2+b2的最大值为18．故答案为：18．利用点到直线的距离公式可得：|a-b|+|a+b-2|=4．通过分类讨论可知：点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．即可得到最大值．本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，-1）．（1）若⊥，求的值；（2）若|-|=2，，，求的值．【答案】解：（1）若⊥，则=2cosθ-sinθ=0，tanθ==2，∴===．（2）∵||=1，||=，若|-|=2，，，则有-2+=4，即1-2+5=4，解得=1，即2cosθ-sinθ=1，平方可得4cos2θ-4sinθcosθ+sin2θ=1，化简可得3cos2θ-4sinθcosθ=0，即tanθ=．再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，求得cosθ=，sinθ=，∴=sinθ+cosθ=．【解析】（1）由⊥，可得=2cosθ-sinθ=0，求得tanθ=2，从而求得=的值．（2）把已知等式平方求得=1，即2cosθ-sinθ=1，平方可得4cos2θ-4sinθcosθ+sin2θ=1，求得tanθ=．再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ和sinθ的值，从而求得=sinθ+cosθ的值．本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．16.如图，在三棱锥P-ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．（1）求证：PA∥平面BEF；（2）若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA．【答案】证明：（1）∵点E，F分别是棱PC，AC的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴PA∥平面BEF；（2）作PO⊥AB，垂足为O，则∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC，∵PB⊥BC，PO∩PB=P，∴BC⊥平面PAB，∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA．【解析】（1）根据三角形中位线的性质，可得EF∥PA，再利用线面平行的判定定理，可证PA∥平面BEF；（2）作PO⊥AB，垂足为O，根据平面PAB⊥平面ABC，可得PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，利用PB⊥BC，可得BC⊥平面PAB，从而可得结论．本题考查线面平行，线面垂直，考查面面垂直的性质，考查学生推理论证的能力，正确运用线面平行，线面垂直的判定定理是关键．17.某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【答案】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10-x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为-==（10-x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10-x）•4=9xθ+90θ+8（10-x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．【解析】（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的弧长公式，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．18.已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．【答案】解：（1）由题意，A（-1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x=0∵BC：y=x-1，BC中点是（2，1）∴BC的垂直平分线是y=-x+3由，得到圆心是（0，3），∴r=∵弦长为2，∴圆心到l的距离d=3．设l：y=k（x-3）+2，则d==3，∴k=，∴l的方程y=x-2；当直线的斜率不存在时，x=3，也满足题意．综上，直线l的方程是x=3或y=x-2；（2）直线BH的方程为3x+y-3=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．因为点M是点P，N的中点，所以M（，），又M，N都在半径为r的圆C上，所以，即因为该关于x，y的方程组有解，即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以（2r-r）2＜（3-6+m）2+（2-4+n）2＜（r+2r）2，又3m+n-3=0，所以r2＜10m2-12m+10＜9r2对任意m∈[0，1]成立．而f（m）=10m2-12m+10在[0，1]上的值域为[，10]，又线段BH与圆C无公共点，所以（m-3）2+（3-3m-2）2＞r2对任意m∈[0，1]成立，即＜．故圆C的半径r的取值范围为[，）．【解析】（1）先求出圆H的方程，再根据直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程；（2）设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．19.已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）当a=-2时，函数f（x）=x3+x2-2x+b则f′（x）=3x2+5x-2=（3x-1）（x+2）令f′（x）＜0，解得-2＜x＜，所以f（x）的单调递减区间为（-2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（-3x2-5x-1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-或x=-，则函数y=2x3+x2+x在（-∞，），（-，+∞）上是增函数，在（，-）上是减函数，由于x=-时，y=-；x=-时，y=-；故实数b的取值范围为：（-∞，-）∪（-，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），与曲线C联立得到f（x）-f（x0）=f′（x0）（x-x0），即（x3+x2+ax+b）-（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x-x0），整理得到（x-x0）2[x+（2x0+）]=0，故点B的横坐标为x B=-（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（-（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4-λ）（3x02+5x0）=（λ-1）a-，故，解得λ=4，a=，故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．【解析】（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C 在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．20.已知数列{a n}满足a1=x，a2=3x，，，S n 是数列{a n}的前n项和．（1）若数列{a n}为等差数列．（ⅰ）求数列的通项a n；（ⅱ）若数列{b n}满足，数列{c n}满足，试比较数列{b n}前n项和B n与{c n}前n项和C n的大小；（2）若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，求实数x的取值范围．【答案】解：（1）（ⅰ）∵，，①∴=3n2-6n+5（n≥3，n∈N*）．②①-②，得=6n-3．∵数列{a n}为等差数列，∴a n+1+a n-1=2a n．∴3a n=6n-3．∴a n=2n-1（n≥3）③当n=1时，a1=1，a2=3符合③式．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．（ⅱ）∵a n=2n-1．∴=22n-1，∴=（16t2-4t-1）b n．∴B n=b1+b2+…+b n，C n=c1+c2+…+c n=（16t2-4t-1）（b1+b2+…+b n）．当16t2-4t-1=1，即t=或t=时，B n=C n．当16t2-4t-1＞1，即t＞或t＜时，B n＜C n．当16t2-4t-1＜1，即＜＜时，B n＞C n．（2）∵，，④∴（n∈N*）⑤④-⑤，得，．⑥∴⑦⑥-⑦，得a n+3-a n=6（n≥2，n∈N*）．∴当n=1时，a n=a1=x．当n=3k-1时，a n=a3k-1=a2+（k-1）×6=3x+6k-6=2n+3x-4．当n=3k时，a n=a3k=a3+（k-1）×6=14-9x+6k-6=2n-9x+8．当n=3k+1时，a n=a3k+1=a4+（k-1）×6=1+6x+6k-6=2n+6x-7，∵对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，∴a1＜a2且a3k-1＜a3k＜a3k+1＜a3k+2．∴＜＜＜＜解得，＜＜．∴实数x的取值范围为，．【解析】（1）（ⅰ）由已知可得，=6n-3．再结合等差中项的性质即可求出数列的通项公式a n；（ⅱ）根据（ⅰ）可知=22n-1，=（16t2-4t-1）b n．从而B n=b1+b2+…+b n，C n=c1+c2+…+c n=（16t2-4t-1）（b1+b2+…+b n）．只需比较16t2-4t-1与1的大小即可得出B n与C n的大小关系；（2）利用已知条件得出a n+3-a n=6（n≥2，n∈N*）．然后分n=3k-1，n=3k，n=3k+1三种情况讨论，列出不等式组解答即可．本题考查等差数列，等比数列的性质，数列与不等式的综合问题的解答等知识，属于难题．21.如图，锐角△ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．若∠C=50°，求∠DEF的度数．【答案】解：∵⊙D切AC于点E，∴DE⊥AC，得∠AED=90°，又∵AF⊥DF，可得∠AFD=90°，∴∠AED=∠AFD=90°，因此，A、D、F、E四点共圆，在此圆中∠DEF与∠DAF对同弧，∴∠DEF=∠DAF．∵锐角△ABC的内心为D，∴AD、BD分别是∠BAC、∠ABC的平分线，可得∠DAB=∠BAC，∠DBA=∠ABC，因此，∠DAB+∠DBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°-∠C）=（180°-50°）=65°．∵∠ADF为△ABD的外角，∴∠ADF=∠DAB+∠DBA=65°，R t△ADF中，∠DAF=90°-∠ADF=25°，可得∠DEF=∠DAF=25°．【解析】根据切线的性质，结合题意证出∠AED=∠AFD=90°，因此A、D、F、E四点共圆，得到∠DEF=∠DAF．由点D是△ABC的内心，可得∠DAB=∠BAC且∠DBA=∠ABC，结合三角形内角和定理证出∠DAB+∠DBA=（180°-∠C）=65°，进而得到∠ADF=65°．最后在R t△ADF中算出∠DAF=90°-∠ADF=25°，可得∠DEF=25°．本题给出△ABC的内切圆，求∠DEF的度数．着重考查了三角形内角和定理、切线的性质定理、四点共圆的判定和三角形的内切圆的性质等知识，属于中档题．22.设矩阵（其中a＞0，b＞0），若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线′：，求a+b的值．【答案】解：设P（x，y）是曲线C：x2+y2=1上的任意一点，P′（x′，y′）为曲线′：上与P对应的点，则=′′，即′′，代入得（′+（by′）2=1，这与x2+y2=1是同一方程，∴a=2，b=1，则a+b=3．【解析】设P（x，y）是曲线C：x2+y2=1上的任意一点，P′（x′，y′）为曲线′：上与P对应的点，根据题意建立（x，y）于（x′，y′）的等量关系，由此能够求出a和b 的值，即可求出所求．本题主要考查了矩阵的变换，解题时要认真审题，注意矩阵变换性质的灵活运用．属于基础题．23.在平面直角坐标系x O y中，已知直线l的参数方程是，（t为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为．由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【答案】解：把直线l的参数方程，（t为参数）化为普通方程为x-y+4=0．圆C的极坐标方程为，即ρ2=2ρ•cosθ-2ρ•sinθ，即x2+y2=x-y，即+=1，表示以C（，-）为圆心，半径等于1的圆．由于圆心C到直线x-y+4=0的距离为d==5，故圆和直线相离．要使切线长最小，只有直线l上的点到圆C的距离最小，此时，直线l上的点到圆心C的距离的最小值为d=5，故切线的最小值为==2．【解析】把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆和直线相离．由于直线l上的点到圆C的距离最小值为圆心到直线的距离d=5，可得切线的最小值为，计算求得结果．本题主要考查把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．24.已知a，b，c均为正数，证明：．【答案】证明：∵a，b，c均为正数，∴左边≥≥2=2=6，当且仅当a=b=c时取等号，∴．【解析】两次运用基本不等式即可证明结论．本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．25.某品牌汽车4S店经销A，B，C三种排量的汽车，其中A，B，C三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．（1）求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】解：（1）∵A，B，C三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型，∴该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率为=；（2）由题意，X的取值为1，2，3，则P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1-P（X=1）-P（X=3）=，∴X的分布列为∴EX==．【解析】（1）利用古典概型概率公式，可求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；（2）确定该单位购买的3辆汽车的排量种数X的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列及数学期望．本题考查概率的计算，考查随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算能力，正确求概率是关键．26.已知点A（-1，0），F（1，0），动点P满足•=2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设P（x，y），则∵点A（-1，0），F（1，0），动点P满足，∴（x+1，y）•（2，0）=2，∴2（x+1）=2，∴y2=4x；（2）直线l方程为y=2（x+1），设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）．过点M的切线方程设为x-x1=m（y-y1），代入y2=4x，得=0，由△=，得，所以过点M的切线方程为y1y=2（x+x1），同理过点N的切线方程为y2y=2（x+x2）．所以直线MN的方程为y0y=2（x0+x），又MN∥l，所以，得y0=1，而y0=2（x0+1），故点Q的坐标为（，1）．【解析】（1）设出P的坐标，利用动点P满足，建立方程，化简可得结论；（2）求出过点M、N的切线方程，可得直线MN的方程，利用MN∥l，可求点Q的坐标．本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线，考查学生分析解决问题的能力，求出直线MN 的方程是关键．。

2014年某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 己知集合A ={x|x 2−3x +2<0}，B ={x|log 4x >12}，则（ ） A A ∩B =⌀ B B ⊆A C A ∩∁R B =R D A ⊆B 2. 已知复数z =1+2i i 5，则它的共轭复数z ¯等于（ ）A 2−iB 2+iC −2+iD −2−i3. 命题“∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx >2”的否定是（ ）A ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx <2B ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2C ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2 D ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx <24. 已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α // β的是（ ） ①在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β，③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α． A ①③ B ②④ C ①④ D ②③5. 已知向量m →，n →的夹角为π6，且|m →|=√3，|n →|=2，在△ABC 中，AB →=2m →+2n →，AC →=2m →−6n →，D 为BC 边的中点，则|AD →|=( )A 2B 4C 6D 86. 能够把圆O:x 2+y 2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是（ ） A f(x)=4x 3+x B f(x)=1n5−x 5+xC f(x)=tan x2D f(x)=e x +e −x7. 已知sinα+√2cosα=√3，则tanα＝（ ） A √22B √2C −√22D −√2 8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=52，a 2+a 4=54，则S na n=( )A 4n−1B 4n −1C 2n−1D 2n −19. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是（ ）A 78<P ≤1516B P >1516C 78≤P <1516D 34<P ≤7810. 已知实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x −2y −1≤0x +y ≤1，则|3x +4y −7|的最大值为（ ）A 11B 12C 13D 1411. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A (2√33,2] B [2√33,2) C (2√33,+∞) D [2√33,+∞) 12. 已知函数f(x)={−13x +16，x ∈[0,12]2x 3x+1，x ∈(12,1]，函数g(x)=asin(π6x)−2a +2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0, 1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A [−23, 1] B [12, 43] C [43, 32] D [13, 2]二．填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上） 13. 已知f(x)=22x +1+sinx ，则f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)=________．14. 已知球的直径PQ =4，A 、B 、C 是该球球面上的三点，∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30∘，△ABC 是正三角形，则棱锥P −ABC 的体积为________．15. 一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如图，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点．下列结论中正确的是________．（填上所有正确项的序号）①线MN与A1C相交；②MN⊥BC；③MN // 平面ACC1A1；④三棱锥N−A1BC的体积为V N−A1BC =16a3．16. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10QUOTE，属于第二档电价的家庭约占40QUOTE，属于第三档电价的家庭约占30QUOTE，属于第四档电价的家庭约占20QUOTE．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得如图的直方图，由此直方图可以做出的合理判断是________①年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档②年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档③年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档④该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数．三、解答题（本大题共5小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17. 若f(x)=√3cos2ax−sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若(A2, √32)是函数f(x)图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．18. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646）（2）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．试在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k0 2.706 6.63510.82819. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于点D），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1−BCD，如图2所示．（1）若M是FC的中点，求证：直线DM // 平面A1EF；（2）求证：BD⊥A1F；（3）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20. 已知抛物线x2=2py(p>0)上的一点(m, 1)到焦点的距离为5．点4P(x0, y0)是抛物线上任意一点（除去顶点），过点M1(0, −1)与P的直线和抛物线交于点P1，过点M2(0, 1)与的P直线和抛物线交于点P2．分别以点P1，P2为切点的抛物线的切线交于点P′．（1）求抛物线的方程；（2）求证：点P′在y轴上．21. 对于函数f(x)(x∈D)，若x∈D时，恒有f′(x)>f(x)成立，则称函数f(x)是D上的J函数．(Ⅰ)当函数f(x)＝me x lnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；(Ⅱ)若函数g(x)为(0, +∞)上的J函数，①试比较g(a)与e a−1g(1)的大小；②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，x n，均有g（ln(x1+x2+...+x n)）>g(lnx1)+g(lnx2)+...+g(lnx n)．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA⋅PD＝PE⋅PC；（2）AD＝AE．选修4─4：坐标系与参数方程选讲．23. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=13xy′=12y得到曲线C′．(1)求C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C′上，点B(3, 0)，当点A 在曲线C′上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．选修4─5：不等式证明选讲．24. 已知函数f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16． (1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)设函数g(x)=k(x −3)，k ∈R ，若f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．2014年某校高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. B3. C4. C5. A6. D7. A8. D9. D 10. D 11. A 12. B 13. 5 14.9√3415. ②③④ 16. ①③④17. 解：（1）f(x)=√3cos 2ax −sinaxcosax =√32−sin(2ax −π3)，由题意，函数f(x)的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m>0，√32−1<0，∴ a=1，m=√32+1；（2）∵ (A2，√32)是函数f(x)图象的一个对称中心，∴ sin(A−π3)=0，又∵ A为△ABC的内角，∴ A=π3，△ABC中，则由正弦定理得：bsinB =csinc=asinA=4sinπ3=8√33，∴ b+c+a=b+c+4=8√33[sinB+sinC]+4=8√33[sinB+sin(B+π3)]+4=8sin(B+π6)+4，∵ 0<B<2π3，∴ b+c+a∈(8, 12]．18. 解：（1）幸福感指数在[4, 6)，[6, 8)内的频数分别为220+180=400和125+175=300，因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400÷1000÷2=0.2，300÷1000÷2=0.15，据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46；所以K2=1000×(250×300−200×250)2450×550×500×500=10.101>6.635，所以在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关．19. （1）证明：因为D，M分别为AC，CF中点，所以DM // EF ，又EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF 所以DM // 平面A 1EF ．（2）证明：因为A 1E ⊥BD ，EF ⊥BD ，且A 1E ∩EF =E ，所以BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF 所以BD ⊥A 1F ．（3）解：直线A 1B 与直线CD 不能垂直， 因为平面A 1BD ⊥平面BCD ，平面A 1BD ∩平面BCD =BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面CBD ， 所以 EF ⊥平面A 1BD ．因为A 1B ⊂平面A 1BD ，所以A 1B ⊥EF ， 又因为EF // DM ，所以A 1B ⊥DM ． 假设A 1B ⊥CD ，因为A 1B ⊥DM ，CD ∩DM =D ， 所以A 1B ⊥平面BCD ， 所以A 1B ⊥BD ，这与∠A 1BD 为锐角矛盾所以直线A 1B 与直线CD 不能垂直． 20. （1）解：由题意得 1+12p =54，∴ p =12所以抛物线的方程为y =x 2…（2）证明：设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)因为y′=2x 则以点P 1为切点的抛物线的切线方程为y −y 1=2x 1(x −x 1) 又y 1=x 12，所以y =2x 1x −x 12…同理可得以点P 2为切点的抛物线的切线方程为y =2x 2x −x 22由{y =2x 1x −x 12y =2x 2x −x 22解得x =x 1+x 22… 又过点P(x 0, y 0)与M 1(0, −1)的直线的斜率为k 1=y 0+1x 0所以直线PM 1的方程为y =y 0+1x 0x −1由{y =y 0+1x 0x −1y =x 2得x 2−y 0+1x 0x +1=0所x 0x 1=1，即x 1=1x 0…同理可得直线PM 2的方程y =y 0−1x 0x +1由{y =y 0−1x 0x +1y =x 2得 x 2−y 0−1x 0x −1=0所以x 0x 2=−1，即x 2=−1x 0则x 1+x 2=1x 0+(−1x 0)=0，即P′得横坐标为0，所以点P′在y 轴上…21. （1）由f(x)＝me xlnx ，可得f ′(x)=m(e xlnx +e x x)，因为函数f(x)是J 函数，所以m(e x lnx +e x x)>me x lnx ，即me x x>0，因为e xx >0，所以m >0，即m 的取值范围为(0, +∞)． （2）①构造函数ℎ(x)=g(x)e x,x ∈(0,+∞)，则ℎ(x)=g ′(x)−g(x)e x>0，可得ℎ(x)为(0, +∞)上的增函数，当a >1时，ℎ(a)>ℎ(1)，即g(a)e a>g(1)e，得g(a)>e a−1g(1)；当0<a <1时，ℎ(a)<ℎ(1)，即g(a)e a<g(1)e，得g(a)<e a−1g(1)；当a ＝1时，ℎ(a)＝ℎ(1)，即g(a)e a=g(1)e，得g(a)＝e a−1g(1)．②因为x 1+x 2+...+x n >x 1，所以ln(x 1+x 2+...+x n )>lnx 1， 由①可知ℎ（ln(x 1+x 2+...+x n )）>ℎ(lnx 1)， 所以g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))e ln(x 1+x 2+⋯+x n )>g(lnx 1)e lnx 1，整理得x 1g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx 1)，同理可得x 2g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx 2)，…，x n g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx n )．把上面n 个不等式同向累加可得g （ln(x 1+x 2+...+x n )）>g(lnx 1)+g(lnx 2)+...+g(lnx n )． (12)22. ∵ PE 、PB 分别是⊙O 2的割线 ∴ PA ⋅PE ＝PD ⋅PB又∵ PA 、PB 分别是⊙O 1的切线和割线 ∴ PA 2＝PC ⋅PB由以上条件得PA ⋅PD ＝PE ⋅PC连接AC 、ED ，设DE 与AB 相交于点F ∵ BC 是⊙O 1的直径，∴ ∠CAB ＝90∘ ∴ AC 是⊙O 2的切线．由（1）知PAPE =PCPD ，∴ AC // ED ，∴ AB ⊥DE ，∠CAD ＝∠ADE 又∵ AC 是⊙O 2的切线，∴ ∠CAD ＝∠AED 又∠CAD ＝∠ADE ，∴ ∠AED ＝∠ADE∴ AD ＝AE23. 解：(1)将{x =3cosθy =2sinθ代入{x′=13x y′=12y， 得C ′的参数方程为{x =cosθy =sinθ∴ 曲线C ′的普通方程为x 2+y 2=1．(2)设P(x, y)，A(x 0, y 0)，又B(3, 0)，且AB 中点为P ， 所以有：{x 0=2x −3y 0=2y，又点A 在曲线C ′上，∴ 代入C ′的普通方程x 02+y 02=1得(2x −3)2+(2y)2=1， ∴ 动点P 的轨迹方程为(x −32)2+y 2=14． 24. 解：(1)∵ f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16 =√(x −3)2+√(x +4)2 =|x −3|+|x +4|，∴ f(x)≥f(4)即|x −3|+|x +4|≥9． ∴ ①{x ≤−43−x −x −4≥9，或②{−4<x <33−x +x +4≥9，或③{x ≥3x −3+x +4≥9．解①得：x ≤−5； 解②得：x 无解； 解③得：x ≥4．∴ f(x)≥f(4)的解集为{x|x ≤−5 或x ≥4}．(2)f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，即f(x)的图象恒在g(x)图象的上方， ∵ f(x)=|x −3|+|x +4| ={−2x −1,x ≤−47,−4<x <32x +1,x ≥3．由于函数g(x)=k(x −3)的图象为恒过定点P(3, 0)，且斜率k 变化的一条直线， 作函数y =f(x)和 y =g(x)的图象如图，其中，k PB=2，A(−4, 7)，∴ k PA=−1．由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，∴ 实数k的取值范围为(−1, 2]．。

江苏省苏州市2014届高三第一次模拟考试物理注意事项:1. 本试卷满分120分,考试时间100分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本题共5小题,每小题3分,共计15分.每小题只有一个选项符合题意.1. 下列说法中正确的是()A. 牛顿发现了万有引力定律并测出引力常量B. 伽利略通过实验和合理的外推提出质量并不是影响落体运动快慢的原因C. 亚里士多德通过理想实验提出力并不是维持物体运动的原因D. 在国际单位制中,力学的基本单位是牛顿、米和秒2. 如图所示电路中,电源电压u=311sin(100πt)V,A、B间接有“220 V440 W”的电暖宝、“220 V220 W”的抽油烟机、交流电压表及保险丝.下列说法中正确的是()A. 交流电压表的示数为311 VB. 电路要正常工作,保险丝的额定电流不能小于3 AC. 电暖宝发热功率是抽油烟机发热功率的2倍D. 工作1 min抽油烟机消耗的电能为1.32×104 J3. 如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔.质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住.现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移.在移动过程中手对线的拉力F和圆环对小球的弹力N的大小变化情况是()A. F不变,N增大B. F不变,N减小C. F减小,N不变D. F增大,N减小4. 如图所示,绝缘杆两端固定带电小球A和B,轻杆处于水平向右的匀强电场中,不考虑两球之间的相互作用,初始时杆与电场线垂直.现将杆右移,同时顺时针转过90°,发现A、B两球电势能之和不变.根据如图给出的位置关系,下列说法中正确的是()A. A一定带正电,B一定带负电B. A、B两球所带电荷量的绝对值之比q A∶q B=1∶2C. A球电势能一定增加D. 电场力对A球和B球做功相等5. 如图所示,光滑水平地面上固定一带光滑滑轮的竖直杆,用轻绳系着小滑块绕过滑轮.现用恒力F1水平向左拉滑块的同时,用恒力F2拉右侧绳端,使滑块沿水平面从A点起由静止开始向右运动,经过B后至C点.若AB=BC,下列说法中错误的是()A. 从A点至B点F2做的功小于从B点至C点F2做的功B. 从A点至B点F2做的功大于从B点至C点F2做的功C. 从A点至C点F2做的功可能等于滑块克服F1做的功D. 从A点至C点F2做的功可能大于滑块克服F1做的功二、多项选择题:本题共4小题,每小题4分,共计16分.每小题有多个选项符合题意.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,错选或不答的得0分.6. 已知地球半径为R,地面处的重力加速度为g,一颗距离地面高度为2R的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动.下列关于卫星运动的说法中,正确的是()A. 线速度大小为B. 角速度为C. 加速度大小为gD. 周期为6π7. 如图所示,虚线a、b、c代表电场中的三个等势面,相邻两等势面之间的电势差相等,即U ab=U bc.实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、Q是这条轨迹上的两个点.据此可知,下列说法中正确的是()A. 三个等势面中,c的电势最高B. 带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时大C. 带电质点通过P点时的动能比通过Q点时大D. 带电质点在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大8. 如图所示,长为L的轻杆A一端固定一个质量为m的小球B,另一端固定在水平转轴O上.轻杆A绕转轴O在竖直平面内匀速转动,角速度为ω.在轻杆A与水平方向夹角α从0°增加到90°的过程中,下列说法中正确的是()A. 小球B受到轻杆A作用力的方向一定沿着轻杆AB. 小球B受到的合力的方向一定沿着轻杆AC. 小球B受到轻杆A的作用力逐渐减小D. 小球B受到轻杆A的作用力对小球做正功9. 如图电路中,电源电动势为E、内阻为r.闭合开关S,增大可变电阻R的阻值后,电压表示数的变化量为ΔU.在这个过程中,下列说法中正确的是()A. 电压表的示数U和电流表的示数I的比值变大B. 电阻R1两端的电压减小,减小量等于ΔUC. 电容器的带电荷量减小,减小量小于CΔUD. 电压表示数变化量ΔU和电流表示数变化量ΔI的比值不变三、简答题:本大题共2小题;其中第10题8分,第11题10分,共计18分.请将解答填写在相应的位置.10. (8分)(1) 下图中游标卡尺读数为mm,螺旋测微器读数为mm.(2) 某实验小组为探究加速度与力之间的关系设计了如图甲所示的实验装置,用钩码所受重力作为小车所受的拉力,用DIS(数字化信息系统)测小车的加速度.通过改变钩码的数量,多次重复测量,可得小车运动的加速度a和所受拉力F的关系图象.他们在轨道水平和倾斜的两种情况下分别做了实验,得到了两条a-F图线,如图乙所示.甲乙①图线(填“Ⅰ”或“Ⅱ”)是在轨道水平的情况下得到的.②小车和位移传感器发射部分的总质量为kg,小车在水平轨道上运动时受到的摩擦力大小为N.(3) 某同学用小车做“研究匀变速直线运动”实验时,从打下的若干纸带中选出了如图所示的一条(每两点间还有4个点没有画出来),如图所示,纸带上的数字为相邻两个计数点间的距离.打点计时器的电源频率为50 Hz.该小车做匀变速直线运动的加速度a=m/s2,与纸带上D点相对应的瞬时速度v=m/s.(结果均要求保留三位有效数字)11. (10分)一实验小组准备探究元件Q的伏安特性曲线,他们设计了如图甲所示的电路图.请回答下列问题:(1) 请将图乙中的实物连线按电路图补充完整.(2) 考虑电表内阻的影响,该元件电阻的测量值(填“大于”、“等于”或“小于”)真实值.(3) 在电路图中闭合开关S,电流表、电压表均有示数,但无论怎样移动变阻器滑片,总不能使电压表的示数调为零.原因可能是图中的(填a、b、c、d、e、f)处接触不良.(4) 实验测得表格中的7组数据.图线.(5) 为了求元件Q在I-U图线上某点的电阻,甲同学利用该点的坐标I、U,由R=求得.乙同学作出该点的切线,求出切线的斜率k,由R=求得.其中(填“甲”或“乙”)同学的方法正确.四、计算题:本题共5小题,共计71分.解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤.只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位.12. (12分)冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目,比赛场地示意如图.比赛时运动员在投掷线AB处让冰壶以v0=2 m/s的初速度向圆垒圆心O点滑出,已知圆垒圆心O到AB线的距离为30 m,冰壶与冰面间的动摩擦因数为μ1=0.008(取g=10 m/s2).问:(1) 如果在圆垒圆心O有对方的冰壶,则能否撞到对方冰壶?请通过计算说明理由.(2) 如果在圆垒圆心O有对方的冰壶,为了确保将对方冰壶撞开,运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面,使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小,若用毛刷擦冰面后动摩擦因数减少至μ2=0.004,则运动员用毛刷擦冰面的长度应大于多少米?13. (14分)某同学利用玩具电动车模拟腾跃运动.如图所示,AB是水平地面,长度为L=6 m,BC是半径为R=12 m的圆弧,AB、BC相切于B点,CDE是一段曲面.玩具电动车的功率始终为P=10 W,从A点由静止出发,经t=3 s到达B点,之后通过曲面到达离地面h=1.8 m的E点水平飞出,落地点与E点的水平距离x=2.4 m.玩具电动车可视为质点,总质量为m=1 kg,在AB段所受的阻力恒为2 N,重力加速度取g=10 m/s2,不计空气阻力.(1) 求玩具电动车过B点时对圆弧轨道的压力.(2) 求玩具电动车过E点时的速度.(3) 若从B点到E点的过程中,玩具电动车克服摩擦阻力做功10 J,则该过程所需要的时间是多少?14. (14分)如图所示,足够长的光滑导轨ab、cd固定在竖直平面内,导轨间距为l,b、c两点间接一阻值为R 的电阻.ef是一水平放置的导体杆,其质量为m、有效电阻值为R,杆与ab、cd保持良好接触.整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直.现用一竖直向上的力F拉导体杆,使导体杆从静止开始做加速度为的匀加速直线运动,在上升高度为h的过程中,拉力做功为W,g为重力加速度,不计导轨电阻及感应电流间的相互作用.求:(1) 导体杆上升到h时所受拉力F的大小.(2) 导体杆上升到h过程中通过杆的电荷量.(3) 导体杆上升到h过程中bc间电阻R产生的焦耳热.15. (15分)如图所示的坐标系中,第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场,电场强度E=400 N/C;第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场,x轴方向的宽度OA=20cm,y轴负方向无限大,磁感应强度B=1×10-4 T.现有一比荷为=2×1011 C/kg的正离子(不计重力),以某一速度v0从O点射入磁场,α=60°,离子通过磁场后刚好从A点射出,之后进入电场.(1) 求离子进入磁场B的速度v0的大小.(2) 离子进入电场后,经多少时间再次到达x轴上.(3) 若离子进入磁场B后,某时刻再加一个同方向的匀强磁场使离子做完整的圆周运动,求所加磁场磁感应强度的最小值.16. (16分)如图甲所示,斜面倾角为37°,一宽为l=0.43 m的有界匀强磁场垂直于斜面向上,磁场边界与斜面底边平行.在斜面上由静止释放一正方形金属线框,线框沿斜面下滑,下边与磁场边界保持平行.取斜面底边重力势能为零,从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中,线框的机械能E和位移s之间的关系如图乙所示,图中①、②均为直线段.已知线框的质量为m=0.1 kg,电阻为R=0.06 Ω,重力加速度取g=10 m/s2.(1) 求金属线框与斜面间的动摩擦因数.(2) 求金属线框刚进入磁场到恰完全进入磁场所用的时间.(3) 求金属线框穿越磁场的过程中,线框中产生的最大电功率.(4) 请在图丙中定性地画出金属线框从开始运动到完全穿出磁场的过程中,线框ab边两端的电势差U ab随时间t变化的图象.。

2014年江苏省常州市某校高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应答题线上．） 1. 已知集合M ＝{−1, 1}，N ={x|12<2x+1<4,x ∈Z}，则M ∩N ＝________． 2. 在复平面上，复数3(2−i)2对应的点到原点的距离为________．3. 已知函数f(x)=sin 4ωx −cos 4ωx(ω>0)的最小正周期是π，则ω=________．4. 某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为________．5. 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1+a 2=1，a 3+a 4=4，则a 5+a 6+a 7+a 8=________．6. 已知|a →|＝3，|b →|＝4，(a →+b →)⋅(a →+3b →)＝33，则a →与b →的夹角为________．7. 在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是________．8. 执行如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为________．9. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个命题： ①α // β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l // m ； ③l // m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α // β其中正确命题的序号是________．10. 若动点P(m, n)是不等式组{2x +y ≤4x ≥0y ≥0表示的平面区域内的动点，则z =n+1m+1的取值范围是________．11. 记S k =1k +2k +3k +...+n k ，当k =1，2，3，…时，观察下列等式： S 1=12n 2+12n ， S 2=13n 3+12n 2+16n ， S 3=14n 4+12n 3+14n 2，S 4=15n 5+12n 4+13n 3−130n ，S 5=An 6+12n 5+512n 4+Bn 2， …可以推测，A −B =________．12. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和圆O:x 2+y 2=b 2，若C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB =60∘，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．13. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆x 2+y 2−2y =0(1≤y ≤2)上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当OA →⋅OC →=10时，则点C 的横坐标的取值范围是________． 14. 设f(x)＝e tx (t >0)，过点P(t, 0)且平行于y 轴的直线与曲线C:y ＝f(x)的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1, f(1)），则△PRS 的面积的最小值是________e2 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 设函数f(x)=sin(2x +π6)+cos 2x +√3sinxcosx ．（1）若|x|<π4，求函数f(x)的值域；（2）设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若f(A 2)=52，cos(A +C)=−5√314，求cosC 的值． 16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△PAB 和△CAB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，D 、E 、F 分别是PC 、AC 、BC 的中点． （1）证明：平面DEF // 平面PAB ； （2）证明：AB ⊥PC ；（3）若AB =2PC =√2，求三棱锥P −ABC 的体积．17. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设∠AA 1H 1＝α． （1）试用α表示△AA 1H 1的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．18. 如图，已知F(c, 0)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点；⊙F：(x−c)2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．（1）求椭圆C的离心率；（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；（3）设直线AB与椭圆C交于另一点G，若△BGD的面积为24√613c，求椭圆C的标准方程．19. 设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且T n=4−(S n−p)23，其中p为常数．（1）求p的值；（2）求证：数列{a n}为等比数列；（3）证明：“数列a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．20. 已知函数f(x)=x(x−a)(x−b)，点A（s, f(s)），B（t, f(t)）．（1）若a=0，b=3，函数f(x)在(t, t+3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；（2）当a=0时，f(x)x +lnx+1≥0对任意的x∈[12，+∞)恒成立，求b的取值范围；（3）若0<a<b，函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且a+b<2√3，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．（选修4-2：矩阵与变换）21. 试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=|1002|，N=|1201|．（选修4-4：极坐标与参数方程）22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=3√2．（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C:x216+y29=1上一点，求P到直线的距离的最大值．23. 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为ξ．（1）求ξ=6的概率；（2）求ξ的分布列和期望．24. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB // DC，∠DAB=90∘，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求AC与PB的夹角的余弦值；(3)求平面AMC与平面BMC夹角的余弦值.2014年江苏省常州市某校高考数学一模试卷答案1. {−1}2. 353. 14. 205. 806. 120∘7. 138. −329. ①③10. [13,5]11. 1412. [√32，1)13. [−5, 5]14. e2．15. 解：（1）∵ f(x)=√32sin2x+12cos2x+1+cos2x2+√32sin2x=√3sin2x+cos2x+12=2sin(2x+π6)+12，∵ |x|<π4∴ −π3<2x+π6<2π3，∴ −√32<sin(2x+π6)≤1，∴ 12−√3<f(x)≤52，∴ f(x)的值域为(12−√3，52]；（2）由f(A2)=52，得sin(A+π6)=1，∵ A为△ABC的内角，∴ A=π3，又∵ 在△ABC中，cos(A+C)=−5√314，∴ sin(A+C)=1114，∴ cosC=cos(A+C−π3)=12cos(A+C)+√32sin(A+C)=3√314，∴ cosC的值为3√314．16. 解：（1）证明：∵ E、F分别是AC、BC的中点，∴ EF // AB．∵ AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴ EF // 平面PAB，同理DF // 平面PAB．∵ EF∩DF=F且EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，∴ 平面DEF // 平面PAB．（2）证明：取AB的中点G，连结PG、CG，∵ △PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴ PG⊥AB，CG⊥AB，∵ PG∩CG=G，且PG⊂平面PCG，CG⊂平面PCG，∴ AB⊥平面PCG．∵ PC⊂平面PCG，∴ AB⊥PC；（3）解：在等腰直角三角形PAB中，AB=√2，G是斜边AB的中点，∴ PG=12AB=√22，同理CG=√22．∵ PC=√22，∴ △PCG是等边三角形，∴ S△PCG=12⋅PG⋅CG⋅sin60∘=12⋅√22⋅√22⋅√32=√38．∵ AB⊥平面PCG，∴ V P−ABC=13⋅AB⋅S△PCG=13⋅√2⋅√38=√624．17. 设AH1为x，∴ x+xsinα+xtanα=4，x=4sinαsinα+cosα+1，S△AA1H1=12⋅x2tanα=8sinαcosα(sinα+cosα+1)2，α∈(0,π2)，令t=sinα+cosα∈(1,√2]，只需考虑S△AA1H1取到最大值的情况，即为S=4(t 2−1)(t+1)2=4−8t+1，当t=√2，即α＝45∘时，S△AA1H1达到最大此时八角形所覆盖面积的最大值为64−32√2．18. 解：（1）∵ 圆F过椭圆C的左焦点，把(−c, 0)代入圆F的方程，得4c2=a2，∴ 2c=a．故椭圆C的离心率e=ca =12．（2）在方程(x−c)2+y2=a2中令x=0得y2=a2−c2=b2，可知点B为椭圆的上顶点，由（1）知，ca =12，∴ a=2c,b=√a2−c2=√3c，∴ B(0,√3c)，在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为(3c, 0)，则点A为(−3c, 0)，于是可得直线AB的斜率k AB=√3c3c =√33，而直线FB的斜率k FB=√3c−c=−√3，∵ k AB⋅k FD=−1，∴ 直线AB与⊙F相切．（3）椭圆的方程可化为3x2+4y2=12c2由（2）知切线AB的方程为y=√33x+√3c，联立{3x2+4y2=12c2y=√33x+√3c，解得点G的坐标为(−2413c，5√313c)．而点D(3c, 0)到直线AB的距离d=√3c|√1+13=3c，由S△BGD=12⋅|BG|⋅d=12⋅(2413(5√313√3c)3c=24√313c2=24√613c解得c=√2，∴ 椭圆的标准方程为x28+y26=1．19. n＝1时，由1=4−(1−p)23得p＝0或2，若p＝0时，T n=4−S n23，当n＝2时，1+a22=4−(1+a2)23，解得a2＝0或a2=−12，而a n>0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；证明：当p＝2时，T n=43−13(2−S n)2①，则T n+1=43−13(2−S n+1)2②，②-①并化简得3a n+1＝4−S n+1−S n③，则3a n+2＝4−S n+2−S n+1④，④-③得a n+2=12a n+1(n∈N∗)，又因为a2=12a1，所以数列{a n}是等比数列，且a n=12n−1；证明：充分性：若x＝1，y＝2，由a n=12n−1知a n，2x a n+1，2y a n+2依次为12n−1，22n，42n+1，满足2×22n =12n−1+42n+1，即a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列；必要性：假设a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数，又a n=12n−1，所以2⋅2x⋅12n =12n−1+2y⋅12n+1，化简得2x−2y−2＝1显然x>y−2，设k＝x−(y−2)，因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x−2y−2>1或2x−2y−2<1，故当k＝1，且当x＝1，且y−2＝0时上式成立，即证．20. （1）当a=0，b=3时，f(x)=x3−3x2，f′(x)=3x2−6x，令f′(x)=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f(x)在x=0处取得极大值，在x= 2处取得极小值．函数f(x)在(t, t+3)上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要t <0且t +3>2即可，即只要−1<t <0即可．所以t 的取值范围是(−1, 0)． （2）当a =0时，f(x)x+lnx +1≥0对任意的x ∈[12，+∞)恒成立，即x 2−bx +lnx +1≥0对任意的x ∈[12，+∞)恒成立，也即b ≤x +lnx x+1x在对任意的x ∈[12，+∞)恒成立．令g(x)=x +lnx x+1x ， 则g′(x)=1+1−lnx x 2−1x 2=x 2−lnx x 2．记m(x)=x 2−lnx ，则m′(x)=2x −1x=2x 2−1x，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x =√22， 故也是最小值点，所以m(x)≥m(√22)=12−ln√22>0，从而g ′(x)>0，所以函数g(x)在[12，+∞)单调递增． 函数g(x)min =g(12)=52−2ln2．故只要b ≤52−2ln2即可． 所以b 的取值范围是(−∞,52−2ln2]．（3）假设OA →⊥OB →，即OA →⋅OB →=0，即（s, f(s)）•（t, f(t)）=st +f(s)f(t)=0， 故(s −a)(s −b)(t −a)(t −b)=−1，即[st −(s +t)a +a 2][st −(s +t)b +b 2]=−1． 由于s ，t 是方程f ′(x)=0的两个根， 故s +t =23(a +b)，st =ab 3，0<a <b ．代入上式得ab(a −b)2=9.(a +b)2=(a −b)2+4ab =9ab +4ab ≥2√36=12， 即a +b ≥2√3，与a +b <2√3矛盾， 所以直线OA 与直线OB 不可能垂直． 21. 解：MN =[1002] [12001]=[12002]，即在矩阵MN 变换下[x y ]→[x′y′]=[12x 2y ]，则12y′=sin2x′，即曲线y =sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y =2sin2x ．22. 解：（1）把直线的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=3√2展开得ρ(√22sinθ−√22cosθ)=3√2，化为ρsinθ−ρcosθ=6，得到直角坐标方程x −y +6=0．（2）∵ P 为椭圆C:x 216+y 29=1上一点，∴ 可设P(4cosα, 3sinα)，利用点到直线的距离公式得d =√2=√2≤√2=11√22． 当且仅当sin(α−φ)=−1时取等号． ∴ P 到直线的距离的最大值是11√22． 23. 解：（1）当ξ=6时，若甲赢意味着“第6次甲赢，前5次赢3次， 但根据规则，前4次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为12，因此P(ξ=6)=2C 53×(12)3×(12)2×12=516…4分（2）分布列为：∴ Eξ=4×18+5×14+6×516+7×516=9316 …12分24. (1)证明：以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴， AD 长为单位长度，建立空间直角坐标系，如图，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,12)．∵ AP →=(0,0,1)，DC →=(0,1,0)， ∴ AP →⋅DC →=0，∴ AP ⊥DC ．由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥平面PAD ． 又DC ⊂平面PCD ，故平面PAD ⊥平面PCD ．(2)解：∵ AC →=(1,1,0)，PB →=(0,2,−1)， ∴ |AC →|=√2，|PB →|=√5，AC →⋅PB →=2， ∴ cos <AC →，PB →>=|AC →||PB →|˙=√105，即AC 与PB 的夹角的余弦值为√105.(3)在MC 上取一点N(x, y, z)，则存在λ∈R 使NC →=λMC →， ∵ NC →=(1−x, 1−y, −z)，MC →=(1, 0, −12)， ∴ x =1−λ，y =1，z =12λ， 要使AN ⊥MC ，只需AN →⋅MC →=0， 即x −12z =0，解得λ=45．可知当λ=45时，N 点的坐标(15,1,25)，能使AN →⋅MC →=0，此时AN →=(15,1,25)，BN →=(15,−1,25)有BN →⋅MC →=0．由AN →⋅MC →=0，BN →⋅MC →=0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， 所以∠ANB 为所求二面角的平面角． ∵ |AN →|=√305，BN →=√305，AN →⋅BN →=−45，∴ cos <AN →，BN →>=AN →⋅BN →|AN →|⋅|BN →|=−23，即平面AMC 与平面BMC 夹角的余弦值为−23．。

苏州市2014届高三调研测试 2014．1 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ( { x | x 0，b > 0，求证：在区间[1，2]上是增函数； ② 若，，且在区间[1，2]上是增函数，求由所有点形成的平面区域的面积． 苏州市2014届高三调研测试 数学Ⅱ（附加题） 2014．1 21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．选修4 ( 1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E， 求证：AB·CD=BC·DE． ．选修4 ( 2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知a，b，若=所对应的变换TM 把直线2x ( y=3变换成自身，试求 实数a，b．．选修4 ( 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，求点M 关于直线的对称点N的极坐标，并求MN的长． ．选修4 ( 5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知x，y，z均为正数．求证：． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 如图，在空间直角坐标系O ( xyz中，正四棱锥 P ( ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别 在PA，BD上，且． （1）求证：MN⊥AD； （2）求MN与平面PAD所成角的正弦值． 23．（本小题满分10分） 设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD ( A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，=0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积． （1）求概率P（=0）； （2）求的分布列，并求其数学期望E ()． （第22题） （第21-A题） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． （第18题） （第16题） N Y y ← (2x 输入x y ← x(x(2) （第6题） 输出y x≥0 开始 结束 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 ( 第14题）、解答题（第15题 ( 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．。

2014年江苏省苏州市某校高考数学零模试卷一.填空题（本题共14小题，每小题5分，计70分．不需写解答，请把答案写在答题纸指定位置上）1. 已知复数z =1+2i （i 是虚数单位），则|z|=________．2. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为√5，则其渐近线方程为________．3. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．4. 若变量x ，y 满足约束条件{y ≤2xx +y ≤1y ≥−1 ，则目标函数z ＝x +2y 的最大值为________．5. 命题“∃x ∈R ，2x 2−3ax +9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．6. 当A ，B ∈{1, 2, 3}时，在构成的不同直线Ax −By =0中，任取一条，其倾斜角小于45∘的概率是________．7. 底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为________m 2． 8. 已知sin(α−45∘)=−√210，且0∘<α<90∘，则cosα的值为________．9. 设a 为实常数，y =f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=9x +a 2x+7．若f(x)≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为__________.10.如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n =a n ，若a 1=1，a 2=2，则数列{a n }的通项公式是________．11. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x 都有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为________．12. 已知直线y =ax +3与圆x 2+y 2+2x −8=0相交于A ，B 两点，点P(x 0, y 0)在直线y =2x 上，且PA =PB ，则x 0的取值范围为________．13. 设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 任一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则三角形ABC 的形状为________．14. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c 的两个极值点分别为x 1和x 2，有f(x 1)=x 2，f(x 2)=x 1，其中x 1≠x 2，则函数g(x)=f 2(x)+af(x)+b 的零点个数为________．二．解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15. 已知向量m →=(cosx, −sinx)，n →=(cosx, sinx −2√3cosx)，x ∈R ，令f(x)=m →⋅n →， （1）当x ∈(0, π2)时，求f(x)的值域；（2）已知f(α2)=23，求cos(2α−23π)的值．16. 在四棱锥P −ABCD 中，∠ABC =∠ACD =90∘，∠BAC =∠CAD =60∘，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA =2AB =2． （1）求四棱锥P −ABCD 的体积V ；（2）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （3）求证CE // 平面PAB ．17. 已知 A ，B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC ，BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M ，N 分别为弧AC ，弧BC 的中点，在三角形AMC ，三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为S 1，草坪的面积为S 2，取∠ABC =θ．(1)用θ及R 表示S 1和S 2； (2)求S1S 2的最小值．18. 已知点P(4, 4)，圆C ：(x −m)2+y 2=5(m <3)与椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有一个公共点A(3, 1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →⋅AQ →的取值范围．19. 已知数列{a n}满足，a n+1+a n=4n−3．(1)若数列{a n}是等差数列，求a1的值；(2)当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n．20. 已知a∈R，函数f(x)＝x3−3x2+3ax−3a+3．（1）求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）当x∈[0, 2]时，求|f(x)|的最大值．2014年江苏省苏州市某校高考数学零模试卷答案1. √52. 2x±y＝03. 64. 535. [−2√2, 2√2]6. 377. 3√38. 459. a≤−8710. a n=√3n−211. 212. (−1, 0)∪(0, 2)13. 等腰三角形14. 415. 解（1）∵ f(x)=m→⋅n→=cos2x−sinx(sinx−2√3cosx)=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx=cos2x+√3sin2x∴ f(x)=2sin(2x+π6)，∵ x∈(0,π2)，∴ π6<2x+π6≤7π6∴ sin(2x+π6)∈(−12,1]∴ y=f(x)的值域为(−1, 2]；…（2）由f(α2)=23⇒2sin(α+π6)=23⇒sin(α+π6)=13∴ cos(2α−23π)=cos[2(α+π6)−π]=−cos2(α+π6)=−1+2sin2(α+π6)=−79．16. 解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60∘，∴ BC=√3，AC=2．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60∘，∴ CD=2√3，AD=4．∴ S ABCD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×1×√3+12×2×2√3=52√3．则V=13×52√3×2=53√3．（2）∵ PA=CA，F为PC的中点，∴ AF⊥PC．∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥CD．∵ AC⊥CD，PA∩AC=A，∴ CD⊥平面PAC．∴ CD⊥PC．∵ E为PD中点，F为PC中点，∴ EF // CD．则EF⊥PC．∵ AF∩EF=F，∴ PC⊥平面AEF．（3）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM // PA．∵ EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ EM // 平面PAB．...12分在Rt△ACD中，∠CAD=60∘，AC=AM=2，∴ ∠ACM=60∘．而∠BAC=60∘，∴ MC // AB．∵ MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴ MC // 平面PAB．∵ EM∩MC=M，∴ 平面EMC // 平面PAB．∵ EC⊂平面EMC，∴ EC // 平面PAB．证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵ ∠NAC=∠DAC=60∘，AC⊥CD，∴ C为ND的中点．...12分∵ E为PD中点，∴ EC // PN．…14分∵ EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴ EC // 平面PAB．17. 解：(1)因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则S2=12AC⋅BC=2R2sinθcosθ=R2sin2θ．如图，设AB的中点为O，连结MO，NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO−OE=R−BC2=R−Rcosθ=R(1−cosθ)．所以：S△AMC=12|AC|⋅|ME|=R2sinθ(1−cosθ)；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ(1−sinθ)，∴ S1=R2sinθ(1−cosθ)+R2cosθ(1−sinθ)=R2(sinθ+cosθ−2sinθcosθ)．(2)∵ S1S2=R2(sinθ+cosθ−2sinθcosθ)2R2sinθcosθ=sinθ+cosθ2sinθcosθ−1，令sinθ+cosθ=t∈(1,√2]，则2sinθcosθ=t2−1．∴ S1S2=tt2−1−1=f(t)．∴f′(t)=−1−t2(t2−1)2<0,∴ y=f(t)在(1，√2]上单调递减，∴ f(t)min=f(√2)=√2−1,∴ S1S2的最小值为√2−1．18. 解：(1)点A代入圆C方程，得(3−m)2+1=5．∵ m<3，∴ m=1．设直线PF1的斜率为k，则PF1:y=k(x−4)+4，即kx−y−4k+4=0．∵ 直线PF1与圆C相切，圆C：(x−1)2+y2=5，∴√k2+1=√5，解得k =112，或k =12．当k =112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k =12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为−4， ∴ c =4．∴ F 1(−4, 0)，F 2(4, 0)．故2a =AF 1+AF 2=5√2+√2=6√2，a =3√2，a 2=18，b 2=2． 椭圆E 的方程为：x 218+y 22=1．(2)AP →=(1,3)，设Q(x, y)，AQ →=(x −3,y −1)，AP →⋅AQ →=(x −3)+3(y −1)=x +3y −6． ∵ x 218+y 22=1，即x 2+(3y)2=18，而x 2+(3y)2≥2|x|⋅|3y|，∴ −18≤6xy ≤18．则(x +3y)2=x 2+(3y)2+6xy =18+6xy 的取值范围是[0, 36]． ∴ x +3y 的取值范围是[−6, 6]∴ x +3y −6的范围只：[−12, 0]． 即AP →⋅AQ →的取值范围是[−12, 0]．19. 解：(1)若数列{a n }是等差数列，则a n =a 1+(n −1)d ，a n+1=a 1+nd ． 由a n+1+a n =4n −3，得(a 1+nd)+[a 1+(n −1)d]=4n −3， 即2d =4，2a 1−d =−3， 解得，d =2,a 1=−12．(2)①当n 为奇数时，S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+...+(a n−1+a n ) =2+4[2+4+⋯+(n −1)]−3×n −12=2n 2−3n+52，②当n 为偶数时，S n =a 1+a 2+a 3+...+a n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+...+(a n−1+a n ) =1+9+...+(4n −7) =2n 2−3n2．20. 因为f(x)＝x 3−3x 2+3ax −3a +3，所以f′(x)＝3x 2−6x +3a ，故f′(1)＝3a −3，又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a −3)x −3a +4； 由于f′(x)＝3(x −1)2+3(a −1)，0≤x ≤2．故当a ≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0, 2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|, |f(2)|}＝3−3a．当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0, 2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|, |f(2)|}＝3a−1．当0<a<1时，由3(x−1)2+3(a−1)＝0，得x1=1−√1−a，x2=1+√1−a．所以，当x∈(0, x1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2, 2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极大值f(x1)=1+2(1−a)√1−a，极小值f(x2)=1−2(1−a)√1−a．故f(x1)+f(x2)＝2>0，f(x1)−f(x2)=4(1−a)√1−a>0．从而f(x1)>|f(x2)|．所以|f(x)|max＝max{f(0), |f(2)|, f(x1)}．当0<a<23时，f(0)>|f(2)|．又f(x1)−f(0)=2(1−a)√1−a−(2−3a)=22(1−a)√1−a+2−3a>0故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1−a)√1−a．当23≤a<1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)−|f(2)|=2(1−a)√1−a−(3a−2)=22(1−a)√1−a+3a−2．所以当23≤a<34时，f(x1)>|f(2)|．故f(x)max=f(x1)=1+2(1−a)√1−a．当34≤a<1时，f(x1)≤|f(2)|．故f(x)max＝|f(2)|＝3a−1．综上所述|f(x)|max={3−3a,a≤01+2(1−a)√1−a,0<a<343a−1,a≥34．。

苏州市高考数学一模试卷及答案苏州市高考数学一模试卷填空题本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5&le;0，x&isin;Z}，则&#8705;UM= .2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .3.函数f(x)= 的定义域为.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，&ang;A=60&deg;，若点P满足 = + ，且 &bull; =1，则实数&lambda;的值为.12.已知sin&alpha;=3sin(&alpha;+ )，则tan(&alpha;+ )= .13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为.苏州市高考数学一模试卷解答题二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1&perp;A1B，求证：AC1&perp;BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)&bull;高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为&alpha;，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成关于&alpha;的函数l=f(&alpha;);(2)问当&alpha;为何值时l最小?并求最小值.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l(a&gt;b&gt;0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣ )作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+&infin;)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)&ge;0恒成立，求a的取值范围.20.己知n为正整数，数列{an}满足an&gt;0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n&isin;N*，均存在m&isin;N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数a1的值.三.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求&ang;DAC的度数与线段AE的长.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值&lambda;=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为&rho;=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N 分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.26.设|&theta;|&lt; ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tann&theta;，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1) tann&theta;;(2)求证：对任何正整数n，S2n=sin2&theta;&bull;[1+(﹣1)n+1tan2n&theta;].。

2013年江苏高考数学模拟试卷（四）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．．设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a 的值为 ．抛物线22(0)y px p =>上的一点(1,)A m 到其焦点的距离为 ，则．函数2221(0)()1(0)x x x f x x ax x ⎧-+>⎪=⎨---<⎪⎩是奇函数，则实数a =．已知全集U R =，集合{}250A x Z x x =∈-+≤，{}40B x x =-<，则()U A B 中最大的元素是．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b的夹角为．下面求258112012+++++的值的伪代码中，正整数m 的最大值为．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（ ， ）处的切线与⌧轴的交点的横坐标为n x ， 则201212012220122011log log log x x x +++的值为 ．．若 ＜⌧＜☐ ，则函数⍓＝♦♋⏹ ⌧♦♋⏹⌧的最大值为 ．．在棱长为 的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方 （第 题图）体1111ABCD A B C D -内随机取一点 P ，则点P 到点O 的距离大于 的概率为✋←←♒♓●♏ ✋＜❍← ✋✋←✋ EFABC D P．在ABC ∆中，两中线AD 与BE 相互垂直，则()cos A B +的最大值为 ．某同学为研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如右图所示的两个边长为 的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x ，则()AP PF f x 请你参考这些信息，推知函数()4()9g x f x的零点的个数是．在平面直角坐标系⌧⍓中，直线●：⌧－⍓＋ ＝ 与圆 ：⌧ ＋⍓ ＝❒ ☎❒＞ ✆相交于✌， 两点．若✹ ✌＋ ✹ ＝ ✹，且点 也在圆 上，则圆 的方程为．设正项数列 ♋⏹❝的前⏹项和是 ⏹，若 ♋⏹❝和 ⏹❝都是等差数列，且公差相等，则♋ ＝．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是二、解答题：本大题共 小题，共 分 （本小题满分 分）已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ． ♦设BC CA CA AB ⋅=⋅，求证ABC ∆是等腰三角形；◆设向量(2sin ,s C = 2(cos2,2cos 1)2C t C =-，且s t 若12sin 13A =，求sin()3B π-的值．（第 题图） （本小题满分 分）如图，四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，点E是PA的中点．♦求证：PC 平面BDE；◆求证：平面PAC⊥平面BDE．（本小题满分 分如图一块长方形区域✌，✌＝ （km），✌＝（km）．在边✌的中点 处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠☜☞始终为π4，设∠✌☜＝↑，探照灯 照射在长方形✌内部区域的面积为 ．（ ）当 ≤↑＜π2时，写出 关于↑的函数表达式；（ ）若探照灯每 分钟旋转“一个来回”（ ☜自 ✌转到 ，再回到 ✌，称“一个来回”，忽略 ☜在 ✌及 反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设✌边上有一点☝，且∠✌☝＝π6，求点☝在“一个来回”中，被照到的时间．ABDPE（第 题）C☜ ✌（第 题）．☎本小题满分 分✆ 已知椭圆221:12xC y+=和圆222:1C x y+=，✌， ，☞分别为椭圆 左顶点、下顶点和右焦点．⑴点 是曲线 上位于第二象限的一点，若△✌☞的面积为12+求证：✌⊥ ；⑵点 和☠分别是椭圆 和圆 上位于⍓轴右侧的动点，且直线 ☠的斜率是直线 斜率的 倍，证明直线 ☠恒过定点．（本小题满分 分）对于函数⍓＝♐☎⌧✆，若存在开区间 ，同时满足：①存在♦∈ ，当⌧＜♦时，函数♐☎⌧✆单调递减，当⌧＞♦时，函数♐☎⌧✆单调递增；②对任意⌧＞ ，只要♦－⌧，♦＋⌧∈ ，都有♐☎♦－⌧✆＞♐☎♦＋⌧✆，则称⍓＝♐☎⌧✆为 内的“勾函数”．（ ）证明：函数⍓＝log (0,1)a x a a >≠为☎，＋∞✆内的“勾函数”；（ ）若 内的“勾函数”⍓＝♑☎⌧✆的导函数为⍓＝♑ ☎⌧✆，⍓＝♑☎⌧✆在 内有两个零点⌧ ，⌧ ，求证： ♑ ☎⌧ ＋⌧✆＞ ；（ ）对于给定常数●，是否存在❍，使函数♒☎⌧✆＝ ●⌧ －● ⌧ － ● ⌧＋ 在☎❍，＋✆内为❽勾函数❾？若存在，试求出❍的取值范围，若不存在，说明理由．．（本小题满分 分）已知数列{}n a 中，11a =，*,0n n N a ∈>，数列{}n a 的前⏹项和为n S ，且满足1121n n n a S S ++=+-．⑴求证：数列21{()}2n S -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n S 中存在若干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以 首项， 为公比的等比数列{}k b ．①求这个等比数列的项数k 与⏹的关系式()k k n =；②记1(2)()1n c n k n =-≥，求证：212[,)33ni i c =∈∑．第Ⅱ卷（附加题，共 分）．☯选做题 本题包括✌、 、 、 四小题，每小题 分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．． ✌．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙ 的直径✌的延长线与弦 的延长线相交于点 ，☜为⊙ 上一点，✌☜ ✌， ☜交✌于点☞．求证：△ ☞∽△ ．☜．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得βα=2A ．．（选修４－４：坐标系与参数方程）椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，点(,)P x y 是椭圆上的一个动点，若y x 32+的最大值为10，求椭圆的标准方程．．（选修４－５：不等式选讲）已知⌧，⍓， 均为正数．求证：111y x z yz zxxy x y z≥．【必做题】第 题、第 题，每题 分，共计 分．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 局 胜制（即先胜 局者获胜， 比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同 （ ）求乙获胜且比赛局数多于 局的概率； （ ）求比赛局数✠的分布列和数学期望☜☎✠✆．．已知♐⏹☎⌧✆＝☎＋ ⌧✆⏹，⏹ ☠✉☎✆ 若♑☎⌧✆＝♐ ☎⌧✆＋♐ ☎⌧✆＋♐ ☎⌧✆，求♑☎⌧✆中含⌧ 项的系数； ☎✆ 若☐⏹是♐⏹☎⌧✆展开式中所有无理项的二项式系数和，数列 ♋⏹❝是各项都大于 的数组成的数列，试用数学归纳法证明：1212(1)(1)(1)1n n n a a a p a a a +++≤+．。

2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，则ϕ的值是 ． 【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 25510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是 ． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分14分.（1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin αα=--=()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =． （1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵ACEF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x+=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴5c a = 518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=-解得a =80，b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803.CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45， 又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x-+->，即e 1e e 1xx x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211tm t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a aa a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y≥0>， 所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+成立． 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分. (1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+. 下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).。

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题2014．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =，则AB = ▲ ．2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ▲ ．4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2； (]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ．5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ． 6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ． 7． 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ． 9．已知2tan()5+=，1tan 3=，则tan +4⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ▲ ．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ． 11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ▲．（第5题）12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17．（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．111DC B AC BA （第16题）（第12题）ABCDOG（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆22221(0) x ya ba b+=>>上不同的三点，A，(3,3)B--，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM ON⋅为定值并求出该定值．19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a的前n项和为S n，已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a的通项公式；θD CBA O（第17题）（第18题）（2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．20．（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x ==成立，求m 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为22cos ,()2sin x y =+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设01212(1)m mn n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=．（1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-； （2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，求S 的值．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{}1,2,3,4,7 2 3. 4 4.7105．63 6．2 7 8. 23 9． 9810．13 11．9 12．65 13. 27321,{0,22e+⎛⎫-- ⎪⎝⎭14. [3(327,3++--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）1+cos2()622xf x x =⨯=3cos223x x + =)36x ++． …………………3分所以()f x 的最小正周期为22T ==，…………………4分 值域为[3-+． …………………6分 （2）由()0f B =，得πcos(2)6B +=．B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分∵4cos 5A =，(0,)A ∈，∴3sin 5A ==．…………………10分在△ABC 中，由正弦定理得32sin sin b A a B⨯=== …………………12分∴21sin sin()=sin()sin 322C A B A A A =---=+=． …………………14分 16．（1）证明：∵ 11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=︒，∴△1A AB 为正三角形． …………………2分D 是AB 的中点，∴1AB A D ⊥．∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴ AB CD ⊥． …………………4分1A D CD D =，∴AB ⊥平面1A DC ． …………………6分∵AB ⊂平面ABC ，∴平面1A DC ⊥平面ABC ． …………………8分 （2）证明：连结1C A ，设11AC AC E =，连结DE ． ∵三棱柱的侧面11AA C C 是平行四边形，∴E 为1AC 中点． …………………10分 在△1ABC 中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥1BC ． …………………12分 ∵DE ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴ 1BC ∥平面1A DC ． …………………14分 17．解：（1）梯形ABCD 的面积2cos 2sin 2ABCD S +=⋅=sin cos sin +，(0,)2∈． …………………2分 体积()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈． …………………3分（2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V '=+-=-+． 令()0V '=，得1cos 2=，或cos 1=-（舍）． ∵(0,)2∈，∴3=． …………………5分当(0,)3∈时，1cos 12<<，()0,()V V '>为增函数；当(,)32∈时，10cos 2<<，()0,()V V '<为减函数． …………………7分∴当3=时，体积V 最大． …………………8分（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin22=，即3=时，()g 最大． …………………12分又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 18．解：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分 （2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --． 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．① 又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． …………………5分 所以点C 的坐标为(5,1)--． …………………6分 （3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ． ∵,,P B M 三点共线，∴011033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--．…………………8分∵,,P C N 三点共线，∴022011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分 所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分 ∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分 19．解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分 （2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分 20．解：（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴11e e x x a x x ---+≥恒成立．设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． ………………… 11分当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2em >．① …………………12分 此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增， ∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．② 由①②，得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立．综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠． …………………2分AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠． …………………4分圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． …………………6分∴CDA ∆∽ABE ∆． …………………8分 ∴CD DAAB BE=， AB AD =，∴CD ABAB BE=． …………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----． 令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． …5分令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α．……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …………………5分 （2）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= …………………2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． …………………4分 （2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．的分布表为…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数， ∵1101221112(1)n n n n nn S CC C+++++=-++-，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-，11012211212(1)n n n n n n S C CC------=-++-，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立． …………………5分 同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． …………………6分 （2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，得 0123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-=0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+=0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+=20142012S S -． …………………9分 又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-． …………………10分。