8.4三元一次方程组及其解法(非常好)

在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=பைடு நூலகம்时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值 解：根据题意，得三元一次方程组
解这个方程组，得 a=3 把｛b=-2 代入①，得 c=-5 ②－①， 得 a＋b=1 ④ a=3 ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ 因此 b=-2 ④与⑤组成二元一次方程组 c=-5 a＋b=1 答：a=3, b=-2, c=-5. 4a＋b=10
分析：方程①中只含x,z,因此， 可以由②③消去y，得到一个只 含x，z的方程，与方程①组成 一个二元一次方程组
｛
1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= 3 因此，三元一次方程组的解为
｛
X=5 1 Y= 3 Z=-2
练习：解方程组
3 x 2 y z 13, x y 2 z 7, 2 x 3 y z 12
y=1
③+④,得2x=5
5 2
x 5 2
5 z4 2
3 z 2
5 x 2 y 1 3 z 2
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
① ② ③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
∴
X=1 y=-3 z=-2
解方程组 2x-3y+4z=3 3x-2y+z=7 x+2y-3z=1
解：① -③ × 2，得
① ② ③ ④
⑤
把y=-3,z=-2代入 ①得
-7y+10z=1
② -③ ×3 ，得
-8y+10z=4
④- ⑤得
X=1
y=-3
把y=-3代入④得
∴
Z=-2
X=1 y=-3 z=-2
X+y+z=12 X=4y X+2y+5z=22
X=8 y=2
① ② ③
z=2
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 总 结
消元
二元一次方程组
一元一次方程
三元一次方程组求法步骤：
（也就是消去一个未知数） 1.化“三元”为“二元” 2.化“二元”为“一元”
交流探究
问题1 解方程组
x+y+z= 2 x-y+z= 0 x-z=4.
分析：
这个问题中包含有 个未知数，有 个 解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的 相等关系，分别是什么？ 场数分别是x、y、z场，根据题意，有
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的 场数分别是x、y、z场，根据题意，有
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
2 x 3 y 6z 4 x 3 y 6 z 0 己知 ，求 的值。 2 2 2 x 5 y 7z x 2 y 7z 0 (1) 4 x 3 y 6 z 解 : 原方程组可化为 ( 2) x 2 y 7z ( 2) 4 (1) 得 11 y 22z , y 2 z
问题3：解方程组 3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
分析：三个方程中未知数的系数都 不是1或-1，用代入消元法比较麻 烦，可考虑用加减消元法求解。
8.4 三元一次方程组
及其解法
纳溪中学 赵彬
复习导入
什么叫做二元一次方程组?
方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数是一 次，这样的方程组叫做二元一次方程组。
解二元一次方程组有哪几种方法？它 们的基本思想是什么？
消元
二元一次方程组
代入
加减
一元一次方程
问题回顾

“我们的小世界杯”足球赛第二轮比 赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的 计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛 中胜的场数正好等于平与负的场数之和， 那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的 场数各是多少？
X+y+z=10 ① 3x+y=18 ② X=y+z ③
把③代入①、 ② ，得
把y=3,z=2代入 方程③，得
2y+2z=10 ④ 4y+3z=18 ⑤ y=3 解之得 z=2
X=5
∴
X=5 y=3 z=2
试一试
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2 元 纸币张数的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少 张？
个相等关系： 1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍 分析： 这个问题中包含有
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
① X+y+z=12 ② X=4y X+2y+5z=22 ③
①
② ③
思考：三元一次
方程组降为二元一 次方程组，说说消 去哪个求知数，并 说明理由！
解： ① ＋③ 得: 5x＋5y=25 ④ ②+③ ×2得：5x+7y=31 ⑤ 5x＋5y=25 ④ X=2 ｛ 5x＋7y=31 ⑤ 解得 ｛y=3 把x＝2，y＝3代入②，得z=1 x=2 y=3 所以方程组的解为 z=1
x : y : z 1: 2 : 7 2 x y 3z 21
解 : 由 (1) 设 x t 则 y 2t 故 t 1 x 1 x 1 y 2 z 7 y2 z7
z 7t
代入 ( 2) 得 2t 2t 21t 21
｛
解方程组 2x-3y+4z=3 3x-2y+z=7 x+2y-3z=1
解：由方程②，得
① ② ③ ④
解这个二元一 次方程组，得
Z=7-3x+2y
将④分别代入方程①和③ ，得
X=1 Y=-3
代入④得
2x-3y+4(7-3x+2y)=3 X+2y-3(7-3x+2y)=1
整理，得
Z=-2
-2x+y=-5 5x-2y=11
z 3
将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0. 所以原方程组的解是
x 2 y 0 z 3
x 2 z 8 x z 1
x＋y－z＝6 解三元一次方程组 x－3y＋2z＝1 3x＋2y－z＝4
① ② ③
【答案】
x+y+z=51 4x+8y+5z=300 x+y+2z=67 x=15 解得： y=20 z=16
观察方程
问题：1、什么叫三元一次方程？ 2、什么叫三元一次方程组？
1、都含有三个未知数，并且含有未知数
的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三
元一次方程。 2、含有三个未知数，每个方程中含未
知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫
做三元一次方程组。
解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的 场数分别是x、y、z场，根据题意，有
① ② ③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2.
化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
解：
2x+2z=2 化简，得 x+z=1 ④
①＋②，得
,
5 3 x ,z 2 2 5 3 y ( ) 0 2 2
a－b＋c= 0 4a＋2b＋c=3 25a＋5b＋c=60
① ② ③
a=3 b=-2
三元一次方程组
消元
求出第三个未知数的值
二元一次方程组
消元
求出第二个未知数的值
一元一次方程
求出第一个未知数的值
2 2 2
练习：
把 y 2 z 代入 ( 2) 得 x 3 z , 把 x 3z y 2 z 代入下式 2 x 2 3 y 2 6 z 2 2( 3 z ) 2 3( 2 z ) 2 6 z 2 36z 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x 5 y 7z ( 3 z ) 5( 2 z ) 7 z 36z
3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
解： ③ - ②，得
3x+6z=-24 即 x+2z=-8 ④ ① ×3+ ② ×4，得 17x-17z=17 即 x-z=1 ⑤ 联立④，⑤，得 解得 x 2
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
解三元一次方程组
3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③ 解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x＋4z=7 ｛11x＋10z=35 X=5 解这个方程组，得 ｛Z=-2