解析：由04<x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()8212282122822
82· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项
例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145
的最大值。 解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·
不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。 ∵x x <->54
540， ∴f x x x x x
()()=-+-=--+-+42145541543 ≤---+=-+=2541543231()x x ·
当且仅当54154-=-x x
，即x =1时等号成立。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离
例3. 求y x x x x =+++-27101
1()≠的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++22710115141141
5()()() 当x +>10，即x >-1时
y x x ≥+++=2141
59()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 当x +<10，即x <-1时
y x x ≤-++=52141
1()·（当且仅当x ＝－3时取“＝”号）。 ∴y x x x x =+++27101
1()≠－的值域为(][)-∞+∞，，19 。 评注：分式函数求最值，通常化成y mg x A g x B A m =+
+>>()()()00，，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b =
+11的最小值。 解法1：不妨将11a b
+乘以1，而1用a ＋2b 代换。 ()()()111112a b a b
a b +=++·· =+
++=++≥+=+12232322322
b a a b
b a a b b a a b ·
当且仅当2b a a b =时取等号，由22121122b a a b a b a b =+=⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨⎪⎩
⎪，得 即a b =-=-⎧⎨⎪⎩
⎪21122时，t a b =+11的最小值为322+。 解法2：将11a b
+分子中的1用a b +2代换。 a b a a b b b a a b b a a b
+++=+++=++≥+2212232322 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到t b a a b =+
+32，而2b a 与a b 的积为定值，即可用均值不等式求得t a b =
+11的最小值。
三、换元
例5. 求函数y x x =++225
的最大值。 解析：变量代换，令t x =
+2，则x t t y t t =-≥=+222021()，则 当t ＝0时，y ＝0
当t >0时，y t t t t =+≤=1
21
1221
24
· 当且仅当21t t =，即t =22
时取等号。 故x y =-=3224
时，max 。 评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
例6. 求函数y x x x =-+-<<21521252
()的最大值。 解析：注意到2152x x --与的和为定值。
y x x x x x x 22
2152422152421528
=-+-=+--≤+-+-=()()()
()() 又y >0，所以022<≤y
当且仅当2152x x -=-，即x =
32时取等号。 故y max =22。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
［练一练］
1. 若02<-()63的最大值。 2. 求函数y x x x =-+>13
3()的最小值。 3. 求函数y x x x =+->281
1()的最小值。 4. 已知x y >>00，，且119x y
+=，求x y +的最小值。 参考答案：1.
3 2. 5 3. 8 4.
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