2019-2020学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题及答案解析版

2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值X 围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的X围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的X围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得aX围；令y=0，解得x=＞0，解得aX围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

2021～2022学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.sin 210=A.12−B.12C.2−2.函数ln(4)y x =−的定义域为A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.[0,4]3.下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是DB4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 A.2xy = B.sin y x = C.3y x=D.ln y x =5.已知 1.13a =，0.23b =，2log 0.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A.b a c << B.b c a <<C.c a b<< D.c b a <<6.已知函数(1),1()1(),1ex f x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，则(1ln 5)f −+的值为A.15B.5C.e 5D.5e7.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示.设水车的直径为8m ，其中心O 到水面的距离为2m ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是120s .当水车上的一个水筒A 从水中（0A 处）浮现时开始计时，经过t （单位：s ）后水筒A 距离水面的高度为()f t （在水面下高度为负数），则(140)f = A.3mB.4mC.5mD.6m8.设,a b ∈R ，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为 A.1−B.2−C.12−D.0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023~2024学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合U =R ，集合{}{}0,12M x x N x x =<=-<，则()UM N ⋃=ð（）A.{}3x x ≥ B.{}3x x > C.{1x x ≤-或0}x ≥ D.{1x x <-或0}x >【答案】A 【解析】【分析】解出集合{}12N x x =-<，利用集合的运算计算即可.【详解】由12x -<，得212x -<-<，即13x -<<，所以{}13N x x =-<<，所以{}{}{}0133M N x x x x x x ⋃=<⋃-<<=<，所以(){}3U M N x x ⋃=≥ð.故选：A.2.“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．3.已知0,0a b c >>>且1c ≠，则（）A.a a cb bc +<+ B.c c a b>C.a b c c > D.c ca b >【答案】D 【解析】【分析】对于选项A,B 利用作差法即可判断；对于选项C,D 利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.【详解】对于选项A ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()()()()()0a c b a b c c b a a c a b c b b c b b c b+-+-+-==<+++，故a a cb bc +>+，选项A 错误；对于选项B ：因为0,0a b c >>>，所以0b a -<，由()0c b a c c a b ab--=<，故c c a b <，选项B 错误；对于选项C ：由指数函数可知,0x y c c =>，在定义域上单调性不确定，故无法确定,a b c c 的大小，比如当01c <<时，则a b c c <，选项C 错误；对于选项D ：由幂函数可知,0c y x c =>，在定义域上单调递增，且a b >，所以c c a b >，选项D 正确.故选：D.4.已知||||1,()(3)3a b a b a b ==+⋅-=-，则向量a 与b 夹角的大小为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式，求解即可.【详解】结合题意：设向量a与b夹角为θ，22()(3)32cos 3a b a b a b a b θ+⋅-=--⋅=- ，因为||||1a b ==，所以132cos 3θ--=-，解得1cos 2θ=.因为[]0,πθ∈，所以π3θ=.故选：B.5.我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（）数字123456789纵式横式A.25B.35C.38D.310【答案】A 【解析】【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意可知，共有4根算筹，当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为4224225=+++，故选：A6.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()ln 1,012,1x x f x x x +<≤⎧=⎨->⎩，则方程()10f x -=实数根的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义求出()f x 的解析式，进而解方程即可.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当10x -≤<时，01x <-≤，()()()ln 1f x f x x =--=---，当1x <-时，1x ->，()()2f x f x x =--=--，综上()()2,1ln 1,010,0ln 1,102,1x x x x f x x x x x x ->⎧⎪+<≤⎪⎪==⎨⎪----≤<⎪--<-⎪⎩，当1x >时，令()1f x =无解；当01x <≤时，令()1f x =解得1x =；当0x =时，令()1f x =无解；当10x -≤<时，令()1f x =解得2e x -=-；当1x <-时，令()1f x =，解得3x =-，综上()10f x -=实数根的个数为3个，故选：C7.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF与C 的另外一条渐近线交于点B .若3BF AF =，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b =--，求出2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用向量关系表示出2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再代入另外一条渐近线by x a =-，整理计算即可.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，不妨设过右焦点(),0F c 垂直于渐近线的直线为()ay x c b=--，联立()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,B x y ，由3BF AF = ，可得()221133,3,3,a ab a ab c x y c c c c c c ⎛⎫⎛⎫--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即211333a c x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得211323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为2332,a ab B c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在另外一条渐近线by x a =-上，所以2332,ab b a c c a c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭整理得：223c a =，即23e =，所以e =故选：C.8.已知函数()()e 2,ln 2xf x xg x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e -B.1- C.1e-D.21e -【答案】C 【解析】【分析】结合题意构造函数()e xh x x =+，得到12ln x x =，表示出1121e xx x x =⋅,再借助导数求出()e x u x x =⋅得最小值即可.【详解】因为12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，所以1122e 2ln 2xx x x +-=+-，即12ln 1222e ln eln xx x x x x +=+=+，令()e xh x x =+，()e 10xh x '=+>，所以()e xh x x =+在R 上单调递增.所以12ln x x =，即12e x x =，所以1121e xx x x =⋅，令()e xu x x =⋅，则()()e1xu x x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0u x '<，()e xu x x =⋅在(),1-∞-单调递减;当()1,x ∈-+∞时，()0u x '>，()e xu x x =⋅在()1,-+∞单调递减;所以当=1x -时，函数()e xu x x =⋅取得最小值，即()1111e eu --=-⨯=-.11211e ex x x x =⋅≥-.故选：C.【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：积型：e ln a a b b ≤，①ln e ln e a b a b ≤，构建()e xf x x =；②e lne ln a a b b ≤，构建()ln f x x x =；商型：e ln a b a b≤，①ln e e ln a ba b ≤，构建()e x f x x=；②e ln e ln a abb≤，构建()ln x f x x =；和型：e ln a a b b ±≤±，①ln e e ln a b a b ±≤±，构建()e xf x x =±；②e ln e ln a a b b ±≤±，构建()ln f x x x =±.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x （）A.与原数据的极差相同B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据题意，由数据平均数、方差、中位数、极差的定义分析选项，综合可得答案.【详解】由样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，可得()121n x x x x n=+++ ，其方差为()()()2222121n s x xx xx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，对于数据12,,,,n x x x x ，其平均数()1211n x x x x x x n '+++=+=+ ，其方差()()()()122222221111n x x x x x n s s n x x n x ⎡⎤==⎢⎥-⎣-++++-+⎦+- ；即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C 错误，D 正确；由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A 正确；对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B 错误.故选：AD10.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到sin2y x =的图象，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线5π6x =对称C.()f x 在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为12【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数的图象变换，求出()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】结合题意：要得到函数()f x 的解析式，只需将sin2y x =向左平移π6个单位长度.所以()ππ=sin 2sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,对于选项A:由()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭可得2ω=，所以2ππT ω==,故选项A 正确；对于选项B:将5π6x =代入()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得：5π5π66π=sin 2sin 2π03f ⎛⎫⎛⎫⨯+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线5π6x =对称，故选项B 错误；对于选项C:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以πππ2,363t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，而=sin y t 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π=sin 23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；对于选项D:对于()π=sin 23f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，令π23t x =+，则=sin y t ，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,336t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象可知=sin y t 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，故π5π236t x =+=，即π4x =时，()min π5π1sin 462f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选项D 正确.故选：ACD.11.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，111224,AB AB AA P ===为棱1CC 上一点，则（）A.不存在点P ，使得直线BP 平面11AB DB.当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPDC.当P 为1CC 中点时，直线BP 与AD 所成角的余弦值为26D.当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2【答案】BCD 【解析】【分析】连接AC 交BD 于O ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立坐标系，利用空间向量法判断ABC ，利用三棱锥体积公式判断D.【详解】连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台1111ABCD A B C D -，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z轴建立如图所示坐标系，设点1A 在底面投影为E，则AE OA OE =-=1A E ==即正四棱台1111ABCD A B C D -，则()A，()0,B，()C -，(1B，(1C，(10,D ，所以(1AB =-，(1AD =-，1CC =，()BC =--，因为P 为棱1CC上一点，所以)()101CP CC λλ==≤≤，所以(),BP BC CP =+=--，设平面11AB D 的法向量()111,,n x y z =，则1111111100AB n AD n ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11x =可得平面11AB D 的一个法向量为()1,0,2n = ，令0n BP ⋅=-+= 解得23λ=，故存在点P ，使得直线BP 平面11AB D ，A 说法错误；当点P 与1C重合时即(P，()0,D -，(BP =-，()0,BD =-，设平面BPD 的法向量()222,,m x y z =，则222200BP m BD m ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21x =可得平面BPD 的一个法向量为()1,0,1m = ，因为1CC =，所以当点P 与1C 重合时，直线1CC ⊥平面BPD ，B 说法正确；当P 为1CC中点时，即,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()AD =--，所以cos ,26BP AD BP AD BP AD⋅===，所以直线BP 与AD所成角的余弦值为cos ,26BP AD =，C 说法正确；设正四棱台1111ABCD A B C D -的高为h ，当P 为1CC 中点时，三棱锥111A A B D -的体积111111122223323A B D V S h ==⨯⨯⨯ ，三棱锥P BCD -的体积211124244323223BCD h V S ==⨯⨯⨯=，所以三棱锥111A A B D -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:2，D 说法正确；故选：BCD12.我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线22(0)y px p =>分别逆时针旋转90180270 ､､可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A.开口向下的抛物线的方程为()220x py p =->B.若8AB =，则2p =C.设1p =，则1t =时，直线x t =截第一象限花瓣的弦长最大D.无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值【答案】ABD 【解析】【分析】根据图象的对称性判断A ；由8AB =及抛物线方程得到点A 的坐标，由对称性得到点B 坐标，代入()220x py p =->即可求p ，判断B ；由题意得到直线x t =截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C ；利用导数的几何意义求出过点B 的切线，借助图象的对称性判断D.【详解】对于A ，因为抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，若抛物线逆时针旋转270︒，则开口向下，焦点为0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭，故开口向下的抛物线方程为：()220x py p =->，故A 正确；对于B ，由题意可知，,A B 关于x 轴对称，因为8AB =，设()(),,,A A B B A x y B x y ，所以4A y =，4B y =-，因为点A 在抛物线22(0)y px p =>上，所以162A px =，所以8A x p =，即8,4A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以8,4B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由B 在抛物线()220x py p =->上，所以()26424p p=-⨯-，解得2p =，故B 正确；对于C ，当1p =，由2222y xx y⎧=⎨=⎩得()2,2A ，所以02t <<，由题意直线x t =截第一象限花瓣弦长为122222t ty ==-，02t <<，所以122y t t -'=-，令0y '=，则t =当0t <<时，0'>y ，函数单调递增，2t <<时，0'<y ，函数单调递减，所以当t =C 错误；对于D ，由2222y pxx py⎧=⎨=-⎩得()2,2B p p -，过第二象限的两抛物线分别为：22x py =①，22y px =-②，对于①，22x y p =，则x y p '=，设切点坐标为2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以过点B 的切线方程为：()22my p x p p+=-，将点2,2m m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得22440m mp p +-=，解得2m p =±，因为0m <，故(22m p p =-=-，所以切线的斜率为2-p 为何值，切线斜率均为2-y x =的夹角为定值，由题意可知，22x py =与22y px =-关于直线y x =对称，故过点B 的两切线也关于直线y x =对称，故22y px =-的切线与直线y x =的夹角为定值，即无论p 为何值，过点B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()53(21)x x -+的展开式中3x 的系数为__________.【答案】200-【解析】【分析】先求得二项式5(21)x +展开式的通项为5552rr r C x --⋅，结合通项进而求得3x 项的系数.【详解】由二项式5(21)x +展开式的通项为()55515522rrr r r r T C x C x ---+=⋅=⋅，则()53(21)x x -+的展开式中，含3x 的项为232323355232200x C x C x x ⋅⋅⋅-⨯⋅⋅=-，所以3x 项的系数为200-.故答案为：200-.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为5,25n S S =且815a =，则1a 的值为__________.【答案】1【解析】【分析】利用等差数列的基本量1a 和d 表示525S =,815a =，计算即可.【详解】结合题意：设等差数列的公差为d ，因为525S =,815a =，所以518151025715S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d ⎧⎨⎩==.故答案为：115.若存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，则实数a 的取值范围为__________.【答案】e ,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】由()()e e xya y x y x -=-+，可得22e e y x ax ay =++，令()2e mh m am =+，要存在两个不相等正实数,x y ，使得()()e e xya y x y x -=-+，即()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()e 2,0mh m am m '=+>，当0a ≥时，()e 20mh m am =+>'，此时()2e mh m am =+在()0,∞+单调递增,不满足；当a<0时，令()e 2mg m am =+，则()e 2mg m a ='+，令()e 20mg m a ='+=，则()ln 2m a =-，当()()0,ln 2m a ∈-时，()0g m '<，()e 2mg m am =+在()()0,ln 2a -单调递减，当()()ln 2,m a ∞∈-+时，()0g m '>，()e 2mg m am =+在()()ln 2,a ∞-+单调递增，要使()2e mh m am =+不是正实数集上的单调函数，则()()ln 20h a -<'，即()()ln 2e2ln 20a a a -+-<，解得e 2a <-.故答案为：e ,2∞⎛⎫--⎪⎝⎭.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，则该三棱柱外接球的表面积为__________；若点P 为线段AC 的中点，点Q 为线段1AC 上一动点，则平面BPQ 截三棱柱111ABC A B C -所得截面面积的最大值为__________.【答案】①.54π②.【解析】【分析】把直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，结合长方体的性质，求得外接球的半径，得到其表面积；连接PQ ，延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，在过点E 作1//EF B M ，证得截面四边形BPEF 为直角梯形，设ME x =，求得梯形BPEF 的面积为()S x =，设()22)(4),02f x x x x =-⋅+≤≤，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -中，,5AB BC AB BC ⊥==，12AA =，该直三棱柱111ABC A B C -可补充一个长方体，其中直三棱柱111ABC A B C -的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5,5,2，可得对角线长为=，所以外接球的半径为2R =，则该三棱柱外接球的表面积为24π()54π2⨯=；如图所示，连接PQ ，并延长PQ 交11A C 于点E ，取11A C 的中点M ，连接1,B M PM ，则1B M BP =且1//B M BP ，在过点E 作1//EF B M ，可得//EF BP ，连接BF ，则四边形BPEF 即为过点,,B P Q 的截面，在ABC 中，因为AB BC =，且P 为AC 的中点，所以BP AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，所以1BP AA ⊥，因为1AC AA A =∩，且1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以BP ⊥平面11ACC A ，又因为PE ⊂平面11ACC A ，所以BP PE ⊥，所以四边形BPEF 为直角梯形，在ABC 中，由5AB BC ==且AB BC ⊥，可得AC =122BP AC ==，设ME x =，在直角PME △中，可得PE =，又由112C E C M ME x =-=-，可得12EF C E x ==-，所以直角梯形BPEF 的面积为()11()()2222S x BP EF PE x =+⨯=+-1)2x ==，其中5202x ≤≤，设()2252)(4),02f x x x x =⋅+≤≤，可得()()()()((22'22'[]4(4)42f x x xx x x x x ⎛⎫=⋅++-⋅+=--- ⎪ ⎪⎝⎭'，当2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又由()0200,216f f ==，可得()0f f <，所以当x =()f x 取得最大值，此时梯形的面积取得最大值S =.故答案为：【点睛】知识方法点拨：对于立体结合中的截面的探索性以及最值问题的求解策略：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.5、对于探索性问题的求解，可得建立函数关系，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.若ABC 的内角,,A B C 的对边分别为()2sin ,,,tan cos a b A a b c a C B-=.（1）求C ；（2）若3,a c ==ABC 的面积.【答案】17.π318.4或2【解析】【分析】（1）在三角形中，对已知条件进行“边化角”，化简后再利用两角和的正余公式，求出角C 的余弦值，从而求出角C 的大小；（2）由余弦定理求出b 的值，再由三角形面积公式求解即可．【小问1详解】(2)sin ,tan cos a b AABC a C B-= ，(2)sin sin ,(2sin sin )sin cos sin sin cos cos cos a b A a CA B A C A C BB C-∴=∴-=sin 0,2sin cos sin cos sin cos A A C B C C B ≠∴-= ，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，1π2cos 1,cos ,(0,π),23C C C C ∴==∈∴=．【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=，22222π312cos ,,320,132326b b b b b b b+-+∴=∴=∴-+=∴=⨯⨯或2b =，所以ABC 面积为：11πsin 31sin 2234ab C =⨯⨯⨯=或11πsin 32sin 2232ab C =⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n m =+，且137,2,S S S -成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n a a b +=，求证：数列{}n b 的前n 项和59nT <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的定义，得到()23172S S S -=，解出0m =，得到2n S n =，进而算出数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法，结合等比数列的前n 项和公式算出n T 的表达式，进而证出不等式59n T <成立.【小问1详解】根据题意，可得()23172S S S -=，即()()()27149m m m +=++，解得0m =，所以2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11211a ==⨯-也符合，故21n a n =-.【小问2详解】证明：由（1）的结论，可得2212124n nnn n b --==，所以23135214444n nn T -=++++ ，两边都乘以14，得234111352144444n n n T +-=++++ ，以上两式相减，可得：2311311112111215221121444444444123414141824n n n n nn n n n T +---⎛-⎫⎛⎫=++++-⨯=+-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以565994n n n T +-⨯=，结合65094n n +>⨯，可知不等式59nT <成立.19.如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，平面VBD ⊥底面ABCD.（1）求证：AC VD ⊥；（2）若2VB =，且四棱锥V ABCD -的体积为2，求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）由平面VBD ⊥底面ABCD ，证明AC ⊥平面VBD ，可证得AC VD ⊥；（2）O 为AC 和BD 交点，证明VO ⊥底面ABCD ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.【小问1详解】平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ⊥，AC ⊂底面ABCD ，则有AC ⊥平面VBD ，又VD ⊂平面VBD ，所以AC VD ⊥.【小问2详解】底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，BAD 为等边三角形，2BD =，122sin 602ABD S =⨯⨯⨯=△，平面VBD ⊥底面ABCD ，平面VBD 底面ABCD BD =，过V 点作BD 的垂线，垂足为O ，则VO ⊥底面ABCD ，四棱锥V ABCD -的体积为2，则1122233ABD S VO VO ⨯⋅=⨯= ，解得VO =，则1BO ===，所以O 为BD 中点，即O 为AC 和BD 交点，AO OC ====以O 为原点，,,OA OB OV 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，)A，()0,1,0B ，()C ，(V ，()AB = ，(0,1,VB = ，(VC = ，设平面VAB 的一个法向量(),,n x y z = ，则有00AB n y VB n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则y =1z =，即()n =，cos ,5VC n VC n VC n⋅===-，所以直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值为105.20.某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为21,32.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数()4n n ≥为多少时，对该小组更有利？【答案】（1）2027（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据好投手的定义，利用独立重复试验的概率求解；（2）先求得甲、乙同学都获得好投手的概率，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，由10,27X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据3X =时，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的概率最大求解.【小问1详解】解：设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ，则()233322222222122220C 1+C 3+133333333333327P A ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；【小问2详解】设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则()23331111111111111C 1+C 3+12222222222222P B ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，甲、乙同学都获得好投手的概率为：2011027227P =⨯=，比赛设置n 局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ，则10,27X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，且()33310103C 12727n n P X -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3331=1010C 2727n n f n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()11f n f n f n f n ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩，则3332331333433110101010C 1C 12727272710101010C 1C 127272727n n n n n n n n --+---⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即()17212717327n n n n ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，即7.18.1n n ≥⎧⎨≤⎩，又*N n ∈，则8n =，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.21.已知函数()()2ln 1(1)1ax x f x x a x +=+-<+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：()*111ln2122n n n n +++<∈++N .【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）对()f x 求导可得()()()22121ax a xf x x -+-'=+，再对参数a 进行分类讨论即可讨论出函数()f x 的单调性；（2）易知当0a =时，满足()ln 11x x x +≥+，再利用对数运算性质以及累加法即可得出证明；【小问1详解】易知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()2222211121111ax x ax x ax a x f x x x x ++-+-+-'=-=+++，当0a =时，()()21xf x x '=+，易知()1,0x ∈-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增；即()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；当0a ≠时，令()()21212a g x ax a x ax x a -⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，易知当01a <<时，()12110a a a a ----=>，当102a <<时，120a a ->，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当112a <<时，1210a a --<<，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；当12a =时，()2012g x x =-≤，所以()f x 在()1,-+∞单调递减；当a<0时，()12110a a a a ----=<，所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；综上可知，当0a ≤时，()f x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增；当102a <<时，()f x 在()1,0-上单调递减，在120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当12a =时，()f x 在()1,-+∞单调递减；当112a <<时，()f x 在21,1a a ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减，在12,0a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,∞+单调递减；【小问2详解】由（1）可知当0a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()ln 11x x x +≥+（当且仅当0x =时等号成立），令1x n =可得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，即()1<ln 1ln 1n n n +-+；()()1<ln 2ln 12n n n +-++，⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()1<ln ln 21n n n n n+--+，累加可得111ln 2ln ln2122n n n n n+++<-=++ .【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用（1）中结论，由()1<ln 1ln 1n n n +-+根据累加法即可求得结论.22.已知P 为曲线22:1(1)4x y C n n+=>上任意一点，直线,PM PN 与圆221x y +=相切，且分别与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）若OP OM ⋅为定值，求n 的值，并说明理由；（2）若43n =，求PMN 面积的取值范围.【答案】（1）4n =或43n =;（2）2,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，以及韦达定理表示出1212O x x y y P OM +⋅= ，进而求出n 的值（2）判读出,,M O N 三点共线，利用（1）问表示出2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，借助弦长公式，进行换元转化为二次函数求最值即可.【小问1详解】由题意设()()1122,,,P x y M x y ，当直线PM 的斜率不为0时，直线PM ：x my t =+，因为直线与圆相切，所以1d ==，即221m t +=，联立2214x my t x y n =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()2224240m n y mnty nt n +++-=，所以()()()222212122224Δ24440,,,44mnt nt n mnt m n nt n y y y y m n m n --=-+->+=⋅=++()()()2222121212122444t m n x x my t my t m y y mt y y t m n -=++=+++=+，所以()22121224444m n n t n OP OM x x y y m n -++-⋅=+=+ ，因为221m t +=，所以()()21212243434n m n x x y y nm -+-+=+，要使OP OM ⋅ 为定值，则43434n n n --=，所以4n =或43n =，当直线PM 的斜率为0时，因为直线与圆相切，所以1d t ==，即1y =±，不妨取1y =，联立22114y x y n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2440x n +-=,所以1244x x n =-所以121243x x y y n +=-+，也符合上式.【小问2详解】当43n =时，由（1）可知0OP OM ⋅= ，OP OM ⊥，同理OP ON ⊥,即,,M O N 三点共线，所以2PMN PMO S S PM r PM ==⋅= ，当直线PM 的斜率不为0时，由（1）可知：212122224,,34mt t y y y y m m --+=⋅=++所以23PMN S PM m ===+ ，因为221m t +=，所以23PMN S m ==+ ，令233m k +=≥，所以PMN S k === ，所以当3k =时，PMN S △有最小值为2；当6k =时，PMN S △有最小值为3；当直线PM 的斜率为0时，由（1）可知：2PMN S PM == .综上:PMN 面积的取值范围2,3⎡⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省烟台市高一数学人教A版一元二次函数章节测试(2) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）41. 已知 ，则 的最小值为（ ）A . B . C . D .ln（a﹣b）＞03a﹣b ＜1log a 2＜log b 2 2. 已知 a＞ b，则下列不等式成立的是（ ）A . B . C .D . 3. 不等式 中等号成立的条件是（ ） A . B . C .D .1 4. 若 ，则 的最大值为（ ）A .B .C .D .5. 已知集合 ，若集合 中所有整数元素之和为14，则实数 的取值范围是（ ）A .B .C .D .6. 已知， ，若对任意 , 或 ，则 的取值范围是（）A .B .C .D .7. 若 ， ， 则下列结论正确的是（ ）A .B .C .D .45688. 若 ， 则的最小值为（ ）A .B .C .D .9. 已知是关于x的方程的两个实数根，且 ， 则实数b的取值范围是（ ）A .B .C .D .充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件10. “ ”是“ ”的（ ）A .B .C .D .204011. 在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案.已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为（ ）A .B .C .D .12. 一元二次不等式 的解集是（ ）A .B .C .D .13. 已知正实数 ， 满足，且不等式 恒成立，则正实数 的最小值为.14. 有一架两臂不等长（左臂长于右臂）的天平，将5g的砝码放在右盘时，将某种粉末ag放在左盘可使天平平衡；将5g的砝码放在左盘时，将该粉末bg放在右盘也使天平平衡，则a+b 10（填“>”、“=”或“<”）.将该粉末放在左盘，右盘放12g砝码时，天平恰好平衡.用这架天平称重时，砝码放在右盘，则物体的实际质量y（g）与砝码的质量x（g）的函数关系式为 .（不考虑定义域）15. 设且 ， 则最小值为 ；16. 若不等式x 2﹣ax﹣b＜0的解集是2＜x＜3，则不等式bx 2﹣ax﹣1＞0的解集是：得分17. 计算与求值(1) 计算：﹣ log 34+log 3 ﹣(2) 已知2a =5b =100，求 的值．18. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且 ， 由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1) 写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2) 当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？19. 某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶.(1) 根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶，要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2) 为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到元，并投入万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量(万瓶)的最小值，以及取最小值时的每瓶饮料的售价.20. (1) 设，试比较a与b的大小；(2) 已知 且 ，试比较 与b的大小.21. 用长度为80米的护栏围成一个一面靠墙的矩形空间的三面，求矩形的长和宽分别为多少米时该矩形的面积最大，并求出最大值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.。

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√322．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√325．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．27．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m ＞n ＞0，则（ ） A ．m ﹣1＜n ﹣1B ．lgm ＞lgnC ．2﹣m＞2﹣nD ．sin m ＞n10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（ ） A ．sin α2＞0B ．tan α2＞0C ．sin2α＜0D ．cos2α＜011．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝202412．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 ． 14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 ．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 ．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 ，x 1x 2x 3的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x−π3)．（1）用五点法画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求不等式f（x）≥1的解集．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√32解：cos960°＝cos（720°+240°）＝cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°=−1 2．故选：C．2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称解：因为函数y＝e x与y＝lnx互为反函数，所以两者的图象关于直线y＝x对称．故选：C．3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由题设，y＝lnx，y=−6x在（0，+∞）为递增函数，f（x）是定义域在（0，+∞）上连续不断的递增函数，又f（2）＝ln2﹣3+1＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3﹣2+1＝ln3﹣1＞0，f（2）f（3）＜0，由零点存在定理可知，零点所在区间为（2，3）．故选：C．4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√32解：射线y=√33x(x≤0)为角7π6的终边，20s后，点P在角7π6−π6×20=−13π6的终边上，则20s后点P的纵坐标为sin(−13π6)=−sin13π6=−sin(2π+π6)=−sinπ6=−12．故选：A．5．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解：∵a＝log30.2＜0，b＝30.2＞1，0＜c＝0.23＜1，∴a＜c＜b．故选：B．6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．2解：由题意得log23＞1＞0，故f(log23)=f(log23−1)=f(log232)=f(log232−1)=f(log234)=2−log234−1=43−1=13．故选：C．7．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)解：设μ＝sin x，则μ∈[﹣1，1]；函数y＝cosμ，μ∈[﹣1，1]，在[﹣1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减．又μ＝sin x在[2kπ，2kπ+π2]，k∈Z上单调递增且μ∈[0，1]；在[2kπ+π2，2kπ+π]，k∈Z上单调递减且μ∈[0，1]；在[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z上单调递减且μ∈[﹣1，0]；在[2kπ+3π2，2kπ+2π]，k∈Z上单调递增且μ∈[﹣1，0]．根据复合函数的单调性可得y＝cos（sin x）的单调减区间为[2kπ，2kπ+π2]或[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z．即减区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．故选：B．8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1解：对于A，由于y＝sin x为周期函数，考查其在一个周期内的情况即可；先考虑在递增区间[−π2，π2]内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即sin a ＝a ，sin b ＝b ，即在[−π2，π2]内，sin x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝sin0＝0，当0＜x ≤π2时，0＜sin x ≤1，且sin x ＜x ，当−π2≤x ＜0时，﹣1≤sin x ＜0，结合y ＝sin x 以及y ＝x 的对称性知sin x ＞x ， 即不能满足sin x ＝x 有两不同实数解；故此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]； 结合y ＝sin x 的对称性知在单调递减区间[π2，3π2]内，不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，A 错误；对于B ，考查y ＝tan x 在一个周期内的情况，即在单调递增区间(−π2，π2)内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即tan a ＝a ，tan b ＝b ，即在(−π2，π2)内，tan x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝tan0＝0，当0＜x ＜π2时，0＜tan x ＜x ，当−π2＜x ＜0时，x ＜tan x ＜0，即不能满足tan x ＝x 有两不同实数解；即不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，B 错误；对于C ，函数y =−14x 2−1在（﹣∞，0]上单调递增，在0，+∞）上单调递减，由于y =−14x 2−1的图象关于x ＝0对称，且y =−14x 2−1≤−1，x ＝0时取等号，故只需考虑函数在（﹣∞，﹣l ]上的情况；假设y =−14x 2−1为“M 函数”，则在（﹣∞，﹣1]上−14x 2−1=x 需有两个不同实数根，而−14x 2−1=x ，即x 2+4x +4＝0，∴x ＝﹣2，不符合要求，即此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，C 错误； 对于D ，假设y ＝e x ﹣1﹣1为“M 函数”，由于y ＝e x ﹣1﹣1在R 上单调递增，则存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 则e x ﹣1﹣1＝x ，即e x ﹣1＝x +1需有两不同实数解，作出函数y ＝e x﹣1的图象和直线y ＝x +1，结合二者图象可知，函数y＝e x﹣1的图象和直线y＝x+1有两个不同交点，即e x﹣1﹣1＝x，也即e x﹣1＝x+1有两不同实数解，假设成立，即y＝e x﹣1﹣1为“M函数”，D正确，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m＞n＞0，则（）A．m﹣1＜n﹣1B．lgm＞lgn C．2﹣m＞2﹣n D．sin m＞n解：对于A，因为m＞n＞0，所以m﹣1＜n﹣1，故A正确；对于B，因为y＝lgx是增函数，且m＞n＞0，所以lgm＞lgn，故B正确；对于C，因为y=(12)x是减函数，且m＞n＞0，所以(12)m＜(12)n，即2﹣m＜2﹣n，故C不正确；对于D，因为π2＞π3，sinπ2=1＜π3，所以D不正确．故选：AB．10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（）A．sinα2＞0B．tanα2＞0C．sin2α＜0D．cos2α＜0解：由题意2kπ+π2＜α＜π+2kπ，k∈Z，所以kπ+π4＜α2＜π2+kπ，k∈Z，4kπ+π＜2α＜2π+4kπ，k∈Z，所以α2为第一或第三象限角，2α为第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴，故BC正确，AD错误．故选：BC．11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝2024解：对于A ，由图可知A =√2，T 2=1−(−3)=4=2π2ω，解得T ＝8，ω=π4，且1×π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π4+2kπ，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以只能k ＝0，φ=π4，故A 正确；对于B ，f(x)=√2sin(π4x +π4)，当x ∈[8，10]时，π4x +π4∈[94π，114π]，所以f （x ）在区间[8，10]上不单调，故B 错误；对于C ，f(−5)=√2sin(−π)=0，即f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称，故C 正确； 对于D ，f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（8）＝2+1+0+1+2+1+0+1＝8， 又周期T ＝8，所以f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（2024）＝8×20248=2024，故D 正确． 故选：ACD ．12．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0解：对于A ，取n =1，x =π2，则f 1(cos π2)=f 1(0)=cos π2=0，故A 错误；对于B ，∀x ∈[﹣1，1]，存在t ∈[0，2π）使得x ＝cos t ，所以当n ∈N *时，f n +1（x ）＝cos （nt +t ）＝cos （nt ）cos t ﹣sin （nt ）sin t=cos(nt)cost −12[cos(n −1)t −cos(n +1)t]=xf n (x)−12[f n−1(x)−f n+1(x)]，解得f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗，故B 正确；对于C ，由f 0（cos x ）＝cos0＝1是偶函数， 由f 1（cos x ）＝cos x ，得f 1（x ）＝x 是奇函数，所以由f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗得， f 2(x)=2xf 1(x)−f 0(x)=2x 2−1是偶函数，f 3(x)=2xf 2(x)−f 1(x)=2x(2x 2−1)−x =4x 3−3x 是奇函数，f 4(x)=2xf 3(x)−f 2(x)=2x(4x 3−3x)−(2x 2−1)=8x 4−8x 2+1是偶函数， f 5（x ）＝2xf 4（x ）﹣f 3（x ）是奇函数，……，所以归纳可得当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数，故C 正确； 对于D ，若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则4x 3−3x −12=4(x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)， 左边的二次项系数为0，展开后右边的二次项系数为﹣4（x 1+x 2+x 3）， 所以﹣4（x 1+x 2+x 3）＝0，即x 1+x 2+x 3＝0，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 20 ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 因为扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则{S =12lr =25l =2r，解得{r =5l =10，所以该扇形的周长为l +2r ＝10+10＝20． 故答案为：20．14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 −13 ．解：由题意知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)=sinα−cosα−cosα−sinα=tanα−1−1−tanα=2−1−1−2=−13． 故答案为：−13．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 1 ． 解：函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则有f （﹣x ）＝f （x ）， 即log 2(4x +m)−x −1=log 2(4−x +m)+x −1， 得log 2(4x +m)−log 2(4−x +m)=2x ，则有log 24x +m 4−x +m =2x =log 222x =log 24x，得4x +m 4−x +m=4x ，即（m ﹣1）（1﹣4x ）＝0，解得m ＝1，f(x)=log 2(4x +1)−x −1，函数定义域为R ，符合题意．所以实数m 的值为1． 故答案为：1．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 （0，1） ，x 1x 2x 3的取值范围为 （16，8+8√2） ． 解：∵f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，∴作出其图象如下：∵x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根， ∴y ＝f （x ）与y ＝t 有三个交点， ∴数形结合可得t ∈（0，1）；不妨设x 1＜x 2＜x 3，令−14x 2+x +1=0，x ＞4，可得x =2+2√2，∴x 1∈（1，2），x 2∈（2，4），x 3∈(4，2+2√2)， 又f （x 1）＝f （x 2），∴|log 2x 1﹣1|＝|log 2x 2﹣1|， ∴1﹣log 2x 1＝log 2x 2﹣1，∴log 2（x 1x 2）＝2， ∴x 1x 2＝4，∴x 1x 2x 3的＝4x 3∈（16，8+8√2）． 故答案为：（0，1）；(16，8+8√2)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．解：（1）原式=223⋅213+lg5lg4⋅lg2lg25−e ln2=2+lg52lg2⋅lg22lg5−2 =14． （2）原式=√(1+sinα)21−sin 2α−√(1−sinα)21−sin 2α=√(1+sinα)2cos 2α−√(1−sinα)2cos 2α．因为α为第三象限角，所以1+sin α＞0，1﹣sin α＞0，cos α＜0， 即上式=1+sinα−cosα−1−sinα−cosα=2sinα−cosα=−2tan α．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x −π3)．（1）用五点法画出函数f （x ）在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）求不等式f （x ）≥1的解集． 解：（1）由题意函数f(x)=2sin(2x −π3)，列表如下：描点，连线，可得f(x)=2sin(2x −π3)的图象如下：（2）由题意f （x ）≥1，可得sin(2x −π3)≥12，令π6+2kπ≤2x −π3≤5π6+2kπ，k ∈Z ，解得π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ， 所以不等式f （x ）≥1的解集为{x|π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z}．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．解：（1）由题知，f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx，所以，f(x)=√32sin2ωx+12cos2ωx=sin(2ωx+π6)．因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以函数f（x）的周期T=π=2π2ω，所以ω＝1，f(x)=sin(2x+π6 )．令2x+π6=π2+kπ，解得x=π6+kπ2，k∈Z，函数f（x）图象的对称轴所在直线的方程为x=π6+kπ2，k∈Z．（2）由题知，将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(2(x−π6)+π6)=sin(2x−π6)，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)=sin(x−π6 )．所以，当x−π6∈[−π2+2kπ，π2+2kπ]，即x∈[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z时，g（x）单调递增，所以函数g（x）的单调递增区间为[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．解：（1）因为f（0）＝0，所以n＝0．又因为f（3）＝4，即f(3)=log2√3+1+3m=4，所以m＝1．又因为g（0）＝0，即0﹣log232+p＝0，解得p＝5．（2）由（1）知，f(x)=log2√x+1+x，x≥0，g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+5，0≤x＜32．设企业所获利润为h（x），投入A生产线x万元，则投入B生产线（22﹣x）万元，所以h（x）＝f（x）+g（22﹣x），0≤x≤22，即ℎ(x)=log2√x+1+x+22−x−log2(10+x)+5，0≤x≤22，整理得ℎ(x)=log2√x+110+x+27，0≤x≤22，令√x+1=t，t∈[1，√23]，则x＝t2﹣1，所以u(t)=log2t9+t2+27=log219t+t+27，t∈[1，√23]，因为t+9t≥6，当且仅当t=9t，即t＝3时等号成立，此时x＝8．最大利润为27+log216=26−log23．所以投入A生产线8万元、B生产线14万元时，该企业获得最大利润为（26﹣log23）万元．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．解：（1）因为AB=3，BC=√3，∠PCQ=π4，所以在直角△PCD中，PD＝3tanα，则AP=√3−3tanα，在△QBC中，QB=√3tan(π4−α)，所以AQ=3−√3tan(π4−α)，所以S△CPQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ﹣S△CPD﹣S△BCQ=3√3−12(√3−3tanα)(3−√3tan(π4−α))−92tanα−32tan(π4−α)，0≤α≤π6，整理得S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6；（2）由（1）知，S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6，所以S△CPQ=3√32(1−sinαsin(π4−α)cosαcos(π4−α))=3√32×[1sinα(√22cosα−√22sinα)cosα(22cosα+22sinα)]=3√32×1cos2α+sinαcosα=3√32×112cos2α+12sin2α+12=3√32sin(2α+π4)+1，因为0≤α≤π6，所以2α+π4∈[π4，7π12]，所以当2α+π4=π2，即α=π8时，√2sin(2α+π4)取得最大值√2，所以△CPQ面积的最小值为3√6−3√3．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），令x＝1，y＝0，所以f（1）﹣f（0）＝2，因为f（1）＝0，所以f（0）＝﹣2．（2）由（1）知，f（0）＝﹣2，令y＝0，得f（x）﹣f（0）＝x2+x，所以f（x）＝x2+x﹣2．所以f(sinx)+14=sin2x+sinx−74，令sin x＝t，其中﹣1≤t≤1，则y=t2+t−7 4，所以当t=−12时，y=t2+t−74取得最小值y min=14−12−74=−2．又因为∀x∈R，∀y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)，所以，∀y∈（﹣∞，﹣1），log a（1﹣y）＜﹣2恒成立．当a＞1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，因为1﹣y＞2，则u＝log a（1﹣y）＞log a2，则log a（1﹣y）＜﹣2不可能恒成立，舍去；当0＜a＜1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，所以要使log a（1﹣y）＜﹣2在（﹣∞，﹣1）上恒成立，只需log a2≤−2=log a 1a2，可得1a2≤2，解得√22≤a＜1．综上，a的取值范围为[√22，1)．。

山东省烟台市2019-2020年初四数学第一学期期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1、如图所示的几何体是由12个大小相同的小正方体组成的，将其中的小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）A ．主视图和左视图B ．主视图和俯视图C ．左视图和俯视图D ．主视图、左视图、俯视图2. 如图，属于物体在太阳光下形成的影子的图形是 （ ）A. B ． C ． D ．3.物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3 为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A.31 B. 32 C. 21 D. 41 4.如果将抛物线y=x 2+1向右平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ． y=（x-2）2-2 B ． y=（x+2）2-2 C ． y=（x-2）2-1 D ． y=（x +2）2-15. 已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A. B. C. D.6.已知二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如右图所示，则直线y =ax +b 与反比例函数xacy =在同一坐标系内的大致图象为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，AB 为⊙O 的直径，点D ，C 在⊙O 上，∠D=62°，则∠ACO 的度数为（ ） A. 26° B. 28° C. 30° D. 32°8. 如图，港口A 在观测站O 的正东方向，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行2km 到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向．则观测站O 距港口A 的距离为（ ）A ．22kmB ． 23kmC ．32kmD ．33km9.如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O 半径长为（ ）A. 23B. 26C. 332D. 22310.如图，抛物线y =ax 2+bx+c ，若M=4a+2b+c ，N=a-b+c ，P=4a+2b ，则（ ）A. M ＞0，N ＞0，P ＞0B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P ＞0D. M ＜0，N ＞0，P ＜011.如图所示，已知△ABC 中，BC=12，BC 边上的高h=6，D 为BC 上一点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ，则△DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（ ）12. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点C ，过A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC ，若AD ＝3，CE ＝3，则弧AC 的长为（ ） A.332 B. π33 C. π23 D. π332二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）．13. 在△ABC 中，若角A 、B 满足()23sin 1tan 02A B -+-=，则∠C 等于 .14. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE 的面积为4，则正八边形ABCDEFGH 的面积为_____ .15. 如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为_____米．（结果精确到1m ，参考数据：3≈1.73）16. 已知二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x= -31，下列结论：①ab ＞0 ②a+b+c ＜0 ③b+2c ＜0 ④a+4c ＜2b ，其中正确结论是__ _____.17.在正方形ABCD 中，AB=8，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是 .18. 一段抛物线y= -x （x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x 轴交于两点O ，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x 轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x 轴于A3；…如此进行下去，直至得到Cn,若点P （2019，b ）在其中某段抛物线上，则b=_________.三、解答题（满分66分）． 19. （满分6分）（1）221sin 60cos302sin 45tan 6023-︒︒+︒-︒+ （2）21sin 60cos 60tan 4512tan 30tan 302-︒⋅︒+-︒+︒20. （满分6分）已知二次函数y= -21x 2+bx+c 的图象经过A （0，-8），B （-2，-20）两点.（1）求b ，c 的值； （2）二次函数y = -21x 2+bx+c 的图象与x 轴是否有交点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由.21. （满分7分）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°．由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC （不考虑其他因素，结果精确到0.1cm ．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73）．22.（满分7分）如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=4，反比例函数y=()0＜x x k的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D. （1）求反比例函数的关系式；（2）连接CD ，求四边形CDBO 的面积.23 .（满分8分）某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）请将条形统计图补全；（2）求“二等奖”所对的圆心角的度数； （3）获得一等奖的同学中有41来自七年级，有41来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.24、（满分10分）某班同学参加社会公益活动，准备用每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．这种水果每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的对应关系如表所示：（1）按照满足表中的销售规律，求y 与x 之间的函数表达式；（2）按照满足表中的销售规律，求每天销售利润W （元）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式； （3）在销售单价不低于10元及满足问题（2）条件下，每天销售水果多少千克时，该天获得最大利润？25、（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 在线段AB 上，以AD 为直径的⊙O 与BC 相交于点E ，与AC 相交于点F ，∠B=∠BAE=30°. （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求⊙O 的半径r ；（3）在（1）的条件下，判断以A 、O 、E 、F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．26、（12分）已知抛物线y = ax 2+23x+4的的对称轴是直线x =3，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．x 10 11 12 13 14 …… y 200 180 160 140 120 ……2019-2020学年度第一学期期末学业水平考试初四数学试题参考答案及评分建议(如有错误请组长及时更正)一、选择题（每小题3分，满分36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案CAACABBACDDD17、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=4， AE 2=64+16=80， 易得Rt △ABE ≌△EHF ， ∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90∘， ∴∠AEB+∠FEH=90∘，∴∠AEF=90∘，∴∴图中阴影部分的面积=S 正方形ABCD+S 半圆−S △ABE−S △AEF =8+8π．二、填空题（每小题3分，满分18分）13．75o 14．16 15．104 16．①② 17 . 88π+ 18．0 三、解答题（共6道题，满分66分） 19.计算（满分6分）（1）原式=2+332112(3)22234⨯+⨯-⨯ …………………………………1分=3111+44+-1=………………………………3分 （2）原式=2)331(2112123-+⨯-…………………………………………1分 =333212123-⨯+- =33.……………………3分 20.（6分）解：（1）把A (0，－8)，B (－2，－20)分别代c bx x y ++-=221，得()⎪⎩⎪⎨⎧-=+----=20222182c b c ，……………………………2分 解得⎩⎨⎧-==85c b ；………………………………………………………………………3分 （2）由（1）可得，该抛物线解析式为：85212-+-=x x y ．∵△=()821452-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=9＞0，∴二次函数图象与x 轴有公共点．…………4分 令y =0，则085212=-+-x x解得，x 1=2，x 2=8 ………………5分∴公共点的坐标是（2，0）或（8，0）． …………………………………………6分 21.（满分7分）解：在Rt △ACO 中，97.04075sin ≈==︒OCOA OC ................................................2分解得OC≈38.8，. .................................................................................................3分在Rt △BCO 中，3383830===︒BC .BC OC tan . .................................................5分解得1673838..BC ≈⨯=..................................................................................6分 答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.1cm ．................................................7分22．（满分7分）解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=4， ∴AB=34=43⨯.……………………………………………1分 作CE ⊥OB 于E ， ∵∠ABO=90°，∴CE ∥AB ，∵OC=AC ，∴OE=BE=12OB=2. CE=12AB=23，∴C （-2，23）. …………………………………………2分 ∵反比例函数的图象经过OA 的中点C ， ∴k=22343-⨯=-，∴反比例函数的关系式为y= -43x ； ……………………......……………………3分（2）∵OB=4，∴D 的横坐标为-4，代入y=-43x 得，y=3，∴D （-4，3）. …………………………………………………………………4分 ∴BD=3，∵AB=43，∴AD=33，∴S △ACD=12AD•BE=12×33×2=33. ……………………………………………5分 ∴S 四边形CDBO=S △AOB-S △ACD=12OB•AB -33=12×4×43-33=53． ………7分23. （满分8分）（1）2510÷％=40（人）答：参加大赛获奖同学共40人。