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高中数学第五章概率教案教学目标：1. 了解概率的基本概念和定义，掌握概率计算的方法。
2. 能够在实际问题中运用概率知识解决问题。
3. 能够通过实验来验证概率的计算结果。
教学内容：1. 概率的基本概念和定义2. 概率计算的方法3. 事件的互斥与独立4. 事件的排列组合5. 概率的实际应用教学重点：1. 概率的基本概念和定义2. 概率计算的方法教学难点：1. 事件的互斥与独立2. 事件的排列组合教学准备：1. 教学课件2. 教学实验器材3. 习题集教学步骤：一、引入概率的概念（10分钟）通过一个简单的实例引导学生了解概率的概念，并引出概率的定义。
二、概率的计算方法（20分钟）1. 讲解概率计算的基本方法2. 给学生演示概率计算的步骤3. 练习相关计算题目三、事件的互斥与独立（15分钟）1. 解释事件互斥和独立的概念2. 给学生举例说明互斥和独立事件的计算方法四、事件的排列组合（20分钟）1. 介绍排列组合的概念2. 解释有放回、无放回抽样的排列组合计算方法五、概率的实际应用（15分钟）通过实际问题的练习，让学生运用概率知识解决问题，加深对概率的理解。
六、总结与展望（10分钟）对概率的学习进行总结，展望下一节课内容。
教学评估：1. 教师课堂表现评价2. 学生练习题表现评价3. 学生实验结果报告评价拓展延伸：1. 给学生布置概率实验项目，让学生通过实验来验证概率的计算结果。
2. 鼓励学生参加数学建模比赛，应用概率知识解决实际问题。
新教材人教B版2019版数学必修第二册第五章知识点清单目录第五章统计与概率5. 1统计5. 1. 1 数据的收集5. 1. 2 数据的数字特征5. 1. 3 数据的直观表示5. 1. 4用样本估计总体5. 2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟5. 3概率5. 3. 1样本空间与事件5. 3. 2事件之间的关系与运算5. 3. 3古典概型5. 3. 4频率与概率5. 3. 5随机事件的独立性5. 4统计与概率的应用5. 1统计5. 1. 1 数据的收集一、普查(全面调查)与抽样调查1. 统计的相关概念2. 普查(全面调查)与抽样调查二、简单随机抽样1. 简单随机抽样的定义一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体. 当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.2. 常见的简单随机抽样方法(1)抽签法用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤：①将总体中的N(N为正整数)个个体依次编号；②把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签③将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌；④从盒中随机抽取k个号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本.(2)随机数表法①将总体中的N(N为正整数)个个体依次编号(所有个体编号的位数要一致)；②在随机数表中任意指定一个开始选取的位置；③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则剔除，如此继续下去，直到产生的不同编号个数等于样本所需的个体数.三、分层抽样1. 分层抽样的定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).2. 分层抽样的步骤(1)分层：按某种特征将总体分成若干层；(2)计算抽样比：抽样比=样本容量；总体中的个体数(3)定数：按抽样比确定每层应抽取的个体数；(4)抽样：各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；(5)成样：综合各层抽取的样本，组成最终的样本.四、抽样方法的选取1. 简单随机抽样与分层抽样的比较2. 抽样方法的选取(1)看总体是否由差异明显的几个部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样.(2)看总体容量和样本容量的大小，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大时，采用随机数表法.5. 1. 2 数据的数字特征一、数据的数字特征1. 最值：一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. 一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示.2. 平均数(1)如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x =1n (x 1+x 2+…+x n )，简记为x =1n∑x i n i=1(2)求和符号∑的性质：①∑ n i=1(x i +y i )= ∑ n i=1x i +∑ ni=1y i ； ②∑ n i=1(kx i )=k ∑x i ni=1③∑ n i=1t=nt.(3)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的平均数为a x +b.3. 中位数：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n+1，则称x n+1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n +x n+12为这组数的中位数.4. 百分位数(1)一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100-p)%的数据不小于该值.(2)求p%分位数的步骤：①将数据按照从小到大排列(假设排列后的数据为x 1，x 2，…，x n )； ②计算i=np%的值；③如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取x i 0为p%分位数；如果i 是整数，取x i +x i+12为p%分位数.规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是x n(即最大值).(3)常用的百分位数：25%分位数(第一四分位数)，50%分位数(中位数)，75%分位数(第三四分位数).5. 众数：一组数据中，出现次数最多的数据.6. 极差：一组数的最大值减去最小值所得的差.7. 方差与标准差∑n i=1(x i-x)2. 方差的算术平方根(1)如果x1，x2，…，x n的平均数为x，则方差为s2=1n称为标准差.(2)若x1，x2，…，x n的方差为s2，则ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2，x1+a，x2+a，…, x n+a的方差为s2.二、对数据的数字特征的理解5. 1. 3 数据的直观表示一、柱形图(条形图)、折线图与扇形图二、茎叶图1. 一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列. 若数据是两位数，则茎上的数字表示十位上的数字，叶上的数字表示个位上的数字. 茎叶图也可以只表示一组数.2. 用茎叶图表示数据的优缺点(1)优点：①从茎叶图上可以看出所有的原始数据及数据的分布情况；②茎叶图可以在收集完数据后描述，也可以在收集数据的过程中描述，即一边收集数据，一边记录.(2)缺点：①茎叶图只便于表示比较集中的数据；②茎叶图只方便比较两组数据.三、频数分布直方图与频率分布直方图1. 绘制频数分布直方图、频率分布直方图的步骤(1)找出最值，计算极差.(2)合理分组，确定区间(组距)：①若极差组距为整数，则极差组距=组数；②若极差组距不为整数，则[极差组距]+1=组数([x]表示不大于x的最大整数).(3)整理数据(可以将频数与频率列表).(4)作出有关图示：①频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；②频率分布直方图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1.2. 频数分布折线图与频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中的每个矩形上面一边的中点用线段连接起来得到的折线图即对应为频数分布折线图和频率分布折线图. 为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.四、频率分布直方图1. 频率分布直方图的特征(1)频率分布直方图的形状与组数(组距)有关. 组数(组距)的变化会引起频率分布直方图的结构变化.(2)频率分布直方图由样本决定，因此它会随着样本的改变而改变.(3)若固定分组数，则随着样本容量的增加，频率分布直方图中的各个矩形的高度会趋于特定的值.(4)频率分布直方图能够直观地表明数据分布的情况，一般呈中间高、两端低的“峰”状结构. 但是从直方图本身得不到具体的数据内容.2. 与频率分布直方图有关的结论(1)小矩形的面积=组距×频率组距=频率；(2)所有小矩形的面积之和等于1；(3)频数样本容量=频率，此关系式的变形为频数频率=样本容量，样本容量×频率=频数.5. 1. 4用样本估计总体一、用样本估计总体1. 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征(分布)能够反映总体的特征(分布). 特别地，样本平均数(也称为样本均值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.2. 分层抽样中的平均数与方差假设样本是用分层抽样的方法得到的，且是分两层抽样. 第一层有m个数，分别为x1，x2，…，x m，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，y n，平均数为y，方差为t2，则1m =∑x imi=1，s2=1m∑m i=1(x i-x)2，y=1n∑y ini=1，t2=1n∑n i=1(y i-y)2.如果记样本均值为a，样本方差为b2，a=1m+n ∑x imi=1+∑y ini=1=mx+nym+n，b2=m[s2+(x−a)2]+n[t2+(y−a)2]m+n =1m+n[(ms2+nt2)+1m+n(x−y)2]二、用样本估计总体1. 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)众数：最高小矩形底边中点的横坐标；(2)中位数：把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分，分界线与横轴交点的横坐标；(3)平均数：每个小矩形的面积乘对应小矩形底边中点的横坐标之和.5. 2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟5. 3概率5. 3. 1样本空间与事件一、随机现象与必然现象1. 一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象)，发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象).二、样本点和样本空间1. 随机试验(1)在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).(2)随机试验满足下述条件：①在相同的条件下能够重复进行；②所有结果是明确可知的，且不止一种；③每次试验总会出现这些结果中的一种，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪一种结果.2. 样本点和样本空间把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).三、随机事件件称为基本事件.四、随机事件发生的概率五、样本点的确定1. 确定样本点的方法(1)列举法：把所有样本点一一列举出来，适用于样本点较少的试验. 列举时要按照一定的顺序，做到不重不漏.(2)列表法：将样本点用表格的形式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数以及相应的事件所包含的样本点数. 此方法适用于互不影响的两步试验问题.(3)画树形图法：此方法是用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，画树形图法便于分析较复杂的多步试验问题.5. 3. 2事件之间的关系与运算一、事件的包含与相等定义符号表示图示包含关系如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)A⊆B(或B⊇A)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”A=B 二、事件的运算定义符号表示图示事件的和(或并) 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)A+B(或A∪B)事件的积(或交) 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB(或A∩B) 三、互斥事件与对立事件定义符号表示图示互斥事件给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB=⌀(或A∩B=⌀) 对立事件给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件A 2. (1)互斥事件的概率加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A，B互斥)，P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)(A1，A2，…，A n两两互斥).(2)对立事件的概率：P(A)=1-P(A).四、事件的混合运算同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，例如(A B)+(A B)可简写为A B+A B.五、对互斥事件与对立事件的理解与判断1. 从事件发生的角度(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也有可能只有一个发生，但不可能同时发生；(2)在一次试验中，两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生.两事件对立，则它们必定互斥，但两事件互斥，它们未必对立. 对立事件是互斥事件的一个特例.2. 从事件个数的角度互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.5. 3. 3古典概型一、古典概型1. 古典概型的定义如果一个随机试验满足：(1)样本空间Ω只含有有限个样本点；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.2. 古典概型的概率公式古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，事件C包含其中的m个样本点，.则P(C)=mn二、求古典概型的概率1. 求古典概型概率的关键是列举出试验的样本空间和所求事件所包含的样本点，列样本点的方法有列举法、列表法和画树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.2. 解决古典概型概率问题的步骤(1)求出样本空间包含的样本点个数n；(2)求出事件A包含的样本点个数k；.(3)求出事件A的概率P(A)=kn5. 3. 4频率与概率一、用频率估计概率，则当n很大时，一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn. 不难看出，此时也有0≤P(A)≤1，这可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为mn种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.二、对频率与概率的理解1. 任何事件的概率都是[0，1]之间的一个确定的数，是客观存在的，与每次试验的结果无关，它度量该事件发生的可能性大小.2. 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率可能不同.3. 频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率. 在实际问题中，事件的概率通常是未知的，常用频率作为它的估计值5. 3. 5随机事件的独立性一、随机事件的独立性1. 事件相互独立的定义一般地，当P(AB)=P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立). 事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.2. 事件相互独立的性质(1)如果事件A与B相互独立，则A与B，A与B， A与B也相互独立.(2)如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩A n)=P(A1)P(A2)…P(A n). 并且此式中任意多个事件A i换成其对立事件A i后等式仍成立.二、事件独立性的判断1. 判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.(2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.(3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B，A与B，A 与B，是否具有独立性.5. 4统计与概率的应用一、统计与概率的应用1. 在实际生产与生活中，统计与概率有着非常重要的作用. 在实际问题中，通常会给出统计图表或数据信息，要求我们根据统计与概率知识解决问题或者进行决策. 我们要分析给出的统计图表或数据信息的特点，利用提取到的有效信息确定适用的统计与概率的模型解决问题. 熟练地运用统计与概率的知识，可以对相关数据进行分析、处理、预测等操作.。
第五章概率与概率分布学习要点第一节概率的基本概念第二节随机变量及其概率分布第三节相对差异量表第四节SPSS实验——标准分数本章小结学习要点1．熟练掌握百分等级与标准分数的意义及分析方法2．应用百分等级与标准分数解释实际问题3．了解分数的意义及其他的相对指标在实际工作中的应用第一节概率的基本概念在语言实验研究中，我们通常选取研究对象的一部分（即样本）加以研究，在此基础上，通过推断统计对所有的研究对象（即总体）的情况作出推断。
在进行这种推断时，我们不仅要指出总休可能是什么情况，而且还要指出我们进行这种推断的把握程度有多大，或者总体出现这种情况的可能性有多大，这个“可能性” 就是概率。
因此，要学好推断统计，就要对概率这一概念有所了解。
后验概率（或统计概率）是指通过实际观测，根据在总观测次数中某事件所出现的次数来计算该事件出现的概率，这种概率其实是一个相对频率，是实际概率的估计值。
一般用A代表随机事件（例如“全体学生中的男生” ），用P代表频率（概率估计值），或用n表示观测的次数，用m表示事件出现的次数原始分数，又称观测分数，它是观测所得的、未经任何加工的分数。
在生活中人们时常用这种分数来评价他人，却不知由于原始分数本身的固有的缺陷造成使用和评价上的失误。
原始分析的缺陷主要表现在三个方面。
一、原始分数无明确的意义在考试或测验中，人们习惯用“分”作为分数的单位，然而“1分”究竟表示什么？其价值是多少？这在传统考试中并无科学的界定，就是说在传统的考试中对“分”的概念并无严格的定义。
二、原始分数的单位不等值由于原始分数缺乏明确的定义，造成其单位的不等值。
众所周知，相同的单位在人们的心目中都有相等的价值。
譬如1公斤，在每个人心目中的认识都是一样的。
不过，在传统的考试中却并非如此，譬如语文考试中的“1分”与数学考试中的“1分”就不见得等值。
同是语文测验，不同的阅卷者因评分的宽严不一致，嗜好不同，看问题的角度不同等等，所给出的“1分”也不尽相同。
因此，某考生语文得80分，数学也得80分，我们并不能确定该生的语文学习水平和数学学习水平相同。
有人在某次全国统一高考的语文试卷中随机抽取了一名考生的作文，连同教育部规定的评分标准，分别请中学语文教师评阅，在67位评阅者中，给分最高的是25分，给分最低的是6分。
可见，在这些人的以上中，“分”的价值是不同的。
所以说，原始分数的“1分”实际上是不等值的。
三、原始分数不具可比性由于原始分数缺乏明确的定义，单位不等值，因此也就不具有可比性。
绝对数或绝对统计量不能说明其在整个观测中的相对地位，最多只能表示观测值的高低或大小，却不能说明它在团体中的地位情况。
而等级顺序只能表示一个分数的高低次序，不也不能表示它在团体中的地位，更不能与其他团体的分数或等级进行比较。
这是因为它们的比较尺度不一样。
因此，对分数意义的无知，往往会错怪一个人，甚至还会酿成大错。
如青海一九岁学生的母亲，见孩子的两门功课都在90分以下，便认为成绩差了，一气之下，竟将孩子打死。
事实上，该生的一门功课名列全班第一，另一门名列第二。
又如某生名列第15名，是难以评价其成绩是优、良，还是中、差的，因这与他所处团体的人数多少有直接关系。
四、四、原始分数没有可加性众所周知，80米是不能与80尺直接相加来计算长度，因为两者的单位不等值。
同样，观测所得的原始分数因其单位不等值，也是不能直接相加的。
然而，在传统成绩评价中，人们不仅把内容、题量、难度等各不相同，而且各科满分值也不尽相同的试卷得分直接相加以来求总成绩，这无异于把不同测量单位的事物相加的做法。
由此可见，将各学科分数直接相加计算总分的方法是很不科学的。
此外，当测量单位不同或均数相差悬殊时，绝对数或绝对统计量也是无法直接进行对比。
譬如，比较一个人身高和体重，或是田赛与径赛成绩时，因其测量单位不同是无法比较的。
若要进行这类比较分析，必须将绝对数或绝对统计量进行转换，使其变换成为一种可比较的相对量数。
相对量数包括相对地位量数和相对差异量数。
前者用于说明一个绝对数在某一团体中所处的相对位置的高低，后者则用于比较各列数据分布的差异程度的大小。
第二节随机变量及其概率分布随机变量是指在实验中受随机（或偶然）因素的影响，其取值无法进行准确预测的变量。
譬如，我们要随机选取一些学生，来调查其家庭的人口数，“人口数” 是一个随机变量，因为它可以取这一个值，也可以取那一个值，究竟取哪一个值完全是偶然的，无法碗切地预测，这要等到实验（实际抽取）之后才能得知。
我们可以用某种方法对随机变量可取数值的概率分布进行描述，这就是随机变量的概率分布。
相对地位量数是就某一特质来描述个体在团体中所占的地位的量数。
这里所指的相对地位是指与某一参照点比较起来，这一个体是占在什么地位，是在此参照点以上多少，或是在此参照点以下多少。
常用的相对地位量数的主要是百分等级和标准分数。
一、百分等级（P R）（一）百分等级的定义如前所述，当一个体的等级为15时，我们无法评价其在团体中位置高低。
因为这与团体的人数有密切关系。
若该团体只有20人，他的成绩属中下水平；若该团体有30人，他的成绩属中等水平，若该团体有200人，他的成绩则属优秀水平。
可见，普通的等级顺序是难以看出成绩优劣的。
百分等级不同，它能表示一个学生的成绩在他所属的团体中的相对地位。
百分等级（percentile rank ）是指把一组观测值先按高低次序排列起来，然后计算出某个个体的分数在百分位上超出多少人，或是在此分数下占多少百分比的一种量数，用符号R P 表示。
百分等级是将全体人数作为100来计算的，以确定每一个个体分数在这100中的位置如何。
譬如，某一个体的百分等级为70，则表明该生的成绩超过他所在团体70%的人，就是说比他差的人有70%，比他好的只有30%。
百分等级越大，所代表的等级越高，反之则越低。
（二）百分等级的计算计算百分等级实际上就是求某一数（即低于给定数的分数的次数）对另一数（即总次数）的百分数，其计算方法有原始量数法和次数分布法。
1．原量数法原量数法是直接求利用原始数据进行计算的方法，其公式为N R P R 50100100--=式中，R 表示某一原始分数在按大小排列的数列中的顺序或名次，N 表示分数的总次数。
假设某团体有5个人，依次排序（R ）为1，2，3，4，5。
试问每个人的百分等级是多少呢？公式的形成过程如下。
首先，确定每一个体在100中所占的分数。
以全体人数（或分数的个数）除以100，即有N 100，表示在百分量表上每个人应占的分数。
本例每一个体在该团体所占的分数为205100=。
如图5-1所示，第1名占坐标上的0～20，第2名占坐标上的20～40，……，第5名占坐标上的80～100。
其次，确定第R 名个体的百分等级。
如第1名占第一个N 100，即为1100⨯N ，第2名占第二个N 100，即为2100⨯N ；……；第R 名占第R 个N 100，即有RN 100。
本例中，第1名的百分等级为2015100=⨯，第2名的百分等级为4025100=⨯，……，第5名的百分等级为10055100=⨯。
第三节 相对差异量表作为差异量数重要指标的标准差，在进行差异程度比较时的最大缺陷就是受测量的单位的限制。
典型的事例是一组物体重量的标准差为8克，长度的标准差是8厘米，虽然两个数值相等，却无法反映这些物体的重量和长度谁的差异大一些或小一些。
在这种情况下，我们需要一种具有共同单位的相对差异量数来表达。
一、相对差异量的定义与公式相对差异量数是指差异量数与集中量数的百分比，又称作差异系数（Coefficient of Variation ），用符号CV 表示。
各种差异量，都可以用此公式求其相对差异系数，如平均差差异系数等。
其中，最常用的是标准差系数，它是标准差与平均数的百分比值，用符号S CV 表示，其公式为%100⨯=X SCV S二、标准差系数的应用标准差系数不仅可以用于比较单位不同数据的差异程度，而且还可以用于比较单位相同平均数相差较大数据的差异程度等。
标准差系数在教育与心理研究中的应用主要有以下三个方面。
1． 1． 比较测量单位不同事物的差异程度例5-：某幼儿园大班儿童的平均体重为22公斤，标准差为3.7；平均身高为108厘米，标准差6.2厘米。
试问该班幼儿身高和体重哪方面的差异程度大一些？%82.16%100227.3=⨯=身高S CV%37.5%1001088.5=⨯=体重S CV结果表明，该班幼儿身高方面的差异程度远远大于体重，就是说该班幼儿在体重方面的分布比较均匀或整齐，在身高方面的分布则不太均匀或整齐，即幼儿高矮差距较大。
2．比较测量单位相同，均数相差悬殊数据的差异程度正如第四章例4-1所述，当测量单位相同时，比较多列数据差异程度的大小前提是其平均数相等或相近，若平均数相关较大则无法直接比较，这是因为标准差大小受平均数大小的影响。
例5-：初一甲、乙两班的学生在一次数学测验后，算得甲班平均成绩92分，标准差8.95；乙班平均成绩71分，标准差7.40分。
试问两个班谁的数学成绩更整齐一些？%73.9%1009295.8=⨯=甲S CV%42.10%1007140.7=⨯=乙S CV结果表明，甲班数学成绩的差异程度小于乙班，其成绩比乙班整齐一些。
若从直接标准差来看，似乎甲班的差异程度大于乙班。
之所以两种分析结果不同，是因为两班的平均成绩差距太大，有21分之差。
标准差系数是由标准差和平均数构成的一种比数，因此，它既受标准差的影响，又受平均数的影响。
在用标准差系数说明事物的差异程度时，除了列出标准差系数的数值外，还必须同时列举其均数和标准差。
3．判断班内学习分化的情况在教育教学中，防止出现差生或学习困难的学生，使所有学生得到充分发展，提高教学质量是教育者所追求终极目标。
在班级管理中，教师或管理者对学生学习的分化主要是通过判断学生的两极端分数或通过简单的平均数来进行的，这种方式难以准确、全面地判断一个班内学习分化的程度，尤其是各科学习分化的情况，差异系数则可解决这一问题。
用差异系数来判断学习分化程度是把实践经验和理论分析结合起来，确定相应的判断标准。
这种标准的确定从两方面进行，一是规定无分化现象的指标，二是规定有分化现象的指标，两种指标的中间状态亦可看作一种指标，从而形成一评价学习分化的三种指标。
一是无分化现象的指标，即S CV ≤9%。
因为根据经验，一般认为学生成绩在60～100之间是合格的，亦可视为无分化现象，而其平均分则为80，设均数上下各有3个标准差，即60~80之间有3个标准差，80~100之间有3标准差，再加上均数本身，80~100之间共有7个标准差，第四节 SPSS 实验——标准分数例题：10名学生的成绩分别为80，90，78，64，88，92，83，75，90，86。
