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第三章 空间向量与立体几何1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算． 第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示,M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。
解 错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝12错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!)＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。
点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．第2层化简向量例2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1）错误!＋错误!＋错误!;（2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）；（3）错误!－错误!（错误!＋错误!)．解(1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
(2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（3) 错误!－错误!（错误!＋错误!）＝错误!－错误!＝错误!。
错误!、错误!、错误!如图所示．点评要求空间若干向量之和,可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0。
课时作业(十六) 空间向量及其加减运算A 组 基础巩固1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，极点连结的向量中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：与向量AD →相等的向量有BC →，A 1D 1→，B 1C 1→，共3个． 答案：C2．空间四边形ABCD 中，M ，G 别离是BC ，CD 的中点，那么MG →－AB →＋AD →＝( ) A ．2DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG →解析：MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 答案：B3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，那么四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形解析：∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以下各式的运算结果为向量AC 1→的共有( ) ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：依照空间向量的加法法那么及正方体的性质，一一判定可知①②③④都是符合题意的． 答案：D5．空间四边形ABCD 中，假设E ，F ，G ，H 别离为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，那么以下各式中成立的是( ) A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0解析：由于E ，F ，G ，H 别离是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，因此四边形EFGH 为平行四边形，其中EH →＝FG →，且FC →＝BF →，而E ，B ，F ，G 四点组成一个封锁图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0.答案：B6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，那么在以下各结论中正确的结论共有( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 答案：C7．如下图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是__________向量，AB →与B ′A ′→是__________向量(用“相等”“相反”填空)．答案：相等 相反8．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，假设CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，那么A 1B →＝________.解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b9．以下说法中，正确的个数为________个．①假设两个空间向量相等，那么它们的起点相同，终点也相同； ②假设向量AB →，CD →知足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，那么AB →＞CD →；③假设两个非零向量AB →与CD →知足AB →＋CD →＝0，那么AB →与CD →为相反向量．解析：①错误．两个空间向量相等，其模相等，且方向相同，与起点和终点的位置无关； ②错误．向量的模能够比较大小，但向量不能比较大小； ③正确.AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →且AB →，CD →为非零向量，因此AB →与CD →为相反向量． 答案：110．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简以下向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →－C 1C →； (2)AB →－DA →－A 1A →.解：(1)AB →＋BC →－C 1C →＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→(如图)．(2)AB →－DA →－A 1A →＝AA 1→＋(AB →＋AD →)＝AA 1→＋(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→(如图)．B 组 能力提升11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以下各式中运算结果为BD 1→的是( ) ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB → ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→ ③(AD →－AB →)－2DD 1→ ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→ A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：关于①，(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；关于②，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.应选A.。
(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32 B ．22C. 3D ．3 2【解析】 两平面间的距离d ＝|OA →·n ||n |＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)， ∴a ＋b ＝(－5,9，－2)． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( )【导学号：15460084】A.16 B ．56 C.76D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－A 1A →＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→B ．AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D ．AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设BC 的中点为D ，则D (2,1,4)， ∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝－2＋－2＋22＝3，即BC 边上的中线长为3.【答案】 B8．若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－11D ．3或－11【解析】 因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A. 【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63 B ．255C.155D ．105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B ．33 C.23D ．13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC→|n ||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A BD P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，x ，y ，z－3，4，＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32，∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【导学号：15460085】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 2，C (－1,0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】 容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2,1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ . 18. (本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB 1→·BA → ＝BB 1→·BC →＝0，所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA → ＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝3， 所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. 19.(本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面PAC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A 的余弦值． 【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC . 又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3. 又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)． 故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为AP →＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64. 由图知二面角C PB A 为锐角，故二面角C PB A 的余弦值为64.20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面PAC ；(2)若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为55，求二面角A PC D 的余弦值． 【解】 (1)证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥PA ， ∴PA ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0,2,0)，E (2,1,0)，C (2,4,0)，P (0,0，λ)， ∴AC →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，λ)，DE →＝(2，－1,0)， ∴DE →·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP →＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面PAC .(2)由(1)知，平面PAC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2,1，－λ)， 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0,0,2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2,2,0)，DP →＝(0，－2,2)， 由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A PC D 的平面角是锐角， ∴二面角A PC D 的余弦值为155. 21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面PAD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E BD C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，PA ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，则b ＝2a . ①PD →＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a 222a ·5a ＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ②在平面BDE 和平面BDC 中，BE →＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a,0)，BC →＝(a,2a,0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E BD C 的余弦值为66. 22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)．(1)当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC 1→＝(－2,0,2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0， 于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角， 则m·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．。
3.2。
3 空间的角的计算［学习目标] 1。
理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题。
3。
掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一 两条异面直线所成的角（1）定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角．（2）范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝｜cos φ|＝错误!.知识点二 直线与平面所成的角(1）定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤错误!.(3）向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝｜cos φ｜＝错误!或cos θ＝sin φ。
知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：［0，π］．（2）二面角的向量求法：①若AB，CD分别是二面角α—l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A，C),如图,则二面角的大小就是向量错误!与错误!的夹角．②设n1、n2是二面角α-l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图,在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0，0)，B（2，0，0），C(0，2,0），D(1,1，0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以错误!＝(2,0，－4），错误!＝（1，－1，－4）．因为cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为错误!。
4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点课时目标 1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单的应用.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题．1．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到________________的距离与它到____________的距离之比为定值e.当__________时，该圆锥曲线为椭圆；当________时，该圆锥曲线为抛物线；当________时，该圆锥曲线为双曲线．2．曲线的交点设曲线C 1：f(x ，y)＝0，C 2：g(x ，y)＝0，M(x 0，y 0)是C 1与C 2的公共点Error!，故 求曲线交点即求方程组Error!的实数解．一、选择题1．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1、e 2、e 3、e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 32．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x|(k ∈R 且k ≠0)的公共点的个数为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知双曲线－＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与x 2a 2y 2b 2双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)4．已知抛物线C 的方程为x 2＝y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公12共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.∪(－∞，－22)(22，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)22D ．(－∞，－)∪(，＋∞)225．若直线y ＝mx ＋1和椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，那么m 2的值为( )A. B. C. D.122334456．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝2 D ．x ＝－2题 号123456答 案二、填空题7．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______．8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标x 25y 24原点，则△OAB 的面积为______．9．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_ _____________．三、解答题10．中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x ＋y －1＝0相交32于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．能力提升12．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与3抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比等于( )S △BCFS △ACF A.B.C.D.4523471213．设双曲线C ：－y 2＝1 (a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .x 2a 2(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若设直线l 与y 轴的交点为P ，且＝，求a 的值．PA → 512PB→1．圆锥曲线共同特征的应用在涉及到求圆锥曲线上的点到该曲线的焦点的距离时，可以借助圆锥曲线的共同特征将其转化为求该点到定直线的距离，这样只要知道该点的横坐标即可．2．直线与圆锥曲线位置关系的判定判断直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线方程代入曲线方程，消元后得关于x (或y )的方程，当二次项系数不为零时，可由判别式Δ来判断．当Δ>0时，直线与曲线相交；当Δ＝0时，直线与曲线相切；当Δ<0时，直线与曲线相离．3．“点差法”的应用用“点差法”求弦中点和弦斜率．设弦端点坐标，分别代入圆锥曲线方程，作差、变形，结合中点坐标公式和斜率公式，可以建立中点坐标与斜率的关系式，在此关系式中若知中点坐标可求斜率，若知斜率可求弦中点的轨迹方程．4．2 圆锥曲线的共同特征4．3 直线与圆锥曲线的交点知识梳理1．一个定点 一条定直线 0<e<1 e ＝1 e>12．f(x 0，y 0)＝0 g(x 0，y 0)＝0作业设计1．C [椭圆中，b ＝，所以e 越大，则c 越接近a ，则b 越小，椭圆越扁，所以a2－c2e 1<e 2；双曲线中，e 越大，开口越大，因此e 4<e 3，因此选C .]2．D [9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x|⇒9k 2x 2－18k 2|x|＋y 2＝0⇒9k 2(x 2－2|x|)＋y 2＝0，x 2＝|x|2.∴上式变为9k 2(|x|－1)2＋y 2－9k 2＝0.∴9k 2(|x|－1)2＋y 2＝9k 2.即(|x|－1)2＋＝1.①y29k2∵是选择题，故不妨设k ＝1，则①变为(|x|－1)2＋＝1，y29当x>0时，曲线为(x －1)2＋＝1；y29x<0时，为(x ＋1)2＋＝1.y29作出图像与y ＝2相交得交点为4个．]3．D [过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应大于等于l 的倾斜角，又l 的倾斜角是60°，从而≥，b a 3故≥2.]c a 4．D [过A 、B 的直线方程为y ＝x －1代入x 2＝y ，得：2x 2－x ＋1＝0，由题意知4t 124tΔ＝－8<0，16t2∴t 2>2，即t>或t<－.]225．C [由Error!得x 2＋4(mx ＋1)2－1＝0，即(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，由Δ＝64m 2－12(4m 2＋1)＝0，得m 2＝.]346．B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为(，0)，p 2∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －，即x ＝y ＋，将其代入y 2＝2px 得p2p2y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]y1＋y227.12解析 由已知，得c ＝2，＝3⇒b 2＝3a ⇒a 2－4＝3a ⇒a ＝4，e ＝＝＝.b2a c a 24128.53解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，椭圆＋＝1的右焦点为F(1,0)，过F(1,0)且斜率为x25y242的直线方程为y ＝2(x －1)，即y ＝2x －2.代入4x 2＋5y 2＝20得4x 2＋5×4(x 2－2x ＋1)＝20.∴x 1＝0，x 2＝.∴y 1＝－2，y 2＝.5343∴A(0，－2)，B .(53，43)∴|AB|＝＝.259＋1009553又点O(0,0)到y ＝2x －2的距离为d ＝.25∴S △OAB ＝|AB|·d ＝××＝.121255325539．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x －4y ＝4，x －4y ＝4，212122两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为线段AB 的中点为P(8,1)，所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以＝＝2.y1－y2x1－x2x1＋x24(y1＋y2)所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0.10．解 设椭圆方程＋＝1 (a>b>0)．x2a2y2b2∵e ＝，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b.32∴椭圆方程为＋＝1.x24b2y2b2把直线方程代入化简得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝(4－4b 2)．8515∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝(1－4b 2)．15由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝，a 2＝.5852所以椭圆方程为x 2＋y 2＝1.258511．解 方法一 (用韦达定理解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k(x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由Error!得(2－k 2)x 2－2k(2－k)x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则1＝＝，x1＋x22k (2－k )2－k2∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．12∵x 1≠x 2，∴＝，y1－y2x1－x22(x1＋x2)y1＋y2∴k AB ＝＝1，2×1×22×2∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－＝1满足Δ>0.y22∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.12．A [如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y ＝k(x －)，代入y 2＝2x 并整理，33得k 2x 2－(2k 2＋2)x ＋3k 2＝0，3则x 1＋x 2＝.23k2＋2k2因为|BF|＝2，所以|BB ′|＝2.不妨设x 2＝2－＝是方程的一个根，1232可得k 2＝，3(32－3)2所以x 1＝2.＝＝＝S △BCFS △ACF 12|BC|·d12|AC|·d|BC||AC||BB ′||AA ′|＝＝.]22＋124513．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得Error!有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴Error!解得－<a<且a ≠±1.22又∵a>0，∴0<a<且a ≠1.2又∵双曲线的离心率e ＝＝ ，1＋a2a1a2＋1∴e>且e ≠.622∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是∪(，＋∞)．(62，2)2(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)．∵＝，∴(x 1，y 1－1)＝(x 2，y 2－1)，PA → 512PB→ 512由此可得x 1＝x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，512且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝x 2＝－，17122a21－a2x 1x 2＝x ＝－，消去x 2得－＝，51222a21－a22a21－a228960即a 2＝.289169又∵a>0，∴a ＝.1713。
第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量 的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________. 加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝________(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD→ D .2OD→4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D B u u u u rC.1B D u u u u rD. 1DB u u u u r6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF→＋GH →＋PQ →＝0 B.EF→－GH →－PQ →＝0C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B u u u u u r的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG u u u r ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段 ②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等 (4)相等 相反 －a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．] 5．A[如图所示， ∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→， BA 1→＋BC →＝BD →1， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.] 7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →| ＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|. 8．重心 解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC→＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心． 9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点， 则AO →＝12AC'→＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→)＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。
3．1.4 空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z 轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k 作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57] 空间向量的坐标表示[例1] AB 、PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC ) ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD ) ＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点．∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3，∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D )＝－[1OO ＋12(＋)] ＝－1OO －12－12. 又|1OO |＝4，||＝4，||＝2，∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝－1OA ＝－(＋1AA )＝－－1AA .又||＝2，||＝4，|1AA |＝4，∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解：由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c .由向量分解的惟一性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1. ∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1). 空间向量的坐标运算[例2] 已知a 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似．[精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求：(1)a －(b ＋c )；(2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)＝2(AB －AC )；(2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)，又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)，∴AB －DC ＝(9,8，－3)，∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2). 空间向量的平行[例3] ，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥且AD 不平行BC ，或证AB ∥且|AB |≠||即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行．∴四边形ABCD 为梯形．[一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；(2)写出相应向量的坐标；(3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值．解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2)＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k－7，∴k ＝－13. 7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)．∵PA ＝2PA 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，2，23＝.∴PQ ∥. ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32. 答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73) 6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．解：如图，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设AD ＝e 1，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A xyz .因为DC ＝AB ＝e 2， MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC ) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3. 所以MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)＝12(AB －AC )； (2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)．(1)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点，∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)， EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3. ∴λ＝12. 此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
课时作业(十七) 空间向量及其运算A 级1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝322．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线 D ．O ，A ，B ，C 四点不共面3．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．637C.647D ．6575．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线； ②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，M 为AC 1与CA 1的交点，则M 点的坐标为________．7．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________． 8．已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.9．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.10．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b .(O 为原点)11.(2012·延安调研)如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 级1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－A B →；②(B C →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④2.如图平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，∠A ′AB ＝∠A ′AD ，∠BAD ＝π3，AB ＝AD ＝a ，AA ′＝b ，则对角面BB ′D ′D 的面积为________．3.如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E ，F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1，E ，F ，C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.详解答案课时作业(十七)A 级1．C ∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝2λx －2y ＝λ，9＝3λ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－32.2．D OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．3．B 由题意得AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →， ∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．∴AB ∥CD .4．D 由于a ，b ，c 三向量共面．所以存在实数m ，n 使得c ＝m a ＋n b ， 即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.故选D.5．C 对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确．6．解析： 由长方体的几何性质得，M 为AC 1的中点， 在所给的坐标系中，A (0,0,0)，C 1(2,3,2)，∴中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 7．解析： 设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3. 由两点间距离公式可得|PD →|＝773.答案：7738．解析： ∵A ，B ，C ，D 四点共面， ∴OA →＝mOB →＋nOC →＋pOD →，且m ＋n ＋p ＝1.由条件知OA →＝－2xOB →－3yOC →－4zOD →，∴(－2x )＋(－3y )＋(－4z )＝1.∴2x ＋3y ＋4z ＝－1. 答案： －19．解析： 设AB →＝b ，AC →＝c ，AD →＝d ， 则CD →＝d －c ，BD →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝b ·(d －c )＋d ·(c －b )－c ·(d －b )＝0. 答案： 010．解析： (1)∵a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)， ∴2a ＋b ＝(0，－5,5)，∴|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝5 2.(2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则AE →＝λAB →， 即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ－3y ＝－λ－1z ＝－2λ＋4，∴E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，∴OE →＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，又∵b ＝(－2,1,1)，OE →⊥b ， ∴OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0， ∴λ＝95，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25，∴在直线AB 上存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25，使OE →⊥b .11.证明： (1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC→＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)．∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ，又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，∴EF ∥平面PAB .(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， ∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面PAD . ∵DC ⊂平面PDC ，∴平面PAD ⊥平面PDC .B 级1．A ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(B C →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(A D →－A B →)－2DD 1→＝B D →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→， 综上①②符合题意．2．解析： ∵BD →＝AD →－AB →，∠A ′AB ＝∠A ′AD ，AB ＝AD ＝a ，AA ′＝b ， ∴AA ′→·BD →＝AA ′→·(AD →－AB →)＝ab (cos ∠A ′AD －cos ∠A ′AB )＝0， ∴AA ′⊥BD ，∵AA ′∥DD ′，∴DD ′⊥BD ，所以对角面BB ′D ′D 是矩形，它的面积是ab . 答案： ab3．解析： (1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )， ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明：∵A 1，E ，F ，C 1四点共面，∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面． 选A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在惟一实数对(λ1，λ2)， 使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.。
