正弦稳态交流电路 电路

Z0 7.11 0.8o 0.5 j1.5 7.11 j0.1 7.61 j1.4 7.7410.4o
电路的总电流为：
•
•
I
U Z
1270o 7.7410.4o
16.4 10.4o A
各支路电流为：
•
I1
Z2 Z1 Z2
•
I
10.1237.8o 16.1 6.4o
16.4 10.4o
b
rsin
r
θ
O
PA
a ＋1
2.复数的表示形式 (1)代数形式 (2)三角函数形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
A a jb A r cos jr sin
A re j
A r
3.复数的运算法则
设 A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r22
（1）复数的加减法 A B (a1 a2 ) j(b1 b2 )
（2）复数的乘除法
A B r11 r22 r1 r2(1 2 )
A B
r11 r22
r1 r2
(1 2 )
二.正弦量的相量表示 1.正弦量的相量表示形式
造一个复函数 i(t) 2I(t i ) 2I cos(t i ) j 2I sin(t i )
i(t) 2I sin(t i )
(t 1) (t 2 ) 1 2
0 表 明 1 超 前 2 角
0 表 明 1 滞 后 2 角
0 表明1与2同相
π 2
表明1与2正交
π 表 明 1 与 2反 相
i i1
i1
i
0 O
ii21ii22ψ
= +/2
i1比i1i2与超i前t2 同相
tt
i3
i1 与 i3 反相
注意
u
)
2I sin(t i )
a. 频率相同 c. 有效值关系： d. 相量关系：
b. 初相相同 θu θi
U IR
•
•
UR I R
•
UR
•
I
θu θi
(c) 相量图
二.电感元件电压、电流关系的相量形式
设在电感元件的交流电路中，电压、
i
电流参考方向如图所示。
＋
基本关系式： u L di
•
IZ
n
Z Z1 Z2 Zn Zk k 1
4.阻抗并联
（a） I& 多阻抗 并联电 路
In
Zn
I&2 Z2 I&1
Z1
U
I
（b）
+
等效电路 U
Z
–
•• •
•
I I1 I2 In
•
•
•
U U U
Z1 Z2
Zn
•
U (Y1 Y2 Yn )
•
UY
n
Y Y1 Y2 Yn Yk k 1
dt
uL
－
设 i 2I sin(t i )
di
uL dt
2LIc os(t i )
2LI sin(t i 90)
2U sin(t u )
a. 频率相同
b. 初相关系 θu θi 900
c. 有效值关系： U LI
d. 相量关系：
i
＋
u
L
－
(a)纯电感电路
•
•
UL jL I
第三章 正弦稳态电路的相量分析法
3.1 正弦稳态交流电路的基本概念 3.2 正弦量的相量表示 3.3 R、L、C各元件的相量模型 3.4 复阻抗、复导纳及正弦电路的相量分析法 3.5 正弦交流电路的功率 3.6 谐振电路 3.7 三相电路 3.8 互感耦合电路
3.1 正弦交流电路的基本概念
一.正弦量的三要素 1.几个概念 正弦量
c. 有效值关系： U 1 I
C
d. 相量关系：
•
UC
j
1 C
•
I
i
＋
u
C
－
(a)纯电容电路
•
I
＋
•
U
－
-jXC
(b)相量模型
•
I
•
U
θu
＋1
(c)相量图
电容的阻抗ZC为
•
ZC
U
•
I
1
jC
电容阻抗的模 ZC 称为容抗，用XC表示
XC
1
C
所以
•
•
UC jXC I
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U、I表示，
二. 简单正弦交流电路的分析
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路 参数用复阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、 公式、分析方法都能用。具体步骤如下：
1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
R
R
、
L
jX
、
L
C
jX C
u U、 i I、 e E
2.根据相量模型列出相量方程式或画相量图 3.用复数进行相量运算或相量图求解
U .
电阻R
I
相量关系
•
•
UR I R
.
i u
U
L U IL IX L
.
i
I
1
u
C U I ωC XC I
感抗
. X L L
I
•
•
UL j XL I
容抗
. U
XC
1
C
•
•
UC jXC I
3.4 复阻抗、复导纳及简单正弦电流电 路的分析
一. 复阻抗、复导纳及阻抗的串、并联
1.复阻抗Z，单位Ω（欧姆）
i
设在电容元件的交流电路中，电压、
＋
电流参考方向如图所示。
u
C
基本关系式: i C du
－
dt
设：u 2U sin(t u )
则：
i C du dt
2UCcos(t u )
2U C sin(t u 90)
2I sin(t i )
a. 频率相同 b. 初相关系 θu θi 900
10.333.8o
A
•
I2
Z1 Z1 Z2
•
I
11.31 45o 16.1 6.4o
16.4 10.4o
11.5 49o
A
各支路电压为：
•
•
U0 Z0 I 1.5871.6o 16.4 10.4o 25.961.2o V
•
•
U1 Z1 I1 11.31 45o 10.333.8o 116.5 11.2o V
所以电压u的初相为-125°, 电流i的初相为45°。
ui u i 125 45 170 0
表明电压u滞后于电流i 170°
3.2 正弦量的相量表示
一.复数的表示形式及运算规则
1.复数
A a jb
＋j b
r A a2 b2 arctan b ( π)
a
a rcos
试用相量表示 i, u 。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
例.
•
已知I 5015o A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式
解：
i 50 2sin(314t 15o ) A
2.相量图
相量图：把画在同一复平面上表示正弦量相量的
图称为相量图。
Attention: 相位的幅角应以逆时针方向的角度为
4.将结果变换成要求的形式
Review: 1.元件的相量模型：
电阻
电感
U&R I&R
U&L j X L I&
电容
U&C jXC I&
Uθu
θi IR
I
U
θu θi 90o U LI
U I
复阻抗： ZR R ZL jL
θu θi 90o
U
I C
I
U
1
ZC j C
电阻相量模型
a．只有同频率的正弦信号才可以比较相位
b．超前与落后是相对的。一般限定相位差在2范
围内，取 。
例
已知 u 220 2 sin(t 235)V ,
i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
解
u 220 2 sin(t 235)V
220 2 sin(t 125)V
•
I Ii
还原时应将 时间项加上
i(t) 2I sin(t i )
有效值
初相位
•
I Ii
正弦量的相量 表示:
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相
•
u(t) 2U sin(t u ) U Uu
例. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
正弦电压有效值
U Um 2
U 2 T T u2 dt
R
0R
正弦电流有效值
I Im 2
常用的交流仪表所指示的数字均为有效值。
⑵.周期、频率和角频率ω
周期T 正弦量完成一个循环所需的时间。 单位：s。
频率f 正弦量每秒内变化的次数，单位：Hz。 f 1 T
角频率ω 正弦量在单位时间内变化的弧度，单位rad/s
电路参数用复数阻抗（ R R , C jXC , L jX L ) 表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相 似。
复数形式的欧姆定律
U&R I&R
电阻电路
U&C jXC I& U&L j X LI&
电容电路
电感电路
电路 i u
总结
电压和电流的大 小关系
相位关系
阻抗
U IR
.
UO 设：UAB 100 0V
I1
由已知 条件得：
I1 10A 、领先 90°
I2 100
10 52 52
2A
•
I
＋
•
U
jωL
－
电感相量模型
•
I
＋
•
U
-jXC
－
电容相量模型
2.阻抗的串、并联：
串联 并联
n
Z Z1 Z2 Zn Zk k 1
n
Y Y1 Y2 Yn Yk k 1
•
例3-3 电路如图所示，端口电压为U 1270o V，试求各 支路电流及电压。
解 图中注明的各段电路的复阻抗为：
正弦量的波形图
i
Im
t
θi
相量表示
e.g.
＋
•
u
i(t) 2I sin(t i ) I Ii －
•
u(t) 2U sin(t u ) U Uu
R1 i1
i2
i3
R2
R3
相量图 相量和复数一样可以在复平面上用有向线段表示
＋j
•
U
θu
O
＋1
•
I • U
θi θu
＋1
符号说明
瞬时值---小写
•
I
＋
•
U
jωL
－
(b)相量模型
•
U
•
I
θi
＋1
(c)相量图
复阻抗：在交流电路中，电压相量与电流相量的比
值,简称阻抗，用Z 表示，单位Ω（欧）。
举例
电感的阻抗ZL为
•
ZL
U
•
jL
I
电感阻抗的模 ZL 称为感抗，用XL表示
所以
X L L
•
•
U L jX L I
三.电容元件电压、电流关系的相量形式
u、i
有效值---大写
U、I
最大值---大写+下标
相量---大写+“·”
Um、Im
•
U
3.3 R、L、C各元件的相量模型
一.电阻元件电压、电流关系的相量形式
设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方
向ห้องสมุดไป่ตู้图所示。
根据欧姆定律 u iR
i
R
u
u 2U sin(t u )
则 i u R
2U R
sin(t
ZR R
ZC
j
1
C
ZL jL
2.复导纳Y：复阻抗的倒数，单位S（西门子）
YR
1 R
YC jC
YL
j
1
L
3.阻抗串联
. I
（a）
多阻抗
. U
串联电
路
. U1
Z1
. U2
Z2
…
. Un Zn
（b） 等效电 路
I
+
U
Z
–
•
•
•
•
U U1U 2U n
•
•
•
I Z1 I Z2 I Zn
•
I (Z1 Z2 Zn )
u(t) Um sin(t u ) Um sin[(t T ) u ]
∴ 2 2f
T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 KHz - 3×104 MHz
⑶.初相
相位： t
初相： ，规定
Z0 (0.5 j1.5) 1.5871.6o Z1 (8 j8) 11.31 45o
Z2 (8 j6.2) 10.1237.8o
电路的等效复阻抗为：
Z
Z0
Z1Z 2 Z1 Z2
Z0
11.31 45o 10.1237.8o 8 j8 8 j6.2
Z0
114.5 7.2o 16.1 6.4o
正弦量的瞬时值
正弦量的波形 正弦量的解析式
直流电路 U/I
O
t
正弦交流电路波形 ui
+ O
t
正弦电压u(t)的解析式为 u(t) Um sin(t u ) 正弦电流i(t)的解析式为 i(t) Im sin(t i )
2.正弦量的三要素
振幅、角频率、初相位
⑴.振幅 Um(或 Im) 正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值。 振幅规定用大写字母并加下标m表示，为正值。
例 下图中已知：I1=10A、UAB =100V，
求： A 、UO 的读数
利用相量图求结果
j10
I&1
C1 I& A A I&2
C2
B
5 j5
UO
解 利用相量图求解
I&1
j10
C1
A I&
A
I&2
C2
已知： I1=10A、 UAB =100V，
求：A、UO的读数
B
Uo UC1 UAB
5 j5
正弦零值：靠近计时起点最近的，负值向正值变 化所经过的零值。
若零值在坐标原点左侧，θ >0 若零值在坐标原点右侧，θ <0
i(t)=Imsin(ω t+ θi)
i
i
Im
t
00 0 0
t
θi
波形图
θi
=ψθ0i θi
=/2
θi =-/2
一般 | θ |
二.相位差
相位差： 两个同频率正弦量的相位之差。
正，顺时针方向的角度为负。
＋j
e.g.
·I
•
I
10
30 5
230 A
30°
2
O
45°
＋1
•
U
220
2 45V
2
U·
注意
只有正弦量才能用相量表示； 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； 相量只是表示正弦量，不是等于正弦量。
Review: 正弦量的表示方法
正弦量解析式（瞬时值表达式）
e.g. 正弦电流 i(t) Im sin(t i )