高考数学一轮复习单元检测五三角函数解三角形单元检测含解析

一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72B ．473C ．3D ．232．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos 8AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km 2C ． 3 kmD ． 2 km3．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积222221()22a b c S ab ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（ ） A ．6B ．23C ．3D ．324．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =，若ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（ ）A ．24B ．1233+C ．183D ．()353+5．在ABC 中，π6A =，1,2a b ==，则B =（ ） A ．4π B ．34π C ．4π或34πD ．6π或56π6．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°B ．30°C ．60°D ．120°7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m （如图），则旗杆的高度为（ ）A ．10 mB ．30 mC ．3mD ．6 m8．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2cos 0b a C -=，()sin 3sin A A C =+，则2bca =（ ） A 7 B 14 C ．23D 610．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,22sin BAC ∠=32AB =3BD =, 则cos C ( ) A ．63B 3C ．23D ．1311．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，23BC =ABC 的面积为 A ．3B ．4C ．23D 312．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（ ） A ．35mB ．10mC ．490013m D ．521m二、填空题13．在ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AM =，2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.14．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a+--=，则B =___________.15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则角B =______.16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a =，2c b =，则ABC 面积的最大值是______．17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3B π=，当ABC ∆的面积等于3时，tan C =__________．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积2228a b c S +-=，D为线段BC 上一点．若ABD △为等边三角形，则tan DAC ∠的值为___________． 19．如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），在所在的河岸边选取相距30m 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，其中A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，则A ，B 两点之间的距离是_______m .20．在ABC 中，cos cos 3A B +=，23AB =sin sin A B +取最大值时，ABC 的外接圆半径为________． 三、解答题21．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.22．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C +c cos A （1）求角B 的大小；（2）若线段BC 上存在一点D ，使得AD ＝2，且AC 6=CD 3=1，求S △ABC .23．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．24．如图，观测站C 在目标A 的南偏西20方向，经过A 处有一条南偏东40走向的公路，在C 处观测到与C 相距31km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20km 到达D 处，此时测得,C D 相距21km ，求,D A 之间的距离.25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①()3cos cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan 3tan tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;（2）若2,10a b c =+=，求ABC 的面积.26．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B 处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β=45°，则此山的高度CD 和仰角α的正切值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值. 【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=， 由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．A解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.532333h h h h =+-⨯⎛ ⎝⎭⨯，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.3．C解析：C 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =4．D解析：D 【分析】ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6ACE DCE π∠=∠=，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，应用基本不等式可得AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值．【详解】设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,)2πθ∈，∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=， 又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，AE CE ==DE =AD =ACD △中，由正弦定理得sin sin CD AD DAC ACD =∠∠，则CD ==， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠，则2sin CD θθθ==，∴θ=，解得cos θ=，6πθ=，∴3CD ==，ACD △中，由角平分线定理得AC AE CD DE ==，得236AC =⨯=． ABC 中，23ABC πθ∠==，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2222223136()3()()()44AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形．∴AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6ACE π∠=．5．C解析：C 【分析】由正弦定理解三角即可求出B . 【详解】在ABC 中，π6A =，1,a b ==, 所以sin sin a b A B=,即112=sin B =故4B π=或34π， 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角中的应用，考查了运算能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴2222a b c cosC ab +-==又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒.故选B ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．7．B解析：B 【分析】作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ． 【详解】 解：如图，依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知BC ACsin BAC sin ABC=∠∠，∴AC BC sin BAC=∠•sin ∠ABC1062122=⨯=3m ）， 在Rt △ACD 中，AD 32=•AC 32=⨯3=30（m ） 即旗杆的高度为30m ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．8．A解析：A 【详解】由题设可得060B =，运用正弦定理可得311sin sin 60sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b AB <⇔<，应选答案A ．9．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得c =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.10．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去 当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒3cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性11．C解析：C 【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，利用三角形内角和求出角C ，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果. 【详解】因为ABC ∆中，60A ∠=︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC ACA B=，4sin B=，所以sin 1B =， 所以90,30B C ︒︒∠=∠=，所以14sin 302ABC S ︒∆=⨯⨯= C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin 1B =，从而求得90,30B C ︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.12．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h ，由已知可知,OA OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB 中，由余弦定理得222352cos15033h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.二、填空题13．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用 解析：10【分析】用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值． 【详解】记AMC α∠=，则AMB πα∠=-， 在AMC 中，2222cos 3123423AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-，同理在AMB 中可得2423AB α=+，∴228AB AC +=，设22AB x =，22AC x =，(0,)2x π∈．则12422222(2sin cos )210(cos )25AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cosθθ==θ是锐角， 显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=，∴2AC AB +的最大值为故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．14．(或)【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化整理已知条件最后变形为求角的值【详解】根据余弦定理可知所以原式变形为根据正弦定理边角互化可知又因为则原式变形整理为即因为所以（或）故答案为（或）【点睛】方解析：135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值. 【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=， 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B =（或34π） 故答案为135（或34π）【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．15．【分析】由正弦定理及可得结合两角差余弦公式可得进而可得到值【详解】由正弦定理及可得：在中∴即∴又B 为三角形内角∴=故答案为:【点睛】本题考查三角形中求角的问题涉及到正弦定理两角差余弦公式考查计算能力 解析：π3B =【分析】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合两角差余弦公式可得tanB =B 值.【详解】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在ABC 中，sin 0A ≠，∴πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+∴tanB =B 为三角形内角，∴B =3π故答案为:3π. 【点睛】本题考查三角形中求角的问题，涉及到正弦定理，两角差余弦公式，考查计算能力，属于基础题.16．【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思 解析：12【分析】先根据余弦定理求出cos A ，结合平方关系求得sin A ，利用三角形的面积公式及二次函数可求ABC 面积的最大值. 【详解】∵6a =，2c b =，∴2222644cos b b b A =+-，可得22536cos 4b A b-=，∴sin A ==，由()2223043600b --≥，可得2436b ≤≤，即26b ≤≤，则ABC 的面积221sin sin 122S bc A b A b ====≤，当且仅当2360b =时，即b =故答案为：12． 【点睛】本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.17．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出 解析：-【解析】由题意1sin 23acπ=4c =⇒=，则b ==，所以由余弦定理cos C ==sin C ==tan (C ==-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出边b ==，然后再运用余弦定理求出cos C ==，进而求出sin C ==tan (C ==- 18．【分析】由及三角形面积公式余弦定理可得又利用两角差的正切公式展开计算即可【详解】因为所以由三角形面积公式及余弦定理得所以又为等边三角形所以故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用涉及到 解析：8-+【分析】由2228a b c S +-=及三角形面积公式，余弦定理可得1tan 2C =，又()tan tan 60DAC C ︒∠=-，利用两角差的正切公式展开计算即可.【详解】因为2228a b c S +-=, 所以，由三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =， 所以tan C =sin 1cos 2C C =， 又ABD △为等边三角形，所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=3tan 23185313tan 23C C --==-+++．故答案为：853-+【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角差的正切公式，三角形面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.19．【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解：如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴（米）即AB 之间的距离为米解析：1015 【分析】本题先在ACD △中，得出30CAD ADC ∠=∠=︒，得CD 的值，然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长，最后在ABC 中由余弦定理，算出21500AB =，即可得到A ，B 之间的距离. 【详解】解：如图所示，∵75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒， ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴在ACD △中，18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴30AC CD ==.∵在BCD 中，60CBD ∠=︒， ∴由正弦定理，得30sin 75sin 60BC =︒︒，可得sin 753020375sin 60BC ︒=⋅=︒︒.在ABC 中，由余弦定理，得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=，∴1015AB =（米），即A ，B 之间的距离为1015米. 故答案为：1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题，是中档题.20．2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角解析：2 【分析】设sin sin A B t +=与cos cos 3A B +=两边平方后相加，可得2322cos()A B t +=+-，即21cos()2t A B +-=，可知A B =时，sin sin =+t A B 最大，可得角C ，再利用正弦定理即可求解. 【详解】设sin sin A B t +=，则()2222sin sin sin sin 2sin sin t A B A B A B =+=++， 又因为()2223cos cos cos cos 2cos cos A B A B A B =+=++，所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos t A A B B A A B B +=+++++22cos()B A =+-，所以21cos()2t A B +-=，所以当A B =时，max 1=t ，23C π∠=， 此时ABC 2323=．故答案为：2 【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）17-.【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）利用正弦定理的边角互化可得sin 3sin A B =，再由23A B π+=求出tan B =，再利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-∴由正弦定理得22()a b c ab -=-，即222a b c ab +-=∴1cos 2C =， 又∵(0,)C π∈∴3C π=；（Ⅱ）∵3a b =，∴由正弦定理得sin 3sin A B =， ∵23A B π+=，∴2sin 3sin 3B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴tan B =，∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin B B == ，∴11sin 22sin cos 214B B B B === ∴1cos(2)cos 2cos sin 2sin 7B C B C B C +=-=-22．（1）3π；（2. 【分析】（1）由2b cos B ＝a cos C +c cos A ，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin B cos B ＝sin （A +C ），再根据诱导公式化简可得cos B 12=，结合B ∈（0，π）可得角B 的大小.（2）由余弦定理求得cos C 的值，可得C 的值，利用三角形内角和公式求得A 的值，再利用正弦定理求得AB 的值，从而求得S △ABC 12=⋅AB ⋅AC ⋅sin A 的值. 【详解】（1）∵2b cos B ＝a cos C +c cos A ，∴根据正弦定理，可得2sin B cos B ＝sin A cos C +sin C cos A ， 即2sin B cos B ＝sin （A +C ）.又∵△ABC 中，sin （A +C ）＝sin （180°﹣B ）＝sin B ＞0 ∴2sin B cos B ＝sin B ，两边约去sin B 得2cos B ＝1，即cos B 12=， ∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=.（2）∵在△ACD 中，AD ＝2，且AC =CD =1，∴由余弦定理可得：cosC222==， ∴C 4π=，∴A ＝π﹣B ﹣C 512π=， 由sin sin AC AB B C=sin sin 34ABπ=，∴AB ＝2， ∴S △ABC 12= ⋅AB ⋅AC ⋅sin A 12= ⋅2⋅⋅sin （46ππ+）=⋅（sin4πcos 6π+cos 4πsin 6π）=⋅4+）= 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 23．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==． 因为()0,πC ∈，所以sin 5C =， 在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③． 因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =．因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<， 所以sin20C >，所以cos20C >． 又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =， 所以21cos21sin 25C C -==，所以sin 5C =． 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭．方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=， 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2225a c +=．（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =．【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解. 24．15公理. 【分析】先求出cos BDC ∠，进而设ADC α∠=，则sin ,cos αα可求，在ACD △中，由正弦定理求得AD ，即可得到答案. 【详解】由题意知21,31,20CD BC BD ===,在BCD △中，由余弦定理可得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，设ADC α∠=，则1sin 7αα==，可得11sin()sincos cossin 333272714πππααα+=+=⨯+⨯=在ACD △中，由正弦定理得21sin()sin33ADππα=+，所以sin()153AD πα=+=，即所求的距离为15公理. 【点睛】平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用共同条件，求出结果. 25．（1）3A π=；（2）2. 【分析】第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3A π=；方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3A π=；方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=；第（2）小问：由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A =又()0,A π∈， 所以sin 0A ≠，所以tan A = 所以3A π=方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C =-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -= 即2cos sin sin ,A C C = 又()0,C π∈， 所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A = 所以3A π=方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C = 又()0A B C π∈,,,， 所以tan 0,tan 0B C ≠≠，所以1tan ,2A A == 所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+-即()243b c bc +=+，又因为b c += 所以2bc =所以1sin 2ABC Sbc A ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.26．1． 【分析】设山的高度CD =x ，在ABC 中，利用正弦定理求得CB ，AC ，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB ，然后在Rt ACD 中，由tan CDACα=求解. 【详解】设山的高度CD =x 米，由题可得∠CAB =45°，∠ABC =105°，AB =300米，∠CBD =45°． 在ABC 中，得：∠ACB =180°-45°-105°=30°， 利用正弦定理可得sin 30sin 45sin105AB CB AC==， 所以()300sin 45300sin1053002,15062sin30sin30CB AC ⨯⨯====+，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB ，在Rt ACD 中可得tan 1CD AC α===。

第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。

3 D。

42。

sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。

小于0 B。

大于0C。

等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。

-√32+12C。

√32−12D。

-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。

—2+√3C。

2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则 （ ) A 。

cos 2α>0 B 。

cos 2α〈0 C 。

sin 2α>0 D.sin 2α<06。

已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。

-√3图4-1—17。

[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （ ） A 。

4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（ ）A.15B .√55C 。

2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）解三角形单元检测题一、选择题1.在ABC ∆中，45A =,60B =,10a =,则b =（ ）A.52B.102C.1063D.56 2.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C =+，则ABC ∆的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若52a b =，2A B =，则cos B =（ ） A.53 B.54 C.55 D.564．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ）A ． 30B ． 60C ． 120D ．1505.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、由增加的长度决定6.不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A =,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解 7．在ABC ∆中，6=a ， 30=B ，120=C ，则ABC ∆的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．3188.在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形9.在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ ）A.63 B.62 C.12D.32 10.如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=k B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或38=k 11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（ ）A.43sin()33B π++ B.43sin()36B π++C.6sin()33B π++ D.6sin()36B π++ 12.锐角三角形ABC ∆中，若2A B =，则下列叙述正确的是（ B ）. ①sin3sin B C = ②3tantan 122B C = ③64B ππ<< ④[2,3]ab∈ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④二、填空题13.在ABC ∆中，若2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形形状是_______. 14.在ABC ∆中，已知60A =，1b =，3ABC S ∆=，则sin sin sin a b cA B C++=++_______.15.在ABC ∆中，如果::2:6:(31)a b c =+，那么这个三角形的最小角是________. 16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B =ABC ∆的面积为32，则b =____. 三、解答题17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁.一军舰从A 地出发由西向东航行，望见小岛B 在北偏东75°，航行8海里到达C 处，望见小岛B 在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？ 18.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角A ,B ,C 所对边的长，S是ABC ∆的面积.已知22()S a b c =--，求tan A 的值.19.在ABC ∆中，已知22()a a b c -=+，223a b c +=-. (1)若sin :sin 4:13C A =，求,,a b c ； (2)求ABC ∆的最大角的弧度数.20.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m ，速度为180km/h .飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s 后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取2＝1.4,3＝1.7）．21. 在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2223a b c ab +-=.(1)求角C 的大小； (2)如果203A π<≤，22cos sin 12A mB =--，求实数m 的取值范围. 22.半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边ABC ∆，则B 点在什么位置时四边形OACB 的面积最大？求出这个最大面 积.解三角形测试答案1.D2.B3.B4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.D 11.D 12.B 13.直角三角形 14.2393 15.4A π=. 16.13+ 17.解：过点B 作BD ⊥AE 交AE 于D ，由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°在Rt △ABD 中，AD=BD ·tan ∠ABD=BD ·tan 75°在Rt △CBD 中，CD=BD ·tan ∠CBD=BD ·tan60°∴AD －CD=BD （tan75°－tan60°）=AC=8,∴0088tan 75tan 60tan(4530)3BD ==-+-O ACBxθ1 2 1545A CB D图1 图2A北CDB7560E4 3.8=>∴该军舰没有触礁的危险. 18.解：∵22()S a b c =--，1sin ,2S bc A =∴22()a b c --1sin 2bc A =. 即22212(1)sin ,4b c a bc A +-=-∴22211sin 24b c a A bc +-=-. 即1cos 1sin 4A A =-，则2211cos 1sin sin 216A A A =-+， 化简得2171sin sin 0162A A -=，解得8sin 17A =(sin 0A =舍去). 代入115cos 1sin 417A A =-=，故sin 8tan cos 15A A A ==. 19.解：（1）由正弦定理，有sin :sin :4:13C A c a ==，∴可设4c k =，13a k =. 由已知条件得222a a c b --=，232c a b --=，故2223a a c c a --=--. ∴2131388133k k k k k --=--，即2131630k k -+=，∴313k =或1k =. ∵当313k =时，0b <，故舍去，∴1k =， ∴13a =，5132b -=，4c =. （2）由已知二式消去2b ，得234a c +=，代入2220a abc ---=中，得211(23)(3)(1)44b a a a a =--=-+， ∵,,0a b c >，∴3a >.又1(3)02b c a -=--<，231(3)(1)044a c a a a a +-=-=-->， ∴,b c a c <<，故c 为最大边，所以角C 最大.∵22222(3)()4cos 122(3)(1)4a a a a abc C ab a a a ---++-==-+ 2224(3)(1)4(23)12(3)(1)2(23)2a a a a a a a a a a a a -+--+-===--+-+，而0C π<<，∴23C π=. 20.解：如图 ∵=∠A 150 ，=∠DBC 450，∴=∠ACB 300，AB= 180000⨯420×13600= 21000(m )∴在ABC ∆中，ACB ABA BC ∠=sin sin ∴)26(1050015sin 21210000-=⋅=BC∵AD CD ⊥，∴0sin sin 45CD BC CBD BC =∠=⨯ ＝)26(10500-22⨯＝)13(10500-＝)17.1(10500- ＝7350山顶的海拔高度＝10000-7350=2650(米)21.解：（1）由2223a b c ab +-=，得222322a b c ab +-=.由余弦定理知3cos 2C =，∴6C π=. （2）∵21cos 2cos sin 12sin[()]122A A mB AC π+=--=--+- cos sin()cos sin()6A A C A A π=-+=-+31cos sin coscos sincos sin cos 6622A A A A A A ππ=--=-- 13cos sin cos cos sin sin cos()22333A A A A A πππ=-=-=+ ∵203A π<≤∴33A πππ<+≤. ∴11cos()32A π-≤+<，即m 的取值范围是1[1,)2-. 22.解：设AB x =，AOB θ∠=，在ABC ∆中运用余弦定理， 得x 与θ存在关系：22212212cos 54cos x θθ=+-⨯⨯=-. ①又设四边形OACB 的面积是S ，则23sin 4AOB ABC S S S x θ∆∆=+=+. ② 将①式代入②得5353sin 3cos 2sin()434S πθθθ=-+=-+. ∵(0,)θπ∈，∴2333πππθ-<-<. ∴当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，max 8534S +=.即以OA 为始边，OB 逆时针方向旋转56π时，四边形OACB 面积最大，最大值为8534+.。

一、选择题1．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（ ） A ．)3,⎡+∞⎣B ．()3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°B ．30°C ．60°D ．120°3．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直4．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km5．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2cos 0b a C -=，()sin 3sin A A C =+，则2bca =（ ） A 7 B 14 C ．23D 66．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是 A ．518B ．34C 3D ．787．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）A ．24B ．22C ．1D ．28．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<9．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则AEF 的周长的最小值为（ ） A ．36sin 20︒ B ．62C ．12D ．6310．在△ABC 中，a 2tanB =b 2tanA ，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形11．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m12．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．23二、填空题13．ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =.则sin sin BC=______. 14．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积2228a b c S +-=，D为线段BC 上一点．若ABD △为等边三角形，则tan DAC ∠的值为___________． 15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．在ABC 中，60,12,183ABCA b S=︒==，则sin sin sin a b cA B C____________.17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()231a b b a +-=，1c =，则3a b -的取值范围是______.18．在ABC 中，已知24cos 2sin a C c B =+，22b =，则ABC 面积的最大值是__________.19．太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______.20．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，1DC =，2AC =，3BD =，120BAD ∠=︒，则AB 的长为________.三、解答题21．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC 的面积为3BC 边上的高1AH =，求b ，c . 22．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，221sin cos 22A B C +-=． （1）求角C ； （2）若2c =，4A π=，求ABC 的面积．23．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4B π=．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A 的值； ①5b =，2c =；②3a =，2c =.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. （2）若5b =，3a c +=，求ABC 的面积．24．在ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，6b =. （Ⅰ）若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积； （Ⅱ）试问111a c+=能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由.25．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()sin 2sin sin A B A C -=-.（1）求B ；（2）若点D 为BC 上一点，2DC =，π6C =，DE 平分ADC ∠交AC 于点E ，7ADE CDE S S =△△，求BD .26．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()3sin 2cos b A a B =+. （1）求角B ；（2）若3b =，且ABC 311a c +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围． 【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=， 化为3sin cos sin cos B A A B =， 在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠， 则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >， 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．2．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴22222a b c cosC ab +-==. 又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒. 故选B ．本题考查余弦定理的应用，属基础题．3．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B -=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．4．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得c =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则23bc a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.6．D解析：D 【解析】设顶角为C ，∵l=5c ， ∴a=b=2c ，由余弦定理得：222222447cos 22228a b c c c c C ab c c +-+-===⨯⨯． 故答案为D.7．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．8．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin 22a b A B==，故sin 22A =，三角形有两解， 故2sin 1222A <=<，解得222a <<. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．D解析：D 【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果． 【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒， 当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小， 故1AA 为AEF ∆的周长的最小值， 又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，22166266cos12063AA ∴=+-⨯⨯⨯︒=，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．10．D解析：D 【分析】根据正弦定理22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，化简得到sin 2sin 2A B =，得到答案. 【详解】22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，即sin 2sin 2A B =.故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.故选：D . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.11．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．12．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长22， 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系进一步利用正弦定理的应用求出结果【详解】解：中D 是边上的点满足所以又因为则则故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理三角形面积计算公式及其性质考查了推理能力与计算解析：12【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果． 【详解】解：ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =， 所以1sin 90221sin 302ABD ACD ABAD S AB S ACAC AD ⋅︒==⋅⋅︒△△， 又因为4ABD ACD S BD S CD ==△△，则24AB BD AC CD ==， 则sin 1sin 2B AC C AB ==. 故答案为：12.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】由及三角形面积公式余弦定理可得又利用两角差的正切公式展开计算即可【详解】因为所以由三角形面积公式及余弦定理得所以又为等边三角形所以故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用涉及到 解析：853-+【分析】由2228a b c S +-=及三角形面积公式，余弦定理可得1tan 2C =，又()tan tan 60DAC C ︒∠=-，利用两角差的正切公式展开计算即可.【详解】因为2228a b c S +-=, 所以，由三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =， 所以tan C =sin 1cos 2C C =， 又ABD △为等边三角形， 所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=3tan 23185313tan 23C C --==-+++． 故答案为：853-+【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角差的正切公式，三角形面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角 10【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BC B A =∠∠，即32sin(3)sin παα=-， 整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=， 即258cos α=，显然α是锐角，所以106cos αα= ∴15sin 22sin cos ααα==． 再由ABC 得：2sin sin 2AB αα=，∴615= 解得10AB ． 10【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题． 16．【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用属于中档题解析：12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可.【详解】11sin 1222ABC S bc A c ==⨯=△6c ∴=由余弦定理可知a =12sin sin sin sin a b c a A B C A ++∴===++ 故答案为：12【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.17．【分析】根据结合余弦定理可得再根据正弦定理将化简成关于的三角函数表达式再根据锐角求得的取值范围结合三角函数的性质求解值域即可【详解】因为故所以又锐角故由正弦定理所以又锐角故解得即故故答案为：【点睛】解析：(【分析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可.【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112sin cos 2cos 2sin 22226A A A A A A π⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭.又锐角ABC ，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，即663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：(【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题. 18．【分析】根据已知条件利用边角互化即可求得再由余弦定理结合均值不等式即可求得的最大值则面积的最大值可解【详解】因为故可得即则又因为故可得又故可得由余弦定理可得即当且仅当时取得等号故故答案为：【点睛】本解析：)21 【分析】根据已知条件，利用边角互化即可求得B ，再由余弦定理，结合均值不等式，即可求得ac 的最大值，则面积的最大值可解.【详解】4cos sin C B =，b =，=+，即sinA sinBcosC sinCsinB =+则cosBsinC sinCsinB =，又因为sin 0C ≠，故可得1tanB =，又()0,B π∈，故可得4B π=.由余弦定理可得222222(2b a c accosB a c ac =+-+≥--=,即(42ac ≤+，当且仅当a c =时取得等号.故()11cos 4221222ABC S ac B =≤⨯⨯+=△.故答案为：)21 【点睛】 本题考查利用正余弦定理以及均值不等式求三角形面积的最值，属综合中档题. 19．【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量设利用正弦定理公式可得影子长为是不变量且确定只需要最大计算即可得出结果【详解】光线照于地面与地面成角调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度则长度为如图所示：设解析：sin d α 【分析】 太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得， ()sin sin d AC αθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.【详解】光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC ,根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=， 因为α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大,故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin d α. 故答案为：sin d α【点睛】本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．20．【分析】在两个三角形中利用余弦定理建立等量关系式整理得出结合题中所给的条件利用余弦定理建立等量关系式求得结果【详解】因为所以可得在△中所以整理得出所以所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形的 67 【分析】在两个三角形中，利用余弦定理，建立等量关系式，整理得出2AB AD =，结合题中所给的条件，利用余弦定理建立等量关系式，求得结果.【详解】因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，所以2229142321AD AB AD AD AD+-+-=-⨯⨯⨯⨯，可得2AB AD =， 在△ABD 中，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⨯⨯∠， 所以22192()422AB AB AB AB =+-⨯⨯⨯-， 整理得出2794AB =，所以2367AB =，所以7AB =，故答案为：7. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，属于简单题目.三、解答题21．（1）6π；（2）b =2c =. 【分析】（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ；（2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可.【详解】 解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=-，即222c a b +-=.由余弦定理可得222cos 2c a b B ac +-==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin 6AH AH AHB c B ππ∠===. 因为ABC的面积为11sin 22ac B a ==，解得a = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=48422282+-⨯⨯=，则b =【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．（1）2C π=或3C π=；（2或1． 【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cos C C -=-，从而可得cos 0C =或1cos 2C =，即求.（2）由（1）知3C π=或2C π=，当3C π=时，利用正弦定理求出,a b ，再根据三角形的面积公式即可求解；当2C π=时，根据直角三角形即可求解. 【详解】（1）由221sin cos 22A B C +-=，得222sin 2cos 12A B C +-=， 化简得222cos 12sin2A B C +-=-， 即()22cos cos C A B -=+，即22cos cos C C -=-，即()cos 2cos 10C C -=，解得cos 0C =或2cos 10C -=．即cos 0C =或1cos 2C =． 又0C π<<，所以2C π=或3C π=． （2）由（1）得3C π=或2C π=，当3C π=时，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得，sin sin c a A C =⋅=3， 2sinsin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22sin cos cos sin3434ππππ⎫=-⎪⎭122223⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭⎦，故113sin 223323ABC S ab C +==⨯⨯=△；当2C π=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==因此11122ABC S ab ===△．综上，ABC 的面积是33+或1．23．（121- 【分析】 （1）选择条件①，由余弦定理求出3a =，再由正弦定理即可求出；选择条件②，由余弦定理求出b =（2）由余弦定理结合已知条件可求出4ac =-，再由面积公式即可求出.【详解】（1）选择条件①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2230a a --=，解得3a =.由正弦定理sin sin b a B A =得sin sin 10a B Ab ==. 选择条件②由余弦定理2222cos 5b a c ac B =+-=得b =由正弦定理sin sin b a B A =得sin sin a B A b ==.（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得225a c =+，所以25()(29(2a c ac ac =+-+=-+，得4ac =-所以1sin 12ABC S ac B ==.24．（ⅠⅡ）不能成立，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）由于3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-，得1sin sin 6A C =，结合正弦定理与面积公式可得结果；（Ⅱ）假设111a c+=能成立，得a c ac +=，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-可得3ac =，结合基本不等式判断即可.【详解】（Ⅰ）由23B π=，得3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-，即1cos cos sin sin 2A C A C =-. 又∵2cos cos 3A C =，∴1sin sin 6A C =.∵sin sin a c A C===∴a A =，c C =.∴1sin 4sin sin sin 2ABC S A C B A B C =⋅⋅⋅=△14623=⨯⨯=. （Ⅱ）假设111a c+=能成立，∴a c ac +=. 由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，∴226a c ac =++.∴2()6a c ac +-=，∴2()60ac ac --=，∴3ac =或-2（舍），此时3a c ac +==.不满足a c +≥，∴111a c +=不成立. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 25．（1）π4；（2）4+. 【分析】（1）根据两角和差公式展开化简可得cos 2B =，从而得解； （2）根据面积比及题中边长可得AD =ABC中，由ππsin sin 64BAC ⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭BD . 【详解】 （1）∵()sin sin A B A C -=-，∴()sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A A B A B -=-+，∴2sin cos A B A .∵sin 0A >，∴cos B =. ∵()0,πB ∈，∴π4B =. （2）∵1sin 2ADE S AD DE ADE =⋅∠△， 1sin 2CDE S CD DE CDE =⋅∠△，2CD =，∴AD =在ACD △中，设AC x =，由余弦定理得24428x x +-=，即2240x --=，解得43x (舍负).在ABC中，ππsin sin 64BAC ⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭由正弦定理得sin 6πsin 4BAC BC AC ∠==+∴4BD =+【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．出现多个三角形时，要从条件较多的三角形入手求解.．26．（1）2π3；（2【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得2ac =，再利用余弦定理可得a c +=.【详解】解：（1sin (2cos )A a B =+，sin sin (2cos )A B A B =+.∵(0π)A ∈，，∴sin 0A >，∴cos 2B B -=，∴π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴ππ62B -=，∴2π3B =. （2）因为ABC S =，∴12πsin 23ac =，∴2ac =. 又∵22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-，∴a c +=∴11a c a c ac ++==.。

专题05 三角函数与解三角形小题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年河北预赛】在△ABC中，，则△ABC的面积最大值为_____. 2．【2018年河北预赛】已知．则的取值范围是________．3．【2018年河北预赛】在△ABC中，，则△ABC的面积最大值为_____. 4．【2018年四川预赛】在中，，则的最小值为______.5．【2018年浙江预赛】已知，则________. 6．【2018年浙江预赛】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________. 7．【2018年辽宁预赛】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c.若，则= _____.8．【2018年江西预赛】若三个角成等差数列，公差为，则____ __．9．【2018年山西预赛】计算的值为________.10．【2018年湖南预赛】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为___ __.11．【2018年湖南预赛】若，则的值为__________.12．【2018年福建预赛】在中，内角所对的边分别是．若，则______．13．【2016年上海预赛】给定正实数a、b(a> b)，两点到直线的距离乘积为_____。

14．【2016年浙江预赛】若关于的方程组有实数解，则正实数的取值范围是_______ ___。

15．【2016年上海预赛】关于x的方程的解为__________．16．【2016年上海预赛】已知函数．若存在，使成立，则实数a的取值范围是__________．17．【2016年新疆预赛】函数的最大值为______.18．【2016年新疆预赛】设的对边分别为，且满足. 则______.19．【2016年四川预赛】若实数构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则c osa=_____.20．【2016年江西预赛】如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点,记则______.21．【2016年江西预赛】设x为锐角.则函数的最大值为______.22．【2016年湖南预赛】方程的解集为______.23．【2016年甘肃预赛】已知函数,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为．24．【2016年福建预赛】若函数的最小正周期为π，则f(x)在区间上的最大值为________.25．【2016年山东预赛】若实数x满足，则关系式的取值范围是________.26．【2016年山东预赛】________.27．【2016年安徽预赛】设.则________.28．【2016年新疆预赛】设直角三角形的三边依次为(c为斜边),周长为.则的最小值为______. 29．【2016年新疆预赛】计算______.30．【2016年新疆预赛】在中,的对边分别为.则______. 31．【2016年天津预赛】已知的周长为20,内切圆的半径为.则的值为______. 32．【2016年山西预赛】若函数处取得最大值，则tan的值为__________.专题05 三角函数与解三角形小题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年河北预赛】在△ABC中，，则△ABC的面积最大值为_____.【答案】3【解析】由正弦定理将变形为，其中.以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则，由两边平方整理得因为，所以上述方程可化为为由此可知点B的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x轴的最大距离为半径，所以的面积上单调递减，所以.2．【2018年河北预赛】已知．则的取值范围是________．【答案】【解析】由条件知点表示单位圆上的动点与点连线的斜率大于．作图可得点P在圆弧上运动，含点和点，不含点和点．如图：而表示原点与点P连线的斜率，由图计算得．故答案为：3．【2018年河北预赛】在△ABC中，，则△ABC的面积最大值为_____.【答案】3【解析】由正弦定理将变形为，其中.以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则，由两边平方整理得因为，所以上述方程可化为为由此可知点B的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x轴的最大距离为半径，所以的面积上单调递减，所以.4．【2018年四川预赛】在中，，则的最小值为______.【答案】【解析】由，知于是注意到，当且仅当时等号成立.于是，，所以，所求的最小值是.故答案为：5．【2018年浙江预赛】已知，则________.【答案】【解析】由，得，所以.故答案为：6．【2018年浙江预赛】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.【答案】【解析】由,又时取等号.7．【2018年辽宁预赛】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c.若，则=_____.【答案】1009【解析】由题得.故答案为：10098．【2018年江西预赛】若三个角成等差数列，公差为，则______．【答案】【解析】根据，则．所以．则．故答案为：-39．【2018年山西预赛】计算的值为________.【答案】【解析】记，则，所以，. 10．【2018年湖南预赛】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_____.【答案】【解析】由得图象关于点中心对称知，，即，即.因此，的最小值为.故答案为：11．【2018年湖南预赛】若，则的值为__________.【答案】1【解析】首先由可知，必有，否则，矛盾.又由，因此有，解得.因此有以及，故有.故答案为：112．【2018年福建预赛】在中，内角所对的边分别是．若，则______．【答案】【解析】由，知．结合正弦定理，得．由，及余弦定理，得．所以．故．13．【2016年上海预赛】给定正实数a、b(a> b)，两点到直线的距离乘积为_____。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 5 )考查： 三角函数、解三角形 时间：90分钟高三( )班 学号_______ 姓名_____________ 成绩__________一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．cos(－17π4)－sin(－17π4)的值是 ( )A.2 B ．－ 2 C ．0 D.222．已知sin(x ＋π4)＝－35，则sin2x 的值等于 ( )A ．－725 B.725 C ．－1825 D.18253．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( ) A ．a ＜a 2＋b 22＜b B ．a ＜b ＜a 2＋b 22C ．b ＜a 2＋b 22＜aD ．b ＜a ＜a 2＋b 224．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于 ( ) A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π65．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928D ．9 26．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R)图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为( )A.12B. 3C.33 D ．2 8．定义运算⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12B.π6C.π4D. π3二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上)9．若cos α＝－35，α∈( π2，π)，则tan α＝ 。

第五章 三角函数单元检测卷（基础达标卷）一、单选题1．若角α的终边上一点的坐标为(11)-，，则cos α=( ) A ．1-B ．2C ．22D ．12．cos675︒的值为（ ） A 2B ．2C ．3 D ．123．已知()()tan 01f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3ω=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．344．函数2()(1)cos 1xf x x e =-⋅+的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．sin1︒，sin1，sin π︒的大小顺序是（ ） A ．sin1sin1sin π︒<<︒ B ．sin1sin sin1π︒<︒< C ．sin sin1sin1π︒<︒<D ．sin1sin1sin π<︒<︒6．已知1tan 2α=-，那么22sin 2sin cos 3cos αααα+-的值是（ ） A ．3-B ．59-C ．3D ．75-7．函数()22cos 2f x x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .A ．2B ．3C ．5D ．10二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．终边在y 轴上的角的集合为{|2,}2k k Z πθθπ=+∈B ．0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tan <<x x xC ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角 10．设α是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ） A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．cos tan αα11．在△ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C 的大小不可能为（ ） A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π12．已知函数()22sin sin 21f x x x =-++，则（ ）A ．()f x 的图象可由22y x =的图象向右平移8π个单位长度得到 B ．()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在[]0,π内有2个零点D ．()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2三、填空题13．圆的半径是6 cm ，则圆心角为30°的扇形面积是_________2cm ． 14．已知22sin 2sin cos 3cos 0αααα-⋅-=，求sin 2cos 2sin cos αααα+=-__________．15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+（0A >，0>ω，||2πφ<）在一个周期内的图象如图所示，则()4f π=_______.16．将函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平行移动6π个单位长度得到函数()y f x =的图象，若()2f α=则26f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.四、解答题17．如图所示，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>，[]0,4x ∈的图象，且图象的最高点为(3,3S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=︒．求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．18．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，CD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数表达式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值. 19．已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0>ω.（1）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的表达式.（2）求出（1）中()y g x =的对称中心和对称轴.（3）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围.20．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （1）确定()f x 的解析式；（2）若()()π2cos 26g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为－2；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．21．已知α､(0)2πβ∈，，且sin 5α=，sin 10β=. （1）求αβ+的值；（2）令γαβ=+，设[0]x γ∈，，是否存在实数m ，使得()sin cos sin cos f x m x x x x =⋅⋅++21？若存在，求出m 的值，否则，请说明理由.22．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值； （2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=，求tan x 的值．参考答案1．C 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】△角α的终边上一点的坐标为(11)-，，它与原点的距离221(1)2r +- △2cos 2x r α=== 故选：C. 2．A 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】()cos 7202c 45cos 45os 675=︒-︒=︒=︒ 故选：A. 3．A 【分析】 先求出03x ωπω≤≤，再根据()max 3tantan36f x ωππ===. 【详解】因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即03x π≤≤，又01ω<<，所以033x ωππω≤≤<，所以()max 3tantan36f x ωππ===所以36ωππ=，12ω=． 故选：A ． 4．B 【分析】判断函数为奇函数，排除AC ，再计算π(0)2x ∈，时()0f x <，排除D ，得到答案.【详解】1e ()cos 1e x xf x x -=⋅+，e 1()cos ()e 1x x f x x f x --=⋅=-+，△()f x 为奇函数，排除AC.当π(0)2x ∈，，210,cos 01e xx -<>+，故()0f x <，排除D. 故选：B ． 5．B 【分析】直接根据正弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】 解：因为180sin1sinπ︒=，函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，1800190ππ︒︒<︒<︒<<︒， 所以180sin1sin sin ππ︒︒<︒<，即sin1sin sin1π︒<︒<.故选：B. 6．A 【分析】对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解. 【详解】22sin 2sin cos 2cos αααα+-222222sin 2sin cos 3cos tan 2tan 3sin cos tan 1ααααααααα+-+-==++，将1tan 2α=-代入上式，得原式3=-． 故选：A ． 7．C 【分析】由二倍角的余弦公式化简函数解析式，根据余弦型函数的性质求解即可. 【详解】()22cos 2cos41f x x x ==+，令42x k ππ=+（k ∈Z ），得84k x ππ=+（k ∈Z ）， 当1k =-时，8x π=-，即()f x 图象的一个对称中心为,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C 8．C 【分析】设点P 离水面的高度为()sin()2h t A t ωϕ=++，根据题意求出,,A ωϕ，再令()6h t =可求出结果. 【详解】设点P 离水面的高度为()sin()2h t A t ωϕ=++， 依题意可得4A =，826015ππω==，6πϕ=-， 所以2()4sin()2156h t t ππ=-+， 令2()4sin()6156h t t ππ=-=，得2sin()1156t ππ-=，得221562t k ππππ-=+，k Z ∈，得155t k =+，k Z ∈，因为点P 第一次到达最高点，所以2015215t ππ<<=， 所以0,5s k t ==. 故选：C 9．BD 【分析】选项A 轴线角的写法，y 轴正半轴{|2,}2k k Z πθθπ=+∈，y 轴{|,}2k k Z πθθπ=+∈；选项B 利用三角函数线证明即可;选项C 角90︒ 时不在第一或第二象限角；选项D 可以利用图像判断，也可以利用象限角的范围求解即可. 【详解】选项A 轴线角的写法，y 轴正半轴{|2,}2k k Z πθθπ=+∈，y 轴{|,}2k k Z πθθπ=+∈,所以不正确；选项B ，可以利用三角函数线围成面积的大小来比较大小,OMA OAT OMA S S S <<△△扇形所以sin tan <<x x x ，故正确选项C ，角为90︒ 时不在第一也不在第二象限；选项D 中α是第二象限角，{|22,}2k k k Z παπαππ+<<+∈，所以{|,}2422k k k Z απαπππ+<<+∈，当0,1,2,3k = 可判断2α是第一或第三象限角.故选：BD. 10．BC【分析】α是三角形的一个内角所以0απ<<，根据α的范围逐项判断可得答案.【详解】因为α是三角形的一个内角，所以0απ<<， 所以sin 0α>； 当2παπ<<时，cos 0α<； 当2παπ<<时，tan 0α<；cos tan sin 0ααα=>.故选：BC. 11．BCD 【分析】将题干中两个式子平方后求和化简可得()1sin 2A B +＝，结合()1sin sin 2C A B =+＝，可得C ＝6π或56π，又4sin B ＝1－3cos A >0，可得cos A <13<12，则A >3π，分析即得解【详解】由3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=， 两式平方和得22229sin 9cos 16cos 16sin 24sin cos 24cos sin 361A A B B A B A B +++++=+即 9＋16＋24sin(A ＋B )＝37，因而()1sin 2A B +＝.在△ABC 中，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12，且(0,)C π∈ 因而C ＝6π或56π， 又3cos A ＋4sin B ＝1化为4sin B ＝1－3cos A >0，所以cos A <13<12，则A >3π，故C ＝6π故选：BCD 12．BC 【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断； 【详解】由题得()22sin sin21cos2sin22sin 24f x x x x x x π⎛⎫=-++=+=+ ⎪⎝⎭，由2sin2y x =的图象向右平移8π个单位长度，得到2sin22sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以选项A错误； 令222,242k x k k πππππ-++∈Z ，得其增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以选项B 正确；令()0f x =得2,4x k k ππ+=∈Z ，得,28k x k ππ=-∈Z ，又[]0,x π∈． 所以x 可取37,88ππ，即有2个零点，所以选项C 正确； 由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π得322,,sin 24444x x ππππ⎡⎡⎤⎛⎫+∈-+∈-⎢ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以()2,1f x ⎡⎤∈-⎣⎦，所以选项D 错误．故选：BC ． 13．3π 【分析】根据扇形的面积公式即可计算. 【详解】306πα==,221163226S r παπ=⋅⋅=⋅⋅=. 故答案为：3π. 14．1或 【分析】由题意可知222222sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos sin cos αααααααααα-⋅--⋅-=+，把式子化简成22tan 2tan 3tan 1ααα--+，求出tan α的值，进而求出tan 22tan 1αα+-的值即可.【详解】解：由题意可知222222sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos 0sin cos αααααααααα-⋅--⋅-==+，即22tan 2tan 30tan 1ααα--=+，解得tan 3α=或tan 1α=-， 若tan 3α=，则sin 2cos tan 23212sin cos 2tan 1231αααααα+++===--⨯-；若tan 1α=-，则()sin 2cos tan 21212sin cos 2tan 12113αααααα++-+===---⨯--故答案为：1或13-.152【分析】根据图象求出A 、ω、φ，然后可得答案. 【详解】由图象可知，2A =，52882T ππππω=-==，△2ω=，由()28f π=， 得2282k ππφπ⨯+=+，k Z ∈，解得24k πφπ=+，k Z ∈，△||2πφ<，△4πφ=，△()2sin(2)2444f πππ=⨯+=216．53【分析】先求出()y f x =的解析式，由()2f α2sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭26f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭整理为23cos 463f ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式即可求解.【详解】解：将函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平行移动6π个单位长度，得到函数()3sin 26y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象，若()3sin 226f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭23sin 223sin 43cos 43cos 4666633f ππππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦225312sin 2312693πα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：53. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件选择合适的公式进行化简计算．17．23A =6π=ω，MP =5km ． 【分析】曲线段OSM 为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>，[]0,4x ∈的图象，由最大值得出A ，由周期求得ω，然后可求得M 点坐标，从而求得,M P 间的距离．【详解】 解：依题意，有3A =34T =，即12T =． 又2T πω=，△6π=ω，△23sin 6y x π=，[]0,4x ∈． △当4x =时，22333y π==，△()4,3M ． 又()8,0P ，△()()22228403435MP =-+-+=（km ）． 即M ，P 两点间的距离为5km ．18．（1）()21001010x x x θ+=<<+ （2）52x =，2254 【分析】（1）依题意可得BC x θ=⋅，100AD θ=，再根据30BA CD BC AD +++=，即可得到函数关系式.（2）依题意可得()()110102y x x θ=⨯+-，再利用二次函数的性质计算可得； （1）解：根据题意，可得BC x θ=⋅，100AD θ=.又30BA CD BC AD +++=，所以10101030x x x θθ-+-+⋅+=，所以()21001010x x x θ+=<<+. （2）解：依据题意，可知()()()22221111101010102222OAD OBC y S S x x x x θθθθ=-=⨯-=⨯-=⨯+-扇形扇形， 化简得22522555024y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 于是，当52x =（满足条件010x <<）时，max 2254y =. 所以当52x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2254. 19． （1）()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （2）对称轴：,212k x k Z ππ=+∈，对称中心：,1,26k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ （3）30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）由函数图象变换结论求得函数()y g x =的解析式；（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心；（3）求条件可得()2,2,2,4322x k k k ωπωπππωππ⎡⎤⎡⎤∈-⊆-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，由此可求ω的取值范围. （1）()2sin2,2sin 2,12sin 216363f x x f x x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴+=+∴++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2） 2,,,32212k x k k Z x k Z πππππ+=+∈∴=+∈.即对称轴为,212k x k Z ππ=+∈又2,,,326k x k k Z x k Z ππππ+=∈∴=-∈.即对称中心为：,1,k 26k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ （3） 0,ω>∴当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 2,43x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 2,,422232k k k ωπππωπππ⎧-≥-∈⎪⎪∴⎨⎪≤+⎪⎩Z解得303,4k k ω<≤+∈Z . 又2112,34122T ππππω+=≤= 243,0114ωω∴≤∴<≤ 即ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 20．（1）()2sin(2)6f x x π=+； （2）13,,2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】(1)先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求A 的值，即可得解函数解析式．(2)先求g (x )的最简式，再根据正弦型函数的减区间的求法求解.（1）由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为2π， △()f x 的最小正周期22,22T Tπππω=⨯===. 此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②： △()f x 的最小值为A -，△2A =．△()f x 图象的一个对称中心为5(12π，0)， △52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， △56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，△||2ϕπ<，△6π=ϕ，此时1k =， △()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：△()f x 的最小值为A -，△2A =．△函数()f x 的图象过点5(6π，1)-， 则5()16f π=-，即52sin()13πϕ+=-，51sin()32πϕ+=-． △||2ϕπ<，△7513636πππϕ<+<， △51136ππϕ+=，6π=ϕ， △()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：△函数()f x 的一个对称中心为5(12π，0)， △52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， △5()6k k Z πϕπ=-∈． △||2ϕπ<，△6π=ϕ，此时1k =． △()sin(2)6f x A x π=+．△函数()f x 的图象过点5(6π，1)-， △5()16f π=-，即sin(A 5)136ππ+=-，11sin 16A π=-，△2A =， △()2sin(2)6f x x π=+． 综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.（2）由(1)知，()2sin(2)6f x x π=+，△()()π2cos 26g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭π2cos 26x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=5222226412x x πππ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由531322221222424k x k k x k πππππππππ+≤+≤+⇒+≤≤+，△g (x )的单调递减区间为：13,,2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.21．（1）4π；（2）存在，2m =-.【分析】(1)根据cos(α＋β)的值求αβ+的大小；(2)利用换元法求解，令sin cos x x t +=即可﹒（1）△α､(0)2πβ∈，，且sin 5α，sin 10β=， △2cos 1sin 5αα=-=2cos 1sin 10ββ=-， 则2cos()cos cos sin sin 2510510αβαβαβ+=⋅-⋅==，△(0)αβπ+∈，，△4παβ+=；（2）由(1)得4πγ=，则[0]4x π∈，，设sin cos x x t +=， △2)4t x π=+， △[]442x πππ+∈，，△2]t ∈，，△sin cos x x t +=，△2sin 21x t =-， △222()sin 2sin cos (1)222m m mt t mf x x x x t t +-=⋅++=-+=， 令22()2mt t mg t +-=，2]t ∈，，当0m =时，()g t t =，min ()(1)121g t g ==(舍)，当0m >时，()g t 函数图像的对称轴方程为10t m =-<， △min ()(1)121g t g ==≠(舍)，当0m <时，此时()g t 函数图像的开口向下， △{}min ()min (1),(2)g t g g =，又(1)1g =， △22(2)21m g +==，解得20m =-<，符合题意， △存在2m =-，使得()sin cos sin cos f t m x x x x =⋅⋅++21.22．（1）54；（2）4tan 3x =- ． 【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解；（2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O 的距离2243155r ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由三角函数定义有4cos 5x r α==， ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---；（2）△0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=， △242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x <<， △sin 0x >，cos 0x <，△sin cos 0x x ->，△()()22sin cos sin cos 2x x x x -++=， △7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=， △4sin 5x =，3cos 5x =-，△4x=-．tan3。