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第一章勾股定理
1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
A
B
C
a
b
c
弦
股
勾
勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2.勾股定理定义的应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC
∆中，90
C
∠=︒
，则c
，b
，a）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
例. 在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=5，b=12，则c=________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
3.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等
式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4
EFGH
S S S
∆
+=
正方形正方形ABCD
，22
1
4()
2
ab b a c
⨯+-=，化简
可证
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
22
1
42
2
S ab c ab c
=⨯+=+
大正方形面积为222
()2
S a b a ab b
=+=++所以222
a b c
+=
4.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么
c
b a
H
G
F
E
D
C
B
A
b
a
c
b
a
c
c
a
b
c
a
b
ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 7 24 25 ，8 15 17
注：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转
化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；
（2）验证c 2与a 2+b 2
是否具有相等关系，
