高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试题

东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题

一、选择题（本大题8 小题 , 每小题 5 分，共 40 分）

1、若a ,b , c是空间任意三个向量 ,R ,下列关系式中,不成立的是（）

A．a b b a B． a b a b

C．a b c a b c D．b a

2、给出下列命题

①已知 a b ,则 a b c c b a b c ;

②A、B、M 、N 为空间四点 ,若BA, BM , BN不构成空间的一个基底 ,则 A、B、M、N 共面 ;

③已知 a b ,则 a, b 与任何向量不构成空间的一个基底;

④已知a,b, c 是空间的一个基底,则基向量a, b可以与向量m a c 构成空

间另一个基底 .

正确命题个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3、已知a, b均为单位向量 ,它们的夹角为 60 ,那么a3b 等于（）

A．7B．10C．13D．4

4、a1, b 2, c a b, 且 c a ,则向量 a与b 的夹角为（）

A．30B．60C．120D．150

5、已知a3,2,5 , b 1, x, 1 , 且 a b 2 ,则x的值是（）

A．3B．4C．5D．6

6、若直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为n,则能使l //的是（）

A．a1,0,0 , n2,0,0B．a1,3,5 , n 1,0,1

C．a0,2,1 , n1,0, 1D．a1, 1,3 , n0,3,1

7、在平面直角坐标系中 ,A( 2,3), B(3, 2) ,沿x轴把平面直角坐标系折成120

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的二面角后 ,则线段 AB 的长度为（）

A．2B．2 11C．3 2D．4 2

、正方体ABCD-AB

11C1D1的棱长为 1,E 是 A中点 ,则 E 到平面 ABC的距离

8 1 B11D1是（）

A．3

B．

2

C．

1

D．

3 2223

二、填空题（本大题共 6 小题，每空 5 分，共 30 分）

9、已知F1i 2 j3k， F22i 3 j k ， F33i 4 j5k ，若 F1 , F2 , F3共同作

用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到 N（ 3，1，2），则合力所作的功是.

10 、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知∠ BAD= ∠ A1AB= ∠

A1AD=60 ,AD=4,AB=3,AA1=5, AC1 =.

11、△ABC和△ DBC所在的平面互相垂

直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则 AD 与平面 BCD所成角的余弦值为.

12、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为 (2,1,-1),且 l⊥ ,则 m =.

13、已知 A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段 AB 的中点 M 的坐标为.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）

14、(本题满分 12分 )设空间两个不同的单位向量a x1, y1 ,0,b x2 , y2 ,0 与

向量 c1,1,1的夹角都等于 45 .

(1)求x1y1和 x1 y1的值;(2)求a,b的大小 .

15、(本题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 a 的正

方形 ,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E为 PC上的点且 CE：CP=1：4,

则在线段 AB上是否存在点 F 使 EF// 平面 PAD?

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17、(本题满分 14 分) 如图 ,四棱锥 S-ABCD的底面是矩形 ,AB=a,AD=2,SA=1,且

SA ⊥底面 ABCD,若边 BC上存在异于 B,C的一点 P,使得PS PD .

(1)求 a 的最大值 ;

(2)当 a 取最大值时 ,求异面直线 AP 与 SD所成角的大小 ;

(3)当 a 取最大值时 ,求平面 SCD的一个单位法向量n

及点 P 到平面 SCD的距离 .

18、 (本题满分14 分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直, AB2, AF=1,M是线段EF的中点.

(1)求证： AM// 平面 BDE；

(2)求证： AM⊥平面 BDF．

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19、(本题满分14 分)如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据 :

① a 3

;②a 1;③a 3 ;④ a 2 ;⑤ a 4 ; 2

(1)当在 BC边上存在点

⊥

QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值 ?请说明理由 ; Q,使 PQ

(2)在满足 (1)的条件下 ,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ与平面 ADP所成角的正切

值 ;

(3)记满足 (1)的条件下的Q 点为 Q n(n=1,2,3, ⋯ ),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点

Q n有几个 ?试求二面角Q n-PA-Q n+1的大小 ;

20、 (本题满分14 分 )如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中,∠

ABC=60 ,PA=AC=a,

PB=PD= 2a,点E在PD上,且PE：ED=2：1.

(1)证明： PA⊥平面ABCD；

(2)求以 AC 为棱 ,EAC与 DAC为面的二面角θ的大小；

(3)棱 PC上是否存在一点F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论 .

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