《2.2.1 综合法和分析法法》教学案3

综合法与分析法分析法教学设计Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】综合法与分析法——分析法一、教材分析1教材背景生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。

2地位与作用《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。

是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立几，解析几何等等。

可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要地位的。

现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数、数列、解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的高考命题特点。

二、学情分析1．有利因素学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。

2．不利因素学生对已学知识的应用意识不强；三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。

特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍。

三、目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下：1知识目标了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分和综合法的思考过程、特点．能运用综合法，分析法证题。

2能力目标通过分析法与综合法的学习，提升分析解决问题的能力。

3德育目标通过分析法与综合法的学习，体会数学思维的严密性。

四、重点：了解分析法的思考过程、特点。

1 高中数学 第二章《综合法和分析法》教案1 新人教A 版2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.。

2.2.1 综合法与分析法【学习目标】1． 理解综合法和分析法的概念及区别2． 熟练的运用综合法分析法证题【创设情境】1． 合情推理：___________________________________________2． 演绎推理：____________________________________________【概念形成】阅读教材63-64页回答下列问题1. 直接证明: ___________________________________________2. 综合法：___________________________________________________3. 分析法:________________________________________________________4.综合法的证明步骤用符号表示: 0P (已知) 1n P P ⇒⇒⇒ (结论)5.分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤;要证(或为了证明)B 成立,只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件).要证1A 成立,只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件).… ,要证k A 成立,只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件)..A 成立, ∴B 成立.【例题解析】例1、已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc例2.求证: <.例3.如图，设在四面体PABC 中，∠ABC=90°,PA=PB=PC,D 是AC 的中点。

求证PD 垂直于 △ABC 所在的平面例4、 已知a,b 是正整数,求证:≥【巩固提高】1、如果3sin sin(2)βαβ=+，求证：tan()2tan αβα+=2(3)a <≥。

南海执信中学高二数学备课组(7) 1 2.2.1综合法和分析法 一．学习目标： 1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法． 2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．

目标一：用综合法、分析法证明代数问题 例1.已知：a，b∈R，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.

二．达标检测： 1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对

称．求证：21xf 为偶函数．

目标2：用综合法、分析法证明几何问题 例2：(2011·广州一模)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1 中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC 的中点． 求证：AB1∥平面BC1D. 南海执信中学高二数学备课组(7)

2 达标检测： 2．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，证明：平面A1BD∥平面CB1D1.

3.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了( ) A．分析法 B．综合法 C．综合法与分析法结合使用 D．演绎法 4．已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必定有( ) A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ

5．(2011·深圳调研)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为( ) A.94 B.32 C.54 D．4 6、（全国卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2 －Sk

＝24，则k＝( )

A．8 B．7 C．6 D．5

§2.2.1 综合法和分析法(二) 学习目标.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程一、课前准备4850复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例13526变式：求证3725小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab三、总结提升※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,已知P都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么A.22x y x y xy +<<<B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .1. 已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b a b-+-<.2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。

综合法和分析法课时安排：每章25分钟，共125分钟教学目标：1. 让学生理解综合法和分析法的概念及应用。

2. 培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。

3. 提高学生逻辑思维和判断能力。

教学方法：1. 讲授法：讲解综合法和分析法的原理及运用。

2. 案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解综合法和分析法。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

教学内容：第一章：综合法概述1.1 综合法的定义1.2 综合法的应用领域1.3 综合法的优势和局限性第二章：分析法概述2.1 分析法的定义2.2 分析法的应用领域2.3 分析法的优势和局限性第三章：综合法与分析法的区别与联系3.1 综合法与分析法的区别3.2 综合法与分析法的联系3.3 综合法与分析法在实际应用中的选择第四章：综合法在解决问题中的应用4.1 综合法解决问题的步骤4.2 综合法在案例中的应用4.3 综合法解决问题的注意事项第五章：分析法在解决问题中的应用5.1 分析法解决问题的步骤5.2 分析法在案例中的应用5.3 分析法解决问题的注意事项教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。

2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，检验学生对综合法和分析法的理解程度。

3. 课堂问答：通过提问，了解学生对教学内容的掌握情况。

教学资源：1. PPT课件：展示综合法和分析法的原理、案例及应用。

2. 案例材料：提供实际案例，供学生分析和讨论。

3. 参考书籍：为学生提供更多的学习资料，加深对综合法和分析法的理解。

教学建议：1. 在讲解综合法和分析法时，举例生动、贴近实际，激发学生的兴趣。

2. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。

3. 注重课后作业的布置和批改，及时了解学生对教学内容的掌握情况。

4. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。

第六章：综合法在自然科学中的应用6.1 自然科学中综合法的典型应用案例6.2 综合法在自然科学研究中的作用与意义6.3 综合法在自然科学中的局限性与挑战第七章：分析法在社会科学中的应用7.1 社会科学中分析法的典型应用案例7.2 分析法在社会科学研究中的作用与意义7.3 分析法在社会科学中的局限性与挑战第八章：综合法与分析法在工程领域的应用8.1 工程领域中综合法的应用案例8.2 工程领域中分析法的应用案例8.3 综合法与分析法在工程领域的结合应用第九章：综合法与分析法在医学领域的应用9.1 医学领域中综合法的应用案例9.2 医学领域中分析法的应用案例9.3 综合法与分析法在医学领域的结合应用第十章：综合法与分析法在商业领域的应用10.1 商业领域中综合法的应用案例10.2 商业领域中分析法的应用案例10.3 综合法与分析法在商业领域的结合应用教学评估：1. 课后作业：布置相关案例分析作业，巩固所学内容。

【参考教案】《综合法和分析法》（人教A版）章节一：综合法的概念与运用1. 教学目标：让学生理解综合法的定义，掌握综合法的运用方法，能够运用综合法解决问题。

2. 教学内容：介绍综合法的定义、特点和运用方法。

通过例题讲解综合法在实际问题中的应用。

3. 教学过程：a) 引入综合法的概念，解释综合法的定义和特点。

b) 通过示例题目，讲解综合法的运用步骤和方法。

c) 让学生练习综合法解题，并提供解答和解析。

章节二：分析法的概念与运用1. 教学目标：让学生理解分析法的定义，掌握分析法的运用方法，能够运用分析法解决问题。

2. 教学内容：介绍分析法的定义、特点和运用方法。

通过例题讲解分析法在实际问题中的应用。

3. 教学过程：a) 引入分析法的概念，解释分析法的定义和特点。

b) 通过示例题目，讲解分析法的运用步骤和方法。

c) 让学生练习分析法解题，并提供解答和解析。

章节三：综合法与分析法的比较1. 教学目标：让学生理解综合法和分析法的区别与联系，能够根据实际情况选择合适的解题方法。

2. 教学内容：介绍综合法和分析法的区别与联系。

通过对比例题，展示综合法和分析法在不同情况下的应用。

3. 教学过程：a) 讲解综合法和分析法的区别与联系。

b) 通过对比示例题目，展示综合法和分析法在不同情况下的应用。

c) 让学生进行实践练习，选择合适的解题方法，并提供解答和解析。

章节四：综合法和分析法在几何中的应用1. 教学目标：让学生掌握综合法和分析法在几何问题中的应用，能够灵活运用综合法和分析法解决几何问题。

2. 教学内容：介绍综合法和分析法在几何问题中的应用。

通过几何例题，讲解综合法和分析法在解决几何问题时的运用方法。

3. 教学过程：a) 讲解综合法和分析法在几何问题中的应用。

b) 通过几何例题，讲解综合法和分析法在解决几何问题时的运用方法。

c) 让学生练习解决几何问题，运用综合法和分析法，并提供解答和解析。

章节五：综合法和分析法在代数中的应用1. 教学目标：让学生掌握综合法和分析法在代数问题中的应用，能够灵活运用综合法和分析法解决代数问题。