浙江省嘉兴市2019-2020学年下学期高二年级期末检测数学试卷

2019-2020学年浙江省嘉兴市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，集合{}3,4,5B =，则集合()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}2,6C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,5,6【答案】B【解析】利用并集和补集的概念即可得出答案. 【详解】{}1,3A =，{}3,4,5B =，∴ {}1,3,4,5A B =,又{}1,2,3,4,5,6U =，∴(){}U2,6A B =，故选B.2．已知复数()()1i a i -+为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】利用复数的乘法法则将复数()()1i a i -+化为一般形式，然后利用该复数为纯虚数可得出关于a 的等式与不等式，即可解得实数a 的值. 【详解】()()()()111i a i a a i -+=++-，由于该复数为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-.故选：A. 【点睛】本题考查利用复数的类型求参数，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln 1f x x =+，则()1f -=（ ）A ．ln 2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】由函数的奇偶性可得()()11f f -=-，进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln 1f x x =+，∴()()()11ln111f f -=-=-+=-.故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 4．已知物体位移S （单位：米）和时间t （单位：秒）满足：321S t t =-+，则该物体在1t =时刻的瞬时速度为（ ） A ．1米/秒 B ．2米/秒C ．3米/秒D ．4米/秒【答案】A【解析】求出S 关于t 的导数，令1t =可得． 【详解】由题意232S t '=-，1t =时，321S '=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的物理意义，本题属于基础题．5．用数学归纳法证明：1232(21)n n n +++⋅⋅⋅+=+时，从n k =推证1n k =+时，左边增加的代数式是（ ） A ．43k + B ．42k +C ．22k +D ．21k +【答案】A【解析】根据题设中的等式，当n k =时，等式的左边为1232k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边为122(21)2(1)k k k ++⋅⋅⋅+++++，即可求解． 【详解】由题意，可得当1n =时，等式的左边为12+， 当n k =时，等式的左边为1232k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边为1232(21)2(1)k k k +++⋅⋅⋅+++++，所以从k 到1k +时，左边需增加的代数式是(21)2(1)43k k k +++=+， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，其中解答中熟记数学归纳法的基本形式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 6．在ABC 中，2CD DB =，AE ED =，则下列向量与BE 相等是（ ）A ．5163AB AC - B ．5163AB AC -+ C ．2136AB AC -D ．2136AB AC -+【答案】D【解析】根据向量的线性运算将BE 用AB ，AC 表示即可. 【详解】因为AE ED =，所以E 为AD 的中点， 所以111()()223BA B BE D BA BC =+=+11[()]23AB AC AB =-+- 14121()23336AB AC AB AC =-+=-+ 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算及平面向量基本定理，属于基础题. 7．已知()0,2a ∈，随机变量ξ的分布列如下：ξa2P23a- 13 3a则()D ξ的最大值为（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．13【答案】C【解析】根据分布列求出期望，再得方差，根据二次函数性质可得最大值． 【详解】由已知12()33a E a a ξ=+=， ∴22221()(0)()(2)333a aD a a a a ξ-=⨯-+⨯-+⨯-22222(2)(1)333a a a =--=--+，∴1a =时，max 2()3D ξ=．故选：C ． 【点睛】本题考查简单随机变量的分布列，均值与方差，掌握方差计算方法是解题关键． 8．某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A ，B ，其中A 大学报考医学专业时要求同时．．选考物理和．化学，B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ） A ．21种 B ．23种 C ．25种 D ．27种【答案】C【解析】报考A 大学的选择方案有15C 种，报考B 大学的选择方案有252C 种，最后利用分步计数原理计算即可得解. 【详解】A 大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，故报考A 大学的选择方案有15C 种；B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，故报考B 大学的选择方案有252C 种；该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有1255225C C +=种.故选：C . 【点睛】本题考查排列组合的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.9．已知数列{}n a 中，1a a =，212n n a a +=-，当3n ≥时，n a 为定值，则实数a 的不同的值有（ ） A ．5个 B ．5个 C ．6个 D ．7个【答案】D【解析】由题可得，2332a a -=，求出3a ，再由递推关系212n n a a +=-去求出21,a a 即可. 【详解】由题可知，若要满足3n ≥时，n a 恒为定值，则只需满足2332a a -=，故31a =-或32a =.当31a =-时，解得21a =±，从而解得：11a =±，或1a =； 当32a =时，解得22a =±，从而解得：12a =±，或10a =； 故1a 的不同取值有7个. 故选：D 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的计算，考查了学生的运算求解能力. 10．设a ，b ∈R ，且0b ≠，函数()f x x a bx =--.若函数()()y f f x =有且仅有两个零点，则（ ） A ．0a <，01b << B ．0a <，10b -<< C ．0a >，01b << D ．0a >，10b -<<【答案】B【解析】令()t f x =，则()0f t =.即t a bt -=时，方程x a bx t -=+有且仅有两个根.分别画y t a =-，y bt =的图像和y x a =-，1y bx t =+（2y bx t =+）的图像，观察得到. 【详解】 由题意知：方程()()0ff x =有且仅有两个根.令()t f x =，则()0f t =.即t a bt-=时，方程x a bx t -=+有且仅有两个根. 令()g t t a =- ，()h t bt = ，①当ab>⎧⎨>⎩时，由图可知，方程有1个或4个根；②当ab>⎧⎨<⎩时，由图可知，方程有0个或1个根；③当ab<⎧⎨>⎩时，由图可知，方程有0个或1个根；④当ab<⎧⎨<⎩时，由图可知，要使方程有2个根，必须满足10b-<<.直线y bt =与直线y t a =-+的交点横坐标11at b =+， 直线y bt =和直线y t a =-的交点横坐标21at b -=-，直线y bx t =+经过点(),0a 时，t ab =-，由题可知：11a a ab b b -<-<+-，即1b -<<.综上所述：01a b <⎧⎪⎨-<<⎪⎩时，函数()()y f f x =有两个零点.故选B.【点睛】此题的关键是分别以t 和x 作为自变量，作出y t a =-，y bt =和y x a =-，1y bx t =+（2y bx t =+）的图像，先确定1t ，2t 的值，再确定1y bx t =+（2y bx t =+）的图像，从图像观察得出结论，注意复合函数自变量的转化.二、双空题 11．已知复数21i z =+（其中i 为虚数单位），则z =______；z =______. 【答案】1i +【解析】由复数除法计算出z ，可得其共轭复数，再由模的计算公式计算模． 【详解】 由已知22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，∴1z i =+，z == 故答案为：1i -． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数和模的概念，属于基础题．12．从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，则这样的四位数共有______个；其中奇数有______个. 【答案】120 72【解析】(1)直接利用排列数公式求解即可；(2)先确定个位数的种数，再确定千位、百位、十位的种数，然后根据分步计数原理直接求解即可. 【详解】(1)从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，共有45120A =种；(2)第一步，先从1， 3， 5三个数中选一个放在个位有13C 种方法； 第二步，再从剩余的4个数中选3个放在千位、百位、十位有34A 种方法；根据分步计数原理，可得133472C A =个.故答案为: 120；72 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，属于基础题.13．设()5234501234521x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =______；12345a a a a a ++++=______.【答案】40- 2【解析】令()()521f x x =-，利用二项展开式通项可求得2a 的值，利用赋值法可得出()()1234510a a a a a f f ++++=-，即可得解.【详解】二项展开式通项为()()()5551552121rr rrr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅，令52r，可得3r =，则()332252140a C =⋅⋅-=-.令()()521f x x =-，则()()()()12345012345010112a a a a a a a a a a a a f f ++++=+++++-=-=--=.故答案为：40-；2. 【点睛】本题考查利用二项展开式求指定项的系数，同时也考查了利用赋值法求项的系数和，考查计算能力，属于中等题.14．袋子里有7个大小相同的小球，其中2个红球，5个白球，从中随机取出2个小球，则取出的都是红球的概率为______；若ξ表示取出的红球的个数，则()E ξ=______.【答案】121 47【解析】(1)求出随机取出2个小球的取法种数和2个小球是红球的种数，根据古典概型计算公式求解即可；(2)确定ξ的所有可能取值，再求出相应的概率，根据均值公式求解即可. 【详解】(1) 随机取出2个小球有2721C =种取法，取出的2个小球都是红球有1种取法，故取出的都是红球的概率121P =； (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，252710(0)21C P C ξ===；11522710)121(C C P C ξ===；2711(2)21P ξC ===，所以ξ的分布列为所以1010140122121217()E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：121；47【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，随机变量的均值的求解，属于基础题.三、填空题15．已知ABC 中，π2C =，M 是BC 的中点，且π3AMC ∠=，则sin MAB ∠=______. 【答案】14【解析】作出图形，设CM x =，用x 表示AC 、AM 、MB ，在AMB 中利用正弦定理即可求得sin MAB ∠. 【详解】如图所示，已知π2C =，M 是BC 的中点，且π3AMC ∠=，设CM x =，则3AC x =，2AM x =，MB x =， 在AMB 中，23AMB π∠=，227AB AC AB x +，MB x =， 7sin sin 3x xMAB =∠，解得sin MAB ∠=21. 故答案为：2114【点睛】本题考查正弦定理解三角形、勾股定理，属于基础题.16．已知向量1a =，向量b 满足4a b a b -++=，则b 的最小值为______. 3【解析】根据平行四边形性质可得()22222a b a b a b ++-=+，再结合基本不等式即可求出b 的最小值. 【详解】由平行四边形性质可得：()22222a b a b a b++-=+，由基本不等式可得：()2222a b a b a b a b++-++-≥，当且仅当a b a b +=-时等号成立， 所以()()22222a b a b a b++-+≥，即()224212b+≥， 所以3b ≥，所以b 的最小值为33【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.17．若不等式224ln x x ax b x -≤++≤对任意的[]1,x e ∈恒成立，则实数b 的最大值为______. 【答案】2【解析】由224ln x x ax b x -≤++≤得：2224ln x x ax b x x -+-≤+≤-， 设2()2f x x x =-+-，2()4ln g x x x =-，()h x ax b =+ ， 则()()()f x h x g x ≤≤ 在[]1,x e ∈上恒成立，且b 为()h x 的纵截距，利用()f x ，()g x ，()h x 的图像得到当()h x ax b =+过点A ，且与2()2f x x x =-+-相切时，b 有最大值，进而得到答案. 【详解】由224ln x x ax b x -≤++≤得：2224ln x x ax b x x -+-≤+≤-， 设2()2f x x x =-+-，2()4ln g x x x =-，()h x ax b =+ ， 则()()()f x h x g x ≤≤ 在[]1,x e ∈上恒成立，且b 为()h x 的纵截距，易知，2()2f x x x =-+-在[]1,e 上单调递减，且(1)2f =- ，2()2f e e e =-+-，242(2)()2x g x x x x--'=-=，当()0g x '<时，x <或x >故()g x 在⎡⎣ 上单调递增，在e ⎤⎦上单调递减，且max ()2(ln 21)g x g ==- ，(1)1g =- ，2()4g e e =- ，如图，当()h x ax b =+过点A ，且与2()2f x x x =-+-相切时，b 有最大值， 设切点00(,)B x y ，则有002000(1)1()212h a b k a f x x x x ax b=+=-⎧⎪===-+⎨⎪-+-=+⎩' 解得：0232x a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故b 的最大值为2， 故答案为：2. 【点睛】此题因含有2个参数，采用分离参数法的话要很繁杂的参数讨论，会给做题增加很大难度，这个时候我们如果把不等式进行一定的变形，使含参数的部分变成一次函数，因为它的图像是一条直线，会比较容易找到需要的位置，使解题过程变的简单.四、解答题18．已知函数()2πsin 24cos 6f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（x ∈R ）.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（1）72；（2）最小正周期为π；单调增区间为：5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）根据两角差的正弦公式、余弦的二倍角公式和辅助角公式将式子化简为π()223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后代值计算即可；（2）由2πT ω=计算最小正周期，令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可得出函数的单调增区间. 【详解】（1）()11cos 23sin 2cos 242cos 2222222x f x x x x x +=-+⋅=++ π223x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴π27π2632f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2ππ2T ==， 令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k Z ∈，∴5ππππ1212k x k -+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调增区间为：5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查正弦型函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，且1AB =，2PA AD DC ===，E 是PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，证明AEFB 是平行四边形，从而有线线平行得线面平行；（2）取CD 中点M ，连AM ，MP ，易知AM CD ⊥，证得CD ⊥平面PAM 后得面PCD ⊥面PAM ，过A 作AH PM ⊥，证明ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角，然后解得这个角的正弦即可． 【详解】解：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF .∵E 是PD 的中点，∴//EF CD 且12EF CD =，∵//AB CD 且2CD AB =，∴//AB EF 且AB EF =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，∴//AE BF ，∵BF ⊂平面PBC ，AC ⊄平面PBC ，∴//AE 平面PBC .（2）取CD 中点M ，连AM ，MP ，ABCM 是平行四边形也是矩形，∴AM CD ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，∴CD ⊥平面PAM ，∵CD ⊂面PCD ，∴面PCD ⊥面PAM ，过A 作AH PM ⊥，连HD ，∴AH ⊥面PCD ，∴ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角， ∵2PA AD ==，∴AM =MP =， 在PAM △中，由等面积法知：7AH ==，∴sin 7AH ADH AD ∠==. 【点睛】本题考查证明线面平行，求直线与平面所成的角，证明线面平行的根据是线面平行的判定定理，求直线与平面所成的角关键是作出直线与平面所成的角，为此需要找平面的垂线，这可从线线垂直、线面垂直、面面垂直间的关系去寻找确定． 20．已知等差数列{}n a 中，11a =，且22a +，3a ，54a -成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足31212321n n nb b b b a a a a +++⋅⋅⋅+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =-；(2)()2323nn T n =-⋅+.【解析】(1)设等差数列的公差为d ，由22a +，3a ，54a -成等比数列可得关于d 的方程，解出d 后由等差数列的通项公式即可求得n a ； (2)根据条件可得2n ≥时，11222n n n nnb a --=-=，再由(1)可求得n b ，再验证1n =的情形，即可求得()1212n n b n -=-⋅，利用错位相减法即可求出n T .【详解】(1)因为22a +，3a ，54a -成等比数列，所以()()225324a a a +-=，所以()()()21112442a d a d a d +++-=+，因为11a =，所以()()()234321d d d +-=+，解得2d =， 所以21n a n =-.(2)①当2n ≥时，31212321n n nb b b b a a a a +++⋅⋅⋅+=-，所以13112123121n n n b b b b a a a a ---+++⋅⋅⋅+=-， 两式相减得11222n n n nnb a --=-=， ②当1n =时，111211b a =-=满足上式，所以()121n n nb n a -=≥， 由(1)可知，21n a n =-，所以()1212n n b n -=-⋅，所以()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，①()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，②由①-②得，()()12112222212n nn T n --=+⨯++⋅⋅⋅+--⋅()()12121221212n n n --=+⨯--⋅-()3223n n =-⋅-，所以()2323nn T n =-⋅+.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列，数列通项的求法及错位相减法求和，属于中档题. 21．如图，已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，设点()()22,1A t t t >为抛物线上一点，过点A 作抛物线C 的切线交其准线于点E .（1）求点E 的坐标（用t 表示）；（2）直线AF 交抛物线C 于点B （异于点A ），直线EF 交抛物线C 于M ，N 两点（点N 在E ，F 之间），连结AM ，BN ，记FAM △，FBN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值.【答案】（1）1,1 E tt⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）17122+.【解析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得切线方程后可得E点坐标；（2）写出直线AF方程与抛物线方程联立求得B点坐标，同样写出EF方程与抛物线方程联立解得,M N坐标，计算12SS为t的函数，可令1m t=-换元后应用基本不等式得最小值．【详解】解：（1）由214y x=求导，12y x'=，∴2x ty t='=.∴点()22,A t t处的切线方程为：2y tx t=-，准线方程：1y=-，代入切线方程得1x tt=-，∴点1,1E tt⎛⎫--⎪⎝⎭.（2）∵()0,1F，()22,A t t，∴AFl：2112ty xt-=+，联立221124ty xtx y⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，得()222140tx xt---=，∴221,Bt t⎛⎫-⎪⎝⎭，易知EFl：2211ty xt=-+-，联立222114ty xtx y⎧=-+⎪-⎨⎪=⎩，得228401tx xt+-=-，即()()212111t tx xt t+-⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭，∴()211Mtxt+=--，()211Ntxt-=+，由上知1AF EFk k⋅=-，即AF EF⊥，∴2212112112A MB NAF MF x xS ttS x x tBF NF⋅+⎛⎫==⋅=⋅ ⎪-⎝⎭⋅，设()10t m m-=>，则()2222121233171S t t m S t m +⎛⎫⎛⎫=⋅=++≥=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当且仅当m =，即1t =时，12S S取到最小值17+【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，本题中采取解析几何的最基本方程，求出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点坐标．最后再计算面积比，求最值．22．已知函数()1x e f x x=-，()()()221g x ax a e x a =-++--∈R .（2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.） （1）求()f x 的值域；（2）设()()()h x xf x g x =+，若()h x 在区间()0,1有零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()[),11,e -∞--+∞；（2）21e a -<<. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，确定函数的单调性，同时注意0x <时函数值的变化趋势，从而可得函数值域；（2）求导函数()h x '，为了确定其正负，设()()k x h x '=，再求导()k x '，观察()k x '得需对a 分类：21a ≤，2a e ≥，12a e <<，通过得出()h x 的单调性，结合函数图象得出()h x 在(0,1)存在零点的条件． 【详解】 解：（1）()()21x x e f x x-'=，当()0f x '>时，1x >；当()0f x '<时，1x <且0x ≠，∴()f x 在区间(),0-∞，()0,1单调递减，()1,+∞单调递增.0x <时，0xe x<，()11x e f x x =-<-，又∵()11f e =-，由图可知()f x 的值域为()[),11,e -∞--+∞.（2）()()211xh x e ax a e x =-++--，()()21xh x e ax a e '=-++-，令()()2(1)x k x h x e ax a e '==-++-，则()2xk x e a '=-， ∵()0,1x ∈，∴()1,xe e ∈.①当21a ≤，即12a ≤时，()0k x '>，∴()k x 即()h x '在()0,1单调递增， 又∵()020h a e '=+-<，()110h a '=->，∴存在()10,1x ∈，使得()10h x '=， ∴()h x 在区间()10,x 单调递减，()1,1x 单调递增.又∵()00h =，()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x <.故()h x 在区间()0,1内无零点. ②当2a e ≥，即2ea ≥时，()0k x '<，∴()k x 即()h x '在()0,1单调递减， 又∵()020h a e '=+->，()110h a '=-<，∴存在()20,1x ∈，使得()20h x '=， ∴()h x 在区间()20,x 单调递增，()2,1x 单调递减.又∵()00h =，()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x >.故()h x 在区间()0,1内无零点.③当12a e <<，即122e a <<时，令()0k x '>，解得ln 2x a >，令()0k x '<，解得ln 2x a <，∴()k x 即()h x '在区间()0,ln 2a 单调递减，()ln 2,1a 单调递增，∴()()min ln 232ln 21h x h a a a a e ''==-+-，令()32ln 21t a a a a e =-+-，1,22e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()12ln 2t a a '=-， 当()0t a '>时，解得e a <；当()0t a '<时，解得e a >； ∴()t x 在区间1,22e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减.∴()max 102e t x t e e ⎛⎫==+-< ⎪ ⎪⎝⎭，∴()()min ln 20h x h a ''=<.由图可知，只有满足()()020110h a e h a ⎧=+->⎪⎨=->''⎪⎩，即21e a -<<时，()h x 在()0,1有零点. 综上所述，21e a -<<.【点睛】本题考查用导数求函数值域，用导数研究函数零点问题，解题关键是分类讨论确定函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，转化与化归思想，分类讨论思想，难度大，要求高，本题属于困难题．解题中要注意我们用导函数的正负确定函数的单调性，而有时导函数的正负（导函数的零点）不明显，又需要对导函数或其中一部分（此时可引入新函数）求导，确定这部分函数的单调性，零点存在性，零点存在时的范围等性质．。

2020年嘉兴市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-2．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心, 3,4AB AC ==.若存在非零实数,x y 使得AO x AB y AC =+u u u v u u u v u u u v且21x y +=,则cos BAC ∠的值为 （ ）A ．13B ．23C ．33D ．23 3．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =u u u v（ ）A ．1123AB AD -u u uv u u u vB ．1142AB AD +u u uv u u u vC ．1132AB DA +u u uv u u u vD ．1223AB AD -u u uv u u u v .4．已知集合{}|1A x x =>，{}|2B x x =<，则集合A B =U （ ） A ．∅B ．RC ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤≤5．在平面四边形ABCD ，(1,3)AC =u u u r ，(9,3)BD =-u u u v，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．710B ．272C ．15D ．9106．设正项等差数列的前n 项和为，若，则的最小值为A ．1B ．C ．D ．7．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ）A ．αβγ==B ．αβγ<<C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对8．()()511x x -+展开式中2x 项的系数是 A ．4 B ．5 C ．8D ．129．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()8,-+∞ B ．[)6-+∞, C ．(],6-∞-D ．[]8,6--10．给出下列四个说法： ①命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得12x x+<”；②已知a 、0b >>a b >”的逆否命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件；④若0x x =为函数()22ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=.其中正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]-B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]12．己知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______． 14．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为________.15．直三棱柱ABC -A B C '''中，90ABC ︒∠=，4AB =，2BC =，BB '=，则异面直线AC '与B C'所成角的余弦值为________.16．设非空集合A 为实数集的子集，若A 满足下列两个条件： （1）0A ∈，1A ∈；（2）对任意,x y A ∈，都有x y A +∈，x y A -∈，xy A ∈，()0xA y y∈≠ 则称A 为一个数域，那么命题：①有理数集Q 是一个数域；②若A 为一个数域，则Q A ⊆；③若A ，B 都是数域，那么A B I 也是一个数域；④若A ，B 都是数域，那么A B U 也是一个数域. 其中真命题的序号为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90CAD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PAC ；（2）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(),a b 在直线()sin sin sin sin x A B y B c C -+=上．（1）求角C 的值；（2）若()22618a b a b +=+-，求ABC ∆的面积．19．（6分）已知圆C ：22230x y mx +--=(R)m ∈． （Ⅰ）若1m =，求圆C 的圆心坐标及半径；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与圆C 交于A ，B 两点，且AB 4=，求实数m 的值． 20．（6分）已知函数()3f x m x =--，不等式()2f x >的解集为{|24}x x <<. （I ）求实数m 的值；（II ）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.21．（6分）已知函数221()ln ()2f x ax x x a a x =+-+． （1）若1a =-，证明：()0f x >；（2）若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围．22．（8分）如图, 平面PAC ⊥平面,,ABC AC BC PAC ⊥∆为等边三角形,PE BC P , 过BC 作平面交,AP AE 分别于点,N M ,设AM ANAE APλ==.（1）求证：MN P 平面ABC ；（2）求λ的值, 使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45o .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f(x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 2．D 【解析】 【分析】根据AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r且21x y +=判断出,O B 与线段AC 中点三点共线，由此判断出三角形ABC 的形状，进而求得cos BAC ∠的值. 【详解】由于22AC AO xAB y AC xAB y =+=+u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，由于21x y +=，所以,O B 与线段AC 中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线OB 垂直平分AC ，于是ABC ∆是以AC 为底边的等腰三角形，于是22cos 3ACBAC AB ∠==，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。

嘉兴市名校2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．对任意非零实数,a b ，若a ※b 的运算原理如图所示，则 2(log22)※2318-⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“()20a a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知100CD =米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于()A ．100米B ．3C ．)5031米D ．5024．已知椭圆22124x y +=，则以点()1,1M 为中点的弦所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．4590x y -+=C ．5490x y -+=D ．230x y --=5．双曲线221259x y -=和221(925)259x y k k k -=-<<-+有（）A ．相同焦点B ．相同渐近线C ．相同顶点D ．相等的离心率6．在长为cm 12的线段AB 上任取一点C 现作一矩形,领边长分别等于线段CB AC ,的长,则该矩形面积小于232cm 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2D ．这三个数都小于29．函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度10．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''，D ．()0()0f x g x ''<<，11．函数2xy -=的定义域为（ ） A ．(],2-∞B ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D ．(],1-∞12．已知函数2(),(0,)x e f x ax x x=-∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2 ,12e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为________.14．已知i 是虚数单位,若(1)=2z i i -,则||=z ________15．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点B 与椭圆的两个焦点1F 、2F 组成的三角形的周长为4+1223F BF π∠=，则椭圆的方程为________. 16．设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c；类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为r ，四面体S ABC -的体积为V ，则r =__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2sin b a C c A ==．求证：ABC ∆为等腰直角三角形18．已知函数()1f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）若()20f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．（6分）已知m R ∈，p ：m 128<<；q ：不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立. （1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.20．（6分）为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了111名用户进行调查，得到如下数据：合计 11 8 7 11 14 51认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”. (1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关. 不喜欢骑共享单车 喜欢骑共享单车 合计 男 女 合计附表及公式：，其中.1.15 1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.1112.172 2.7163.841 5.124 6.635 7.879 11.82821．（6分）已知2()(3)2ln f x a x x =-+，α∈R ，曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平分圆C ：22(3)(2)2x y -+-=的周长.（1）求a 的值；（2）讨论函数()y f x =的图象与直线()y m m R =∈的交点个数.22．（8分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由程序框图可知，该程序的作用是计算分段函数11b a b ay a a b b-⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，函数值，由分段函数的解析式计算即可得结论. 详解：由程序框图可知，该程序的作用是计算a ※b 11b a b aa ab b-⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，函数值，(2log22※23138-⎛⎫= ⎪⎝⎭※4因为4134,13a b y -=<=∴==，故选A. 点睛：算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可. 2．B 【解析】【分析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性. 【详解】当a b >时，令0,0a b =<，此时()20a a b -=，所以不是充分条件；反过来，当()20aa b ->时，可得20a >，且0a b ->，即a b >，所以是必要条件，a b ∴>是()20a a b ->的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可. 3．C 【解析】 【分析】设AB h =，ABC ∆，ABD ∆中，分别表示,BC BD ，最后表示tan ADB ∠求解长度. 【详解】设AB h =，ABC ∆中，45ACB ∠=，BC h =，ADB ∆中，tan 1003h ADB h ∠==+，解得：)501h =米.故选C. 【点睛】本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型. 4．A 【解析】 【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程． 【详解】解：设以点()1,1M 为中点的弦与椭圆22124x y += 交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122x x +=，122y y +=，分别把点A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22112222124124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：12121212()()()()024x x x x y y y y +-+-+=，∴1212()02y y x x --+=， ∴直线AB 的斜率12122y yk x x -==--，∴以点(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为：12(1)y x -=--，即230x y +-=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题． 5．A 【解析】 【分析】对于已知的两条双曲线，有()()259259k k +=-++，则半焦距c 相等，且焦点都在x 轴上，由此可得出结论. 【详解】解：对于已知的两条双曲线，有()()259259k k +=-++，∴半焦距c 相等，且焦点都在x 轴上， ∴它们具有相同焦点.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，属于基础题. 6．C 【解析】试题分析：设AC=x ，则0＜x ＜12，若矩形面积为小于32，则x ＞8或x ＜4，从而利用几何概型概率计算考点：几何概型点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题7．B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 8．D 【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答. 详解：“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”， 所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c 至少有一个不小于m 的否定是三个数都小于m. 9．D 【解析】 【分析】先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求ϕ与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果． 【详解】由题意，函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象， 可得11,43124A T πππ==-=，即T π=，所以2ω=，再根据五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，求得3πϕ=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，可得sin[2()]sin(2)1232y x x πππ=++=+ cos2x =的图象，则只要将()cos2g x x =的图象向右平移12π个单位长度可得()f x 的图象，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．B 【解析】由条件知：()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数；()g x 是偶函数，且在(0,)+∞内是增函数；所以()f x 在(,0)-∞内是增函数；()g x 在(,0)-∞内是减函数；所以0x <时，()0,()0.f x g x ''><故选B 11．B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可. 【详解】 由题意知，2202320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，解得2x <且12x ≠-， 所以原函数的定义域为11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】令()()g x xf x =，由()()12210f x f x x x -<可知()g x 在()0,∞+上单调递增，从而可得()230x g x e ax '=-≥在()0,∞+上恒成立；通过分离变量可得23x e a x ≤，令()()20x eh x x x=>，利用导数可求得()()2min 24e h x h ==，从而可得234e a ≤，解不等式求得结果.【详解】 由()()12210f x f x x x -<且210x x >>得：()()1122x f x x f x <令()()3xg x xf x e ax ==-，可知()g x 在()0,∞+上单调递增()230x g x e ax '∴=-≥在()0,∞+上恒成立，即：23xea x≤令()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x-'= ()0,2x ∴∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增()()2min24e h x h ∴== 234e a ∴≤，解得：2,12e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．13arcsin 或2π【解析】 【分析】根据A 、B 两点与平面α的位置分类讨论，再解三角形求线面角. 【详解】A,B 两点在平面α同侧时，如图：1,2,3,AC BD AB BOD ===∠为AB 所在直线与平面α所成角,因为11//3,sin arcsin 33AC AC BD AB AO BOD BOD AO ∴==∴∠==∴∠=A,B 两点在平面α异侧时，AB α⊥，所以AB 所在直线与平面α所成角为2π 故答案为：13arcsin 或2π 【点睛】本题考查线面角以及直线与平面位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 142 【解析】由()()()()2121212111i i i z i i z i z i i i +-=⇒===-+∴=--+ 215．2214x y +=或2214y x +=【解析】 【分析】先假设椭圆的焦点在x 轴上，通过直角三角形△2F OB 推出a ，c 的关系，利用周长得到第二个关系，求出a ，c 然后求出b ，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在y 轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案. 【详解】设椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为2a ，焦距为2c ，如图所示， 则在△2F OB 中，由23F BO π∠=得：32c a =， 所以△21F BF 的周长为2223423a c a a +=+=+ 2a ∴=，3c =21b ∴=；故所求椭圆的标准方程为2214x y +=．当椭圆的焦点落在y 轴上，同理可得方程为：2214yx +=.故答案为：2214x y +=或2214y x +=【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出a ，b 的值，易错点是没有判断焦点位置． 16．12343+++VS S S S .【解析】 【分析】根据平面和空间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合三角形面积的求法求出三棱锥的体积，进而求出内切球的半径为r . 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都为R ，所以四棱锥的体积等于以O 为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥的体积之和， 则四面体S ABC -的体积为()12341234133VV S S S S r r S S S S =+++⇒=+++. 【点睛】本题考查了类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知一类的数学对象的性质迁移到另一个数学对象上去.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．见解析 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得4C π，然后利用余弦定理可得A C =，最后可得结果.【详解】证法一：由正弦定理及2cos 2sin a C c A =， 得sin cos sin sin A C C A =sin 0A ≠，cos sin C C ∴=，cos 0C ≠，tan 1C ∴=(0,)C π∈，4C π∴=又2cos b a C =， b ∴=由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得222)2cos 4c a a π=+-，即22,c a a c ==4A C π∴==，ABC ∆∴为等腰直角三角形．证法二：由正弦定理及2cos 2sin a C c A =， 得sin cos sin sin A C C A =sin 0A ≠，cos sin C C ∴=，cos 0C ≠， tan 1C ∴=(0,)C π∈，4C π∴=，由正弦定理及2cos b a C =， 得sin 2sin cos B A C =，()B A C ，sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+， sin()2sin cos A C A C ∴+=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C ∴+=， cos sin sin cos A C A C ∴=，sin()0A C ∴-=， (,)A C ππ-∈-，4A C π∴==，ABC ∆∴为等腰直角三角形．【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理的判断三角形的形状，关键在于边角之间的转化，属基础题.18．（1）{}|22x x -<<（2）13a ora ≥≤- 【解析】分析：（1）当1a =时()11f x x x =++-，分类讨论可求解不等式()4f x <；（2）若()20f x -≥恒成立，即()2f x ≥恒成立，利用绝对值三角不等式可求()f x 的最小值为1a +，即12a +≥，由此可求实数a 的取值范围 详解：（1）()11f x x x =++-当1x ≤-时，由()24f x x =-<得2x >-，则21x -<≤-； 当11x -<≤时，()24f x =<恒成立；当1x >时，由()24f x x =<得2x <，则12x <<. 综上，不等式()4f x <的解集为{|22}x x -<<（2）由绝对值不等式得()11f x x a x a =++-≥+，当且仅当()()10x a x +-≤时取等号，故()f x 的最小值为1a +.由题意得12a +≥，解得13a ora ≥≤-点睛：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，熟练掌握绝对值的几何意义及性质定理是解答本题的关键．19．（1）[4,4]-（2）[4,0][3,4]-⋃ 【解析】 【分析】（1）解不等式2160m ∆=-即得解；（2）由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，再分两种情况分析讨论得解. 【详解】（1）由“不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立”为真得2160m ∆=-，解得44m -≤≤，故实数m 的取值范围为[4,4]-.（2）由“m 128<<”为真得m 的取值范围为03m <<， 由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，当p 真q 假时，有0344m m m <<⎧⎨-⎩或，此时m 无解；当p假q真时，有0344m mm≤≥⎧⎨-≤≤⎩或，解得40m-≤≤或34m≤≤；综上所述，m的取值范围为[4,0][3,4]-⋃.【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为，女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为（2）填表见解析，没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；（2）先完成列联表，再利用独立性检验判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.【详解】解:(1)由调查数据可知,男用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，因此男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.女用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，因此女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.（2）由图中表格可得列联表如下：不喜欢骑共享单车喜欢骑共享单车合计男11 45 55 女15 31 45 合计25 75 111 将列联表代入公式计算得：所以没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 21．（1）12a =；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求得曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线，根据题意可知圆C 的圆心在此切线上，可得a 的值. （2）根据()0f x '=得出()f x 极值，结合单调区间和函数图像，分类讨论m 的值和交点个数。

2019-2020学年浙江省嘉兴市数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．4D ．232．若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（ ） A ．2B ．0C ．-2D ．-43．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．114．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（ ） A ．0x =B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=5．已知函数()2ln xz e f x k x kx x=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞ 6．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()1,+∞C ．()1,2-D ．()1,27．在一组样本数据为11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y （2n ≥，1x ，2x ，3x ，L ，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n =L 都在直线123y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为（ ） A ．13-B ．13C ．1D ．-18．已知是虚数单位，若，则的共轭复数等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点,将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC ； ④平面DCF⊥平面BFC.则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．奇函数()f x 的定义域为R .若(3)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(6)(11)f f +=( ) A ．2-B ．1-C ．0D ．111．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上的四点A ，B ，C ，D 满足AC AB AD u u u r u u u r u u u r =+，若直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3B ．2C ．5D ．2212．曲线3 2y x x =-+在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．21y x =+B ．21y x =-C ．2y x =-+D ．2y x =--二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知,x y R ∈，且2x y +>，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______． 14．在空间直角坐标系中，已知点M （1，0，1），N （-1，1，2），则线段MN 的长度为____________ 15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .16．若5(2)a x x+的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含3x 的项为__________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()|21||1|f x x x =-++． (1)解不等式()3f x …；(2)记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t++…．18．我们称点P 到图形C 上任意一点距离的最小值为点P 到图形C 的距离，记作()d P C ，（1）求点()30P ，到抛物线2:4C y x =的距离()d P C ，； （2）设l 是长为2的线段，求点集(){}1D P d P l =≤，所表示图形的面积；（3）试探究：平面内，动点P 到定圆22:1C x y +=的距离与到定点()()00A a a ≥，的距离相等的点的轨迹．19．（6分）已知函数()ln f x x x =（I ）求()f x 在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程. （II ）求()f x 的最小值.20．（6分）某中学将444名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班54人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于94分者为“成绩优秀”．根据频率分布直方图填写下面4×4列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过4．45的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． 甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计 成绩优秀成绩不优秀 总计附：K 4＝．P （K 4≥k ） 4．45 4．45 4．44 4．45 4．445 k4．4444．4744．7464．8445．44421．（6分）ABC ∆三个内角A,B,C 对应的三条边长分别是,,a b c ，且满足sin cos c A C =．（1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =a ．22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,34x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ， 显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小； 因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =. 故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型. 2．D 【解析】 【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f ' 【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+，得()12f '=- 所以()42f x x '=-+，所以()04f '=- 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 3．B 【解析】将圆分组：第一组：○●，有2 个圆；第二组：○○●，有3 个圆；第三组：○○○●，有4 个，…，每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n 组圆的总个数为()21234 (12)n n S n n ++=+++++=⨯，令55n S =，解得9.6n ≈，即包含9整组，故含有●的个数是9个, 故选B.【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.试题分析：()12cos 22sin 2cos 22sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 向左平移6π个单位后所得函数解析式为()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()g x 对称轴方程为()262x k k Z πππ+=+∈，所以()62k x k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=． 考点：三角函数图象及性质． 5．A 【解析】 【分析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点 ∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点， 即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2xe g x x=，因为()32'x e x g x x（）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选：A ． 【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选：D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；（2）利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； （3）将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 7．D 【解析】 【分析】根据回归直线方程可得相关系数． 【详解】根据回归直线方程是y 13=-x+2， 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值， 且所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线上，则有|r|＝1， ∴相关系数r ＝﹣1． 故选D ．【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键． 8．C 【解析】 【分析】通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案. 【详解】 根据题意，所以，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小. 9．B 【解析】分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 详解：对于①：因为BC∥AD，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直,则①错误；对于②：设点D 在平面BCF 上的射影为点P,当BP⊥CF 时就有BD⊥FC, 而AD:BC:AB ＝2:3:4可使条件满足,所以②正确；对于③：当点P 落在BF 上时, DP ⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确； 对于④：因为点D 的投影不可能在FC 上，所以平面DCF⊥平面BFC 不成立，即④错误． 故选B.点睛：本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 10．B 【解析】(3)f x +Q 是偶函数，()f x ∴ 关于3x =对称，()f x Q 是奇函数(6)(0)0,(11)(5)(5)(1)1(6)(11)1f f f f f f f f ∴===-=-=-=-∴+=- 。

2019-2020学年嘉兴市名校数学高二下期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】D 【解析】 【分析】计算()39114P X <<=，根据题意得到101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()1314nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断数列单调递减，又()40.1f <，()30.1f >，得到答案. 【详解】 因为()210,XN σ，且()198P X <=，所以()39114P X <<=，即每个零件合格的概率为34. 合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为101131C C 444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由101131C C 0.1444nn nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()1310.14nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①，令()()()1314nf n n n *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N .因为()()1341124f n n f n n ++=<+， 所以()f n 单调递减，又因为()40.1f <，()30.1f >， 所以不等式①的解集为4n ≥. 【点睛】本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ）A ．5 BC ．4D ．3【答案】D 【解析】【分析】已知两边及夹角，可利用余弦定理求出． 【详解】由余弦定理可得：22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 解得3a =.故选D. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．3．已知函数1()e ln(1)1x x f x ae x -=-+-存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1eln2-∞+ B ．()-eln 2,+∞ C ．(),eln2-∞- D ．()1eln2,++∞【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，求得导数，构造1xy e x =--，求得导数，判断单调性，即可得到()g x 的单调性，可得()g x 的范围，即可得到所求a 的范围． 【详解】由题意，函数1()e ln(1)1x x f x aex -=-+-，令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，则()111(1)x xx e e x g x ee x e x ---'=-+=⋅++， 由1xy e x =--的导数为1xy e =-， 当1x >时，110x e e ->->，则函数1xy e x =--递增，且10xy e x =-->，则()g x 在(1,)+∞递增，可得()()11ln 2g x g e >=+，则1ln 2a e >+， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．4．某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有( ) A ．192种 B ．144种 C ．96种 D ．72种【答案】B 【解析】 【分析】由题意知,A B 两个截面要相邻，可以把这两个与少奶奶看成一个，且不能排在第3号的位置，可把,A B 两个节目排在1,2号的位置上，也可以排在4,5号的位置或5,6号的位置上，其余的两个位置用剩下的四个元素全排列. 【详解】由题意知,A B 两个节目要相邻，且都不排在第3号的位置，可以把这两个元素看成一个，再让它们两个元素之间还有一个排列，,A B 两个节目可以排在1,2两个位置，可以排在4,5两个位置，也可以排在5,6两个位置，所以这两个元素共有12326C A =种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，所以所有节目共有124324624144C A A =⨯=种不同的排法，故选B.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用问题，其中解答时要先排有限制条件的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后再用分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．已知函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤+--=⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2,1- B ．[]2,4C ．()2,1--D ．(],4-∞【答案】C 【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f （x ）的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围．详解：函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图：关于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7个不等的实数根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7个不等的实数根，f（x）=1有3个不等的实数根，∴f（x）=﹣a必须有4个不相等的实数根，由函数f（x）图象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故选：C．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．6．在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝x C．y＝m+nx2D．y＝p+qe x（q＞0）【答案】B【解析】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除,C D选项，故选B.7．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（）A ．55B ．89C ．120D ．144【答案】A 【解析】 【分析】根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案. 【详解】由题意，可知1234561,1,112,123,235,358a a a a a a ===+==+==+==+=，789105813,81321,132134,213455a a a a =+==+==+==+=，故选A. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6a =1cos 3B =，则b =（）A ．2B ．53C ．125D ．4【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理解出c ，再利用cos B 的余弦定理解出b 【详解】sin 2sin cos sin +2cos =C C B A c c B a +=⇔365c ⇒=22254311442cos 6266255325b ac ac B =+-=+-=所以125b =【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题． 9．在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为（ ） A ．-10 B ．20 C ．-40 D ．50【答案】C 【解析】分析：根据二项式展开式的通项求2x 的系数.详解：由题得()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2.r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-令5-r=2,则r=3,所以2x 的系数为33535(1)240.C --=-故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 二项式a+b n （）通项公式：1C r n r r r n T a b -+= （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅）. 10．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1） 【答案】C 【解析】 试题分析：，，所以函数是区间上的“双中值函数”等价于在区间有两个不同的实数解，即方程在区间有两个不同的实数解，令，则问题可转化为在区间上函数有两个不同的零点，所以，解之得，故选C.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.11．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a=0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y=22(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）, y=()cos 20a x x +≥的值域为[a+2,-a+2],因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a, 所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y=22(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）,y=()cos 20a x x +≥的值域为[-a+2,a+2], 当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a+2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a≤2，故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知函数()()f x A x b ωϕ=++（0A >，0>ω）的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++ B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++ D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D 【解析】结合函数图像可得：5122A -==，523b =-=， 结合周期公式有：()244112,6ππωω=⨯-=∴=，且当1x =时，()12,2623x k k k Z πππωϕϕπϕπ+=⨯+=+∴=+∈，令0k =可得：3πϕ=，据此可得函数的解析式为：()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.点睛：已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 二、填空题：本题共4小题13．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 【答案】【解析】 【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可． 【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个， 从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P ，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14．已知1sin cos 2αβ=，则cos sin αβ的取值范围是________. 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可设所求cosαsinβ=x，与已知的等式sinαcosβ=12相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2α•sin2β=2x 后，根据三角函数的值域的范围得到关于x 的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范围 【详解】设x=cosα•sinβ，si nα•cosβ•cosα•sinβ=12x ， 即sin2α•sin2β=2x． 由|sin2α•sin2β|≤1，得|2x|≤1，∴﹣12≤x≤12． 故答案为：[﹣12，12]．【点睛】考查学生灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值，会根据三角函数的值域范围列出不等式．本题的突破点就是根据值域列不等式． 15．71()7x x-的展开式的第3项为______. 【答案】337x 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rrr C x x -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r可得出答案．【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题．16．函数y =____________.【答案】(0,1)(1,3]⋃ 【解析】分析：令3101log 0x x -≠-≥，即可求出定义域 详解：令101x x -≠≠，，31log 0x -≥，3log 1x ≤，解得03x <≤综上所述，函数y =()(]0113⋃，， 点睛：在求定义域时找出题目中的限制条件，有分母的令分母不等于零，有根号的令根号里面大于或者等于零，对数有自身的限制条件，然后列出不等式求出定义域。

嘉兴市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．2．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应 A ．从东边上山 B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山【答案】D 【解析】从东边上山共21020⨯=种;从西边上山共3927⨯=种;从南边上山共3927⨯=种;从北边上山共4832⨯=种;所以应从北边上山.故选D.3．定义在上的函数满足,,且时,,则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由于，因此函数为奇函数，，故函数的周期为4，，即，，，故答案为C考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算 4．复数4212ii+-+的虚部为（）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--， 所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（ ） A ．24种 B ．16种 C ．12种 D ．10种【答案】C 【解析】 【分析】根据每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口， 利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口， 故该十字路口行车路线共有3412⨯=（种） 故选：C 【点睛】本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23xf x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．)2,0e ⎡-⎣ B ．(],0e - C ．[),0e - D ．(2,0e ⎤-⎦【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数等式结合条件()01f =求出函数()y f x =的解析式，由()0f x m -<，得()m f x >，转化为函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数m 的取值范围. 【详解】 由等式()()()23xf x ex f x -'=+-，可得()()()23x f x f x e x -'+=+，即()()23x e f x f x x ⎡⎤+=+⎣⎦'，即()()2233x e f x x x x C ''⎡⎤=+=++⎣⎦（C 为常数）， ()23xe f x x x C ∴=++，则()23xx x C f x e++=，()01f C ∴==， 因此，()231x x x f x e ++=，()()()2223312x xx x x x x f x e e +-+++-=-'=， 令()0f x '=，得2x =-或1x =，列表如下：x(),2-∞-2-()2,1-1()1,+∞()f x '-+-()f x极小值极大值函数()y f x =的极小值为()22f e -=-，极大值为()1f e=，且()1f e -=-， 作出图象如下图所示，由图象可知，当0x >时，()0f x >.另一方面()01f =，()33f e -=，则()()03f f <-，由于函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为2-、1-，则有()10m f m ⎧>-⎨≤⎩，解得0e m -<≤，因此，实数m 的取值范围是(],0e -，故选B. 【点睛】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题．7．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如表：为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y 与售价x 之间的线性回归方程y 1.4x a =-+，那么方程中的a 值为( ) A ．17 B ．17.5C ．18D ．18.5【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a 的值． 【详解】 由题意，()1x 4 4.5 5.5654=+++=，()1y 121110910.54=+++=， 线性回归方程y 1.4x a =-+，()10.5 1.45a ∴=-⨯+，a 17.5∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．8．椭圆2214x y +=的长轴长为（ ）A ．1B ．2C ．D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程得出2a =即可 【详解】由2214x y +=可得24a =，即2a =所以长轴长为24a = 故选：D 【点睛】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长，较简单9．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A ，编号落在[]201,560的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为( ) A ．10 B ．12C ．18D ．28【答案】B 【解析】8004020÷=，∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项，以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为()18201202n a n n =+-=-，落入区间[]561,800的人做问卷C ，由561202800n ≤-≤，即56320802n ≤≤，解得3128402010n ≤≤，再由n 为正整数可得2940n ≤≤，∴做问卷C 的人数为4029112-+=，故选B.10．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --= D ．430x y ++=【答案】A【解析】 【分析】通过类比的方法得到直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-，代入数据得到答案.【详解】0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得双曲线的0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-代入数据()1,1P ，得到：1143044x y x y -=-⇒-+= 故答案选A 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.11．在“石头、剪刀、布”游戏中，规定“石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头”，现有小明、小泽两位同学玩这个游戏，共玩n 局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为ξ，且10()9D ξ=，则()E ξ=（ ） A ．1 B ．43C ．53D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为13，且1,3B n ξ⎛⎫⎪⎝⎭，先由1210()339D n ξ=⨯⨯=求出n ，然后即可算出()E ξ 【详解】由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为13，且1,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为1210()339D n ξ=⨯⨯=，所以5n = 所以15()533E ξ=⨯=故选：C 【点睛】本题考查的是二项分布的知识，若(),B n p ξ，则()E np ξ=，()()1D np p ξ=-.12．已知函数（），若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为A ．[）B ．[）C ．[）D ．[）【答案】D 【解析】 【分析】设g （x ）=e x （3x ﹣1），h （x ）=ax ﹣a ，对g （x ）求导，将问题转化为存在2个整数x i 使得g （x i ）在直线h （x ）=ax ﹣a 的下方，求导数可得函数的极值，解g （﹣1）﹣h （﹣1）＜0，g （﹣2）﹣h （﹣2）≥0，求得a 的取值范围． 【详解】设g （x ）=e x （3x ﹣1），h （x ）=ax ﹣a ， 则g′（x ）=e x （3x+2），∴x ∈（﹣∞，﹣），g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，x ∈（﹣，+∞），g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，∴x=﹣，取最小值，∴g （0）=﹣1＜﹣a=h （0）， g （1）﹣h （1）=2e ＞0，直线h （x ）=ax ﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a ， ∴g （﹣1）﹣h （﹣1）=﹣4e ﹣1+2a ＜0， ∴a ＜，g （﹣2）=﹣，h （﹣2）=﹣3a ，由g （﹣2）﹣h （﹣2）≥0，解得：a≥，故答案为[）.故选D. 【点睛】本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数． 二、填空题：本题共4小题 13．命题“0x ∀>，210x ”的否定为______.【答案】0x ∃>，210x +≤ 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】 解：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“0x ∀>，210x ”的否定为：“0x ∃>，210x +≤”故答案为：0x ∃>，210x +≤ 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题． 14．若()f x 是定义在()(),00,D =-∞+∞上的可导函数，且()()'xf x f x >，对x D ∈恒成立．当0b a <<时，有如下结论：①()()bf a af b >，②()()bf a af b <，③()()af a bf b >，④()()af a bf b <， 其中一定成立的是____． 【答案】① 【解析】 【分析】构造函数，并且由其导函数的正负判断函数的单调性即可得解. 【详解】由()()'xf x f x >得()()'0,xf x f x ->即()()2'0,xf x f x x ->所以()'0,f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以()f x x在(),0-∞和()0,∞+单调递增，因为0b a <<，所以()(),f a f b a b>因为0,ab >所以在不等式两边同时乘以ab ， 得①正确，②、③、④错误. 【点睛】本题考查构造函数、由导函数的正负判断函数的单调性，属于难度题.15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积不可能等于36； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .【答案】①②④ 【解析】 【分析】 逐项分析. 【详解】 ①如图当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A MNO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOBC C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确； ③如图作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：1263A M ==，根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形，则122162322326A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误； ④如图设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M a S S a ∆==⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-===，当12S S 时，解得：13a =，故正确. 故填：①②④. 【点睛】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为λ，然后统一未知数λ去分析问题.16．已知函数2ln(),0(),0x xx x f x e e a x --<⎧=⎨+-≥⎩，若()f x 的所有零点之和为1，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】221],(e e + 【解析】 【分析】先根据分段函数的形式确定出0x <时()f x 的零点为01x =-，再根据0x >时函数解析式的特点和导数的符号确定出()f x 图象的“局部对称性”以及单调性，结合()f x 所有零点的和为1可得()()00,10f f ≥<，从而得到参数a 的取值范围.【详解】当0x <时，易得()f x 的零点为01x =-， 当0x ≥时，()2xxf x e ea -=+-，∵当[]0,2x ∈时，()()2f x f x =-，∴()f x 的图象在[]0,2上关于直线1x =对称. 又22()x xe ef x e-'=，当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增，当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减，且()201f e a =+-，()12f e a =-.因为()f x 的所有零点之和为1，故()f x 在[)0,+∞内有两个不同的零点，且()()0010f f ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，解得221e a e <≤+.故实数a 的取值范围为221],(e e +． 故答案为：221],(e e +． 【点睛】本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，应根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号，本题属于较难题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

浙江省嘉兴市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知双曲线2212x y m -=的离心率为2，则m=A ．4B ．2C ．2D ．12．三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，243AC BC ==，O 为AC 的中点,CD BO ⊥分别交BO ，AB 于点R 、D ，且DPR CPR ∠=∠，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A ．62B ．33C ．56D ．2153．设，随机变量X ，Y 的分布列分别为（ ）当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A ．2B ．C ．D ．4．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8B ．6C ．14D ．485．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．2eB ．2eC ．2e D ．1e6．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设随机变量X~N （0，1），已知( 1.96)0.025P X <-=，则( 1.96)P X <=（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9758．设曲线ln 1xy x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．-2D ．29．正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC 外接圆半径为263，则该正方体外接球的表面积为( ) A ．2πB ．8πC ．12πD ．16π10．如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且AM=AD=1, AB=3，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A 3B 6C 2D 311．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3B ．4C ．92D ．11212．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．,,a b c 中至少有两个偶数 B ．,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．,,a b c 都是奇数D ．,,a b c 都是偶数二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．用“五点法”画函数()2sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的简图时，五个关键点是,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω=_______.15．已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是2y x =+，则()()11f f +'=_________. 16．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知集合{}61,01A y y x x ==-≤≤，{}220B x x x m =--<． (Ⅰ)当3m =时，求A∩(∁R B)；(Ⅱ)当{}25A B x x ⋃=-<≤时，求实数m 的值． 18．设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围．19．（6分）已知函数()xf x xe =，e 为自然对数的底数.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间与极值. 20．（6分）已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线12y x =． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．21．（6分）如图所示，四边形ABCD 为菱形，且120ABC ∠=︒，2AB =，//BE DF ，且3BE DF ==，DF ⊥平面ABCD .（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求平面AEF 与平面ABE 所成锐二面角的正弦值.22．（8分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯（1）当1r =，32CD =时，求梯形ABCD 的周长(精确到0.001)； （2）记2CD x =，求面积S 以x 为自变量的函数解析式()S f x =，并写出其定义域.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】根据离心率公式计算． 【详解】 由题意2c m =+，∴22c m e a m+===2m =． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定,a b ． 2．B 【解析】 【分析】由已知可知43AC =BOC ∆是正三角形，从而30BCR ∠=，3,4CR CD ==，进而1DR =，PR 是DPC ∠的平分线，13DP DR PC RC ==，由此能求出三棱锥P ABC -体积的最大值. 【详解】由题意得43AC =23OC OB BC ===，30BCR ∴∠=，332CR BC ==，243CD BC ==, 1DR ∴=，DPR CPR ∠=∠，∴PR 是DPC ∠的平分线，∴13DP DR PC RC ==， 以D 为原点，建立平面直角坐标系，如图：设(),P x y ，则()2222134x y x y+=-+， 整理得225924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，max 32y ∴=，因此三棱锥P ABC -体积的最大值为max max 1131623333322ABC V y S ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出的最小值，并求出相应的，最后利用数学期望公式得出的值。

2019-2020学年嘉兴市名校数学高二(下)期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.【详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A ，y ax =过坐标原点，则0a <，直线y x a =+在y 轴的截距应该小于零，题中图像符合题意； 对于选项C ，y ax =过坐标原点，则0a >，直线y x a =+在y 轴的截距应该大于零，题中图像不合题意； y ax =过坐标原点，直线y x a =+的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意；本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．i 是虚数单位，则12i i -的虚部是（ ） A ．-2B ．-1C ．i -D ．2i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】 由题意得221222i i i i i i--==--，所以复数12i i-的虚部是1-． 故选B ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．0x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义或性质求出a ，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程【详解】∵()f x 是奇函数，∴22()cos()(1)()cos (1)f x x x a x x x a x -=--+--=-+-2cos (1)x x a x =---，∴2(1)0a x -=，1a =， ()cos f x x x =是奇函数，'()cos sin f x x x x =-，'(0)1f =，(0)0f =，切线方程为y x =，即0x y -=．故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般．4．设复数1=-i z i ，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．12B ．2C ．1D ．2【答案】A【解析】【分析】 先对1=-i z i 进行化简，然后得出z ，即可算出z z ⋅ 【详解】()()()1111122i i i i z i i i +===-+--+所以122i z =--，所以111112222442i i z z ⎛⎫⎛⎫-+--=+= ⎪⎭⎭=⎝⎝⋅⎪ 故选：A【点睛】 本题考查的是复数的运算，较简单.5．设P 是曲线21ln 2y x x x =--上的一个动点，记此曲线在点P 点处的切线的倾斜角为θ，则θ可能是（ ）A ．6πB ．34πC ．56πD ．4π 【答案】B【解析】分析：求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解． 详解：由21ln 2y x x x =--，得110y x x x'=--（＞），111111x x x x --=-+≤--Q （）， 当且仅当1x = 时上式“=”成立．1y ∴'≤- ，即曲线在点P 点处的切线的斜率小于等于-1．则1tan θ≤- ，又[0θπ∈，） ，3]24ππθ∴∈（，． 故选：B ．点睛：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．6．抛物线24y x =的焦点为F ，点(5,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为A ．6B ．8C ．11D ．13 【答案】C【解析】【分析】【详解】求△MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|=22 (51)(30)-+-=5，∴△MAF周长的最小值为11，故答案为：C．7．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【答案】C【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与x轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与x有四个交点，其中两个极大值，两极小值.考点：函数的极值.8．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（）A．512B．58C．35D．12【答案】A【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得26291553612CPC===.故答案为A点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2)条件概率一般有“在A已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.9．在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是1．这两个班参赛的学生人数是（ ）A ．80B ．90C ．100D ．120【答案】C【解析】【分析】 根据条件可求第二组的频率，根据第二组的频数即可计算两个班的学生人数.【详解】第二小组的频率是：10.300.150.100.050.40----=，则两个班人数为：401000.04=人. 【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率、频数与总数的关系，难度较易.10．若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()f x f x '>成立，则（ ）A ．3(5)5(3)f ln f ln >B ．3(5)5(3)f ln f ln =C ．3(5)5(3)f ln f ln <D ．3(5)f ln 与5(3)f ln 的大小不确定【答案】A【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e =，利用导数可判断g （x ）的单调性，由单调性可得g （ln3）与g （ln5）的大小关系，整理即可得到答案．【详解】解：令()()x f x g x e =，则()()()x f x f x g x e -=''，因为对任意x R ∈都有()()f x f x '>，所以()'0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln3<ln5，所以()()ln3ln5g g <， 即()()ln3ln535f f <， 即()()5ln33ln5f f <，故选：A ．【点睛】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，属中档题.11．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( ) A ．35CB ．35AC ．35D ．53 【答案】D【解析】由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得：不同的报名方法的种数是53.本题选择D 选项.12．已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．2a b …B ．2a b <C ．2b a „D ．2b a > 【答案】A【解析】试题分析：不等式()1f x a -<的解集为(1,1)22a a ---+，不等式1x b +<的解集为，根据题意可知(1,1)22a a ---+是的子集，所以有2a b ≥，故选A ． 考点：绝对值不等式，充要条件的判断．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 .【答案】【解析】∵所有事件发生的概率之和为1，即P （ξ=0）+P （ξ=1）+P （ξ=2）+P （ξ=3）=1，∴，∴c=，∴ P （ξ=k ）=，∴P （ξ=2）=．故答案为．14．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的实部为____．【答案】3-；【解析】【分析】对复数z 进行四运算，化简成34i z =--，求得z 的实部.【详解】因为2(12i)14i 434i z =-=--=--，所以z 的实部为3-.【点睛】本题考查复数的四则运算及实部概念.15．在等差数列{}n a 中,1516a a +=,则5S =________【答案】40【解析】【分析】根据前n 项和公式，结合已知条件列式求得5S 的值.【详解】 依题意155********a a S +=⨯=⨯=. 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.16．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是. 考点：等可能事件的概率.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.（I ）求实数a 的值；（Ⅱ）在[)45,50，[)50,55，[)55,60三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析.（i ）求每组恰好各被选出1人的概率；（ii ）设ξ为选出的3人中[)45,50这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）0.036a =（Ⅱ）（ⅰ）310（ⅱ）见解析 【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中，各个小矩形面积和等于1，求出0.036a =；（2）由频率分布直方图得三组中人数的比例为4:3:3，所以抽取的10人，在每组中各占4人、3人、3人；随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.【详解】解（Ⅰ）由题意，得()0.0240.0420.03251a ++⨯+⨯⨯=，解得0.036a =.（Ⅱ）按照分层抽样，[)45,50，[)50,55，[)55,60三组抽取人数分别为4，3，3.（ⅰ）每组恰好各被选出1人的概率为111433310310C C C C =. （ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3.()0346310106C C P C ξ===，()1246310112C C P C ξ===， ()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===，则ξ的分布列为 ξ 0 12 3 P 1612 310 130 ()123210305E ξ=⨯+⨯+⨯= 【点睛】统计与概率试题，往往是先考统计，后考概率，要求从图表中提取有用信息，并对数据进行处理，为解决概率问题铺垫.18．在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点.(1)求证: BE ⊥平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（210 【解析】【分析】(1) 连接BD ，根据几何关系得到PE AD ⊥, 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，进而得到PE BE ⊥,再由三角形ABE 的角度及边长关系得到BE AD ⊥，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面PAB 的法向量为n v ，面PBC 的一个法向量为m v ，根据向量夹角运算可得结果【详解】（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，60A o ∠=，所以BE AD ⊥，从而BE ⊥平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(3P ，()()()1,0,0,3,0,3,0A B C -，有((1,0,3,3,3PA PB =-=-u u u v u u u v ，(3,3PC =--u u u v ，令平面PAB 的法向量为n v ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，可得一个)3,1,1n =v ，同理可得平面PBC 的一个法向量为()0,1,1m =v ，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为105m n m n ⋅=v v v v . 【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.19．已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=;（Ⅱ）3. 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点，所以1c =，又23b =，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=. （Ⅱ）当直线无斜率时,此时31,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,. 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，直线与椭圆方程联立得，消掉得，显然，方程有根，且此时()212122234kk x x k k =-+=+.上式，（时等号成立），所以12||S S -的最大值为.20．已知平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，2AD =，2AB =，F 是BC 边上的点，且2BF FC =u u u v u u u v，若AF 与BD 交于E 点，建立如图所示的直角坐标系.（1）求F 点的坐标；（2）求AF EC ⋅u u u v u u u v .【答案】（1）82(,)33F ；（2）6215. 【解析】【分析】 （1）根据题意写出各点坐标，利用2BF FC =u u u r u u u r求得点F 的坐标。

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A ．0.2B ．0.8C ．0.196D ．0.8042．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．453．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ） A ．18B ．916C ．4π D ．15164．若函数f(x)＝(a ＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤ B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1,1a b >>是1ab >的充分条件6．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A ．72B ．120C ．144D ．1687．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（ ）A ．36B ．40C ．42D ．488．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．1D 210．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB =，13AA =，点F 在1CC 上，且1113C F CC =，则异面直线11B C 与AF 所成角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．120︒11．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,e C ．(),3eD ．()3,+∞12．若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题 13．将圆心角为23π，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于_________. 14．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．15．在[]1,1-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为__________．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。