1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异
于原点），它与原点的距离
是0r =>，那么sin ,cos y x
r r
αα==
，
()tan ,0y
x x
α=≠
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：
（一全二正弦，三切四余弦）
＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －
sin α cos α tan α
3. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：2
222
1
sin
cos 1,1tan cos αααα
+=+=
（2）商数关系：sin tan cos α
αα
=
（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换
4.三角函数的诱导公式
诱导公式（把角写成απ
±2
k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）
Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+α
απααπsin )2cos(cos )2sin(
5.特殊角的三角函数值
6.三角函数的图像及性质 sin y x =
cos y x = tan y x =
图像
定义域 R R
,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值
当22
x k π
π=+
()k Z ∈时，
max 1y =；
当22
x k π
π=-
()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k Z ∈时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
度
0 30 45 60 90 120 135 150 180
︒
270
360
弧度
6
π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π
32
π 2π
sin α
12
22
32
1
32 22
12
1
cos α
1
32 22
12 0
1
2- 22- 32- 1- 0 1
tan α 0 33
1
3
无
3-
1-
3
3
-
无
函
数 性 质
7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，
3,,
,22
2
π
π
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
8.图像的平移变换：函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移
|
|ϕ
ω
个单位 例：以sin y x =变换到4sin(3)3
y x π=+为例
sin y x =向左平移
3
π
个单位 （左加右减）
sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
横坐标变为原来的
13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
sin y x =横坐标变为原来的1
3
倍（纵坐标不变）()sin 3y x =
向左平移
9π个单位 （左加右减） sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
注意：在变换中改变的始终是x 。
9、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-
(6）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+
(7) sin cos a b αα+
)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定
,sin tan b
a
ϕϕϕ=
=
=
，该法也叫合一变形). (8)
)4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4
tan(tan 1tan 1θπ
θθ-=+-
10、二倍角公式
（1）
（2） （3）
11. 降幂公式： （1） （2）
12. 升幂公式 （1）2
cos 2cos 12
α
α=+ （2）2
sin
2cos 12
α
α=-
（3）2)2
cos 2(sin sin 1α
α
α±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2
cos
2
sin 2sin α
α
α=
a a a cos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2
2
2
2
-=-=-=a a a a a a
a
a 2
tan 1tan 22tan -=
22cos 1cos 2
a a +=22cos 1sin 2
a a -=
