易错类型三运算错误
《普通高中数学课程标准》对运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的计算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算.很多学生看到错误之后只是说“自己又做错了”，但并没有很好地分析原因，同时也没有采取有效的措施来减少计算错误对解题的影响.高中阶段的学习中，学生计算错误的原因主要有以下几点：
1.缺少对解题策略的比较和选择
对于这类错误要加强对一个错误题目的认识的思维导图，把它涉及到的知识，涉及到的解决方法都全面归纳和思考.从不同角度认识问题，并比较每种解法的优劣，思考在何种情况下采取何种变形，避免会解但解不对，会解来不及解得无奈.
2.缺少对概念的本原性的认识
对于这类错误：主要原因在于对基本的概念的理解没有抓住其本质，导致理解出现偏差，计算固然就会走弯路，最后结果呈现错误.所以学生在平时学习时一定要弄清知识的概念，本质.
3.缺少对图像的直观性的充分利用
对于这类错误：学生在做题时，对式子的运算关注得较多，对图形如何呈现，以及呈现出的图形对不对，关心得很少.特别是面对复杂运算时，学生无法打开思路，要引导学生在较短时间内突破思路.所以学生在学习新问题时要有意识的用图形的思想进行解决.
4.缺少对相似问题的背景的区分
如果没有对相似问题背景的深入研究，那么遇到一种模型也很难进行识别.所以学生要经常性的对易错点的背景和形式进行变式训练，加强学生的辨认和联系.
5.类比计算中缺少对类的思考
例1函数()33f x ax x ＝－在(1,1)-上为单调减函数，则a 的取值范围是________．
【错解】｛1｝，()2'3f x ax ＝3－，由已知得'(1)0,1'(1)0
f a f =⎧∴=⎨-=⎩.
【反思】 若f (x )的单调减区间为m ，n ]，则在x ＝m (x ＝n )两侧函数值异号，f ′(m )＝0(f ′(n )＝0)；若f (x )在区间m ，n ]上单调递减，则f ′(x )≤0在m ，n ]上恒成立．要对概念的本原性的认识清楚.
【针对训练】【河北省正定中学2015-2016学年高三第一学期期末考试】设向量，是相互垂直的单位向量，向量+λ与2-垂直，则实数=λ________.
【答案】2 【解析】由题意1a b ==，0a b ⋅=，又()(2)0a b a b λ+⋅-=，即
22(12)20a a b b λλ+-⋅-=，所以20λ-=，2λ=．
例2 【浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题】异面直线,a b 所成的角为，过空间中定点P ，与,a b 都成60︒角的直线有四条，则的取值范围是 ．
【错解】 将异面直线b a ,平移使它们相交点O ，如图平移后的直线分别用CD AB ,表示，作 ABCD SO 平面⊥,则θ=∠BOC ,满足与,a b 都成60︒角的直线有四条，所以必须在区域 SOAB,SOBC,SOCD,SOAD 内各有一条直线与AC,BD 成60°角，当0
60<θ时，在区域SOAB 没有满足条件的直线，当060=θ，在区域SOAB 满足条件的直线只能在平面ABCD 内，此时只能有
3条，所以060>θ，所以的取值范围是)180,0(00. 【剖析】没有注意到两直线所成角的范围是(]
0090,0.
【正解】将异面直线b a ,平移使它们相交点O ，如图平移后的直线分别用CD AB ,表示，作 ABCD SO 平面⊥,则θ=∠BOC ,满足与,a b 都成60︒角的直线有四条，所以必须在区域 SOAB,SOBC,SOCD,SOAD 内各有一条直线与AC,BD 成60°角，当0
60<θ时，在区域SOAB 没有满足条件的直
线，当060=θ，在区域SOAB 满足条件的直线只能在平面ABCD 内，此时只能有3条，所以060>θ，因为
异面直线所成的角的范围(]
0090,0，所以的取值范围是(60,90]
.
【反思】在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行没有传递性．在空间中任意
平移两条直线不改变两条直线所成的角，同时注意两直线所成角的范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.两异面直线所成的角归结为一个三角形中的内角时，容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【针对训练】【2014高考江苏卷第8题】 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且
1294S S =，则12V V 的值是 . 【答案】32
