必修二立体几何典型例题

必修二立体几何典型例题

【知识要点】

1.空间直线和平面的位置关系：

(１)空间两条直线:

①有公共点：相交，记作:a∩ｂ＝A,其中特殊位置关系:两直线垂直相交．

②无公共点:平行或异面．

平行,记作：a∥b.

异面中特殊位置关系：异面垂直.

(2)空间直线与平面：

①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．

直线在平面内，记作：a⊂α ．

直线与平面相交,记作:ａ∩α ＝A,其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．

②无公共点：直线与平面平行,记作:a∥α .

（3)空间两个平面：

①有公共点:相交,记作：α ∩β =l，其中特殊位置关系:两平面垂直相交．

②无公共点：平行，记作：α ∥β ．

2.空间作为推理依据的公理和定理：

(1）四个公理与等角定理：

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理３：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行．

定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.

（2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理:

①判定定理：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

②性质定理：

如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行．

如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理,得到下面的位置关系图：

【例题分析】

例2 在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,M ,N 分别是AB ,P Ｃ的中点，求证：MN ∥平面P AD ．

【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.

证明:方法一,取ＰD 中点E ,连接AE ，ＮE ．

∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，

∴ＭA ∥ＣD ，.2

1

CD MA = ∵Ｅ是P Ｄ的中点， ∴NE ∥CD ，.2

1

CD NE =

∴ＭA ∥N Ｅ，且M Ａ＝NE ， ∴AEN Ｍ是平行四边形, ∴MN ∥ＡE .

又AE ⊂平面P AD ,MN ⊄平面P ＡD ， ∴MN ∥平面P AD ．

方法二取CD 中点F ,连接ＭF ，ＮF ． ∵MF ∥AD ,NF ∥PD ,

∴平面MN Ｆ∥平面ＰAD , ∴MN ∥平面P AD .

【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法： （１)证明线线平行:

ａ∥c ，b ∥ｃ，

a ∥α，a ⊂β α∥β a ⊥α,

b ⊥α

α∩β＝ｂ

γ ∩α=a ,γ ∩β＝ｂ

⇒ａ∥b

⇒ａ∥b

⇒ａ∥ｂ

⇒a ∥b

(2)a ∩α=∅

a ∥ｂ

α∥β

ｂ⊂α,a ⊄α ａ⊂β

⇒a ∥α

⇒a ∥α

⇒a ∥α

（3)证明面面平行：

α∩β=∅

ａ∥β，b ∥β a ⊥α,ａ⊥β

α∥γ ，β∥γ

a ,

b ⊂α,ａ∩b =A

⇒α∥β ⇒α∥β

⇒α∥β ⇒α∥β

例３在直三棱柱ABC－A1B1Ｃ1中，AA1=AC,AＢ⊥AC，求证：A1C⊥BC1.

【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A１C垂直于经过BC1的平面即可.

证明:连接ＡC1．

∵ABC-Ａ1B1Ｃ1是直三棱柱,

∴AA1⊥平面ＡBC，

∴AB⊥AA1.

又AB⊥AＣ,

∴AB⊥平面A１ACC1,

∴A1C⊥A B．①

又AA１＝AＣ，

∴侧面Ａ1ACC1是正方形,

∴A1C⊥AC1.②

由①，②得Ａ1Ｃ⊥平面ＡＢC1，

∴Ａ１Ｃ⊥BC１．

【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥ＡC”都要将其向“线面垂直”进行转化．例4在三棱锥P-ABＣ中，平面PＡB⊥平面AＢC,AB⊥BC,AP⊥ＰB，求证：平面ＰAC⊥平面PBＣ.

【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．

证明:

∵平面P AB⊥平面ABC,平面P AＢ∩平面ABC=ＡＢ,且AB⊥BC,

∴BC⊥平面P AB，

∴ＡP⊥BＣ．

又AP⊥PＢ,

∴AP⊥平面PBC,

又A Ｐ⊂平面P A Ｃ,

∴平面P AC ⊥平面P ＢC .

【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法: a ⊥c ，b ∥c ,

a ⊥α

b ⊂α

⇒a ⊥b

⇒a ⊥ｂ

a ⊥m ,a ⊥ｎ ａ∥

b ，b ⊥α

α∥β,a ⊥β

α⊥β，α∩β＝l m ，n ⊂α,m ∩n =A

a ⊂β，a ⊥l

⇒a ⊥α

⇒a ⊥α ⇒ａ⊥α ⇒ａ⊥α

ａ⊥β，a ⊂α

⇒α⊥β

例5 如图,在斜三棱柱AB Ｃ－A 1B 1C 1中,侧面Ａ1AB Ｂ1是菱形,且垂直于底面A ＢＣ，∠A 1ＡＢ=６0°，E ，F 分别是ＡＢ1，ＢC 的中点.

(Ⅰ)求证：直线ＥF ∥平面A １A ＣC 1；

(Ⅱ）在线段ＡＢ上确定一点G ,使平面EF Ｇ⊥平面ABC ，并给出证明. 证明：(Ⅰ)连接Ａ1Ｃ，Ａ1E .

∵侧面A 1AB Ｂ１是菱形， E 是A Ｂ1的中点， ∴E 也是A 1Ｂ的中点，

又F 是BC 的中点,∴EF ∥A １C ．

∵A １C ⊂平面A 1ＡCC 1,ＥF ⊄平面A 1ＡCC 1, ∴直线EF ∥平面A 1ＡCC 1. （2)解：当

3

1

=GA BG 时,平面EFG ⊥平面AB Ｃ,证明如下: 连接E Ｇ,ＦG ．

∵侧面A 1A ＢB 1是菱形，且∠A １A Ｂ＝6０°，∴△A １ＡB 是等边三角形． ∵E 是Ａ1B 的中点，

3

1

=GA BG ,∴ＥG ⊥AB . ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ,且平面A 1AB Ｂ１∩平面ＡＢC =AB , ∴EG ⊥平面ＡBC ．

又E Ｇ⊂平面ＥFG ,∴平面EFG ⊥平面ABC .

例6 如图，正三棱柱ＡＢＣ－A 1B 1C 1中,Ｅ是AC 的中点．