高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 相似三角形的判定及有关性质练习 理 选修-创新

2017高考数学一轮复习几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质习题选修4-1A组基础巩固一、选择题1．如图，已知点A、D在直线BC上的射影分别为B、C，点E为线段AD的中点，则BE 与CE的大小关系为导学号 25402760( )A．BE＞CEB．BE＜CEC．BE＝CED．无法确定[答案] C[解析] 过点E作EF⊥BC于F，则AB∥EF∥CD.因为E为AD的中点，所以F为BC的中点．所以EF是BC的中垂线，则BE＝CE.2．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，则AD∶BF＝导学号 25402761( )A．5∶3B．5∶2C．3∶2D．2∶1[答案] B[解析] 由题可得△BEF∽△CDF，∴DCBE＝DFEF＝32，∴ADBF＝DEEF＝DFEF＋1＝52.3．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM－DN＝导学号 25402762 ( )A．6 B．3C．2 D．4[答案] A[解析] ∵E、F为BD的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF 交AD 于P ，则P 为AD 的中点，由△BCF ∽△DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点，∴BM－DN ＝12－6＝6，故选A.4．如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为导学号 25402763( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm[答案] D[解析] ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴FC ＝DE ＝5 cm.∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA.即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 5．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝导学号 25402764( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9[答案] D[解析] 射影定理得AB 2＝BD ·BC .AC 2＝DC ·BC .∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 6．(2016·梅州联考)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为导学号 25402765( )A ．13B ．635C.656D ．212[答案] C[解析] 过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD.∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13. ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 二、填空题7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________.导学号 25402766[答案] 92[解析]AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 8．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为________.导学号 25402767[答案]562[解析] ∵CD 2＝BD ·AD ， 设BD ＝2k ，则AD ＝3k ，∴36＝6k 2，∴k ＝6，∴AB ＝5k ＝5 6.∴CE ＝12AB ＝562.9．(2011·广东)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________.导学号 25402768[答案] 7∶5[解析] (1)在梯形ABCD 中，过C 作CG ∥AD 交AB 于G ，交EF 于H ，如图．则HF ＝1，GB ＝2.又EF ∥AB ，即HF ∥GB ，∴HF GB ＝CF CB ＝12，∴F 为CB 的中点，∴EF 为梯形ABCD 的中位线． 设梯形EFCD 的高为h ，则梯形ABCD 的高为2h .S 梯形ABCD ＝AB ＋CDh 2＝＋h 2＝6h ， S 梯形EFCD ＝CD ＋EFh2＝＋h 2＝5h2.所以S 梯形ABCD ∶S 梯形EFCD ＝12∶5，S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5.10．(2015·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，则AF ＝________.导学号 25402769[答案]433[解析] 设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°.又AE BE＝x3x＝13， 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE. ∴AF ＝4×13＝433.三、解答题11．如图所示，AD 、BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .导学号 25402770[证明] 在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AFGF，故AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 由射影定理，得DF 2＝AF ·BF . 故DF 2＝GF ·HF .12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：AD 3＝BC ·BE ·CF .导学号 25402771[证明] 在Rt △ABC 中，因为AD ⊥BC ， 所以AD 2＝BD ·DC ，且AD ·BC ＝AB ·AC . 在Rt △ABD 和Rt ADC 中， 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由射影定理，得BD 2＝BE ·BA ，DC 2＝CF ·AC . 所以BD 2·DC 2＝BE ·BA ·CF ·AC ＝BE ·CF ·AD ·BC ＝AD 4. 所以AD 3＝BC ·BE ·CF .B 组 能力提升1．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为导学号 25402772( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1[答案] C[解析] 要求AF ∶FD 的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D 是BC 的中点，可过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则DG ＝12EC .又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.2．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，则AFAC＝________.导学号 25402773[答案] 15[解析] 因为AD ∥BC ，所以△AEF ∽△CNF ，所以AF CF ＝AE CN， 所以AFAF ＋CF ＝AEAE ＋CN.因为M 为AB 的中点，所以AE BN ＝AMBM＝1，所以AE ＝BN ，所以AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE2AE ＋BC.因为AE ＝2，BC ＝AD ＝6，所以AF AC ＝22×2＋6＝15.3．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为点D ，且AD ＝2，AC ＝25，则圆O 的内接正方形的面积为________.导学号 25402774[答案] 50[解析] 由题意可得△ADC ∽△ACB ，由相似三角形中对应边成比例可得AB AC ＝ACAD，即AB ＝AC 2AD＝522＝10.设圆O 的内接正方形的边长为x ，则由勾股定理得x 2＋x 2＝AB 2＝100，所以圆O 的内接正方形的面积为x 2＝50.4．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .导学号 25402775求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . [证明] 设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a .(1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°得∠EFC ＝90°，故EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝FCAC·AB ＝2a ， 故AE EF＝a2a＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .5．(2015·东北三省三校第一次联合模拟)如图，PA 、PB 是圆O 的两条切线，A 、B 是切点，C 是劣弧AB (不包括端点)上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且∠DAQ ＝∠PBC .导学号 25402776求证：(1)BD AD ＝BC AC； (2)△ADQ ∽△DBQ .[证明] (1)因为PB 是切线，所以∠PBC ＝∠BDC ，又∠BPC ＝∠DPB ， 所以△PBC ∽△PDB ，所以BD BC ＝PD PB ，同理AD AC ＝PDPA. 又因为PA ＝PB ，所以BD BC ＝AD AC ，即BD AD ＝BC AC.(2)连接AB .因为∠BAC ＝∠PBC ＝∠DAQ ，∠ABC ＝∠ADQ ， 所以△ABC ∽△ADQ ，即BC AC ＝DQ AQ ，故BD AD ＝DQAQ.又因为∠DAQ ＝∠PBC ＝∠BDQ ，所以△ADQ ∽△DBQ .。

第一节相似三角形的判定及有关性质【最新考纲】 1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行线截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理．1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(3)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．定理3：三边对应成比例，两三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等．( )(2)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两个三角形相似．( ) (3)三角形相似不具有传递性．( )(4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2014·广东卷改编)如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为ABCD 的平行四边形，所以AB∥DC，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF，且CDAE ＝ABAE＝3. 因此△CDF 的面积△AEF的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.答案：93．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心，EF 与AD交于点M ，则AMDM＝________．解析：连接AE ，AF ，并延长交BC 于G ，H.因为点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心， 所以AE EG ＝AFFH ＝2，所以EF∥GH，所以AMDM ＝2.答案：24．如图所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A＝∠C，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．解析：∵PE∥BC，∴∠C ＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠P 为公共角， 所以△PDE∽△P EA ，∴PDPE＝PEPA，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案： 65．(2015·广东卷)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD________．解析：由切割线定理，EB·(AB＋EB)＝EC2又AB＝4，CE＝2 3∴EB2＋4EB＝12，解得EB＝2.连接OC，由题意得OC∥AD.所以△EOC∽△EAD.∴OCAD＝EOEA＝46，则AD＝3.答案：3一个关键平行线发线段成比例定理、射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键．两个防范1．防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应；2．防止应用射影定理时，线段的位置记错．三种方法判定三角形相似有三种常用的方法：1．两组对应角分别相等，两三角形相似；2．一组对应角相等，且角的两边对应成比例，两三角形相似． 3．三边对应成比例，两三角形相似．1．如图所示，已知：在R t△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB·BM＝AM·BN.证明：∵在Rt △ACM 中， CM 2＝MN·AM，又∵M 是BC 的中点，即CM ＝BM ， ∴BM 2＝MN·AM，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM·BN. 2．(2014·陕西卷改编)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，求EF 的长．解：连接EC ，BF ，如图所示．由题设，四边形BCFE 为圆的内接四边形． 因此∠AEF＝∠ACB，∠AFE ＝∠ABC. 所以△AEF∽△ACB，于是AE AC ＝EFCB又AC ＝2AE ，BC ＝6 所以EF ＝3.3．如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF·HF.证明：∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF ＋∠BAC＝90°， ∴∠H ＝∠GBF.∵∠AFH ＝∠GFB＝90°， ∴△AFH ∽△GFB.∴HF BF ＝AFGF ，∴AF ·BF ＝GF·HF.因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF·BF， 所以DF 2＝GF ·HF.4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.5．(2016·贵阳质检)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC ＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB. 所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD.6．(2016·大连模拟)如图所示，⊙O 为△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ，过点A 的直线交⊙O 于D ，交BC 的延长线于F ，DE 是BD 的延长线，连结CD.求证：(1)∠EDF＝∠CDF； (2)AB 2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形． ∴∠CDF ＝∠ABC.又∠ADB 与∠EDF 是对顶角． ∴∠ADB ＝∠EDF. 又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF，∴ABAF＝ADAB，∴AB2＝AF·AD.7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，B C＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DC B，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.8．(2016·河北衡水中学调研)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE 的延长线交BC于F.(1)求BF FC的值． (2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG∥BC，并交AF 于G 点，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE. 又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF ＝∠DEG， 所以△BEF≌△DEG，则BF ＝DG ， 所以BF∶FC＝DG∶FC.又因为D 是AC 的中点，则DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，则S△BEFS△BDC＝13×12＝16，则S1∶S2＝1∶5.。

几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定及有关性质练习 理 选修4.11．如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，AE ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则BF 的长为 ( )A .13B .43C .83D .163答案 B解析 因为DE∥BC，所以AD AB ＝AE AC ＝23.因为DF∥AC，所以AD AB ＝CFCB .两式联立可得23＝CF 4，解得CF ＝83，故BF ＝4－83＝43.2．如图所示，▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶5，若△AEF 的面积等于4 cm 2，则△CDF 的面积等于( )A ．10 cm 2B ．16 cm 2C ．25 cm 2D ．49 cm 2答案 D解析 ▱ABCD 中，△AEF∽△CDF， 由AE∶EB＝2∶5，得AE∶CD＝2∶7， ∴S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫272， ∴S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722×S △AEF ＝494×4＝49 (cm 2)．3．一个直角三角形的一条直角边为3，斜边上的高为125，则这个三角形的外接圆半径是( )A ．5B .52C .54D ．25答案 B解析 长为3的直角边在斜边上的射影为 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝95，故由射影定理知斜边长为3295＝5，因此这个直角三角形的外接圆半径为52.4. [2016·汉中模拟]如图，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF∥AB，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB 等于( )A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm答案 B解析 因为EF ＝30 cm ，即FG ＋EG ＝30 cm ， 又FG －EG ＝10 cm ，所以FG ＝20 cm . 因为E 为AD 的中点，EF∥AB， 所以F 为BC 的中点． 所以G 为AC 的中点，所以AB ＝2GF ＝2×20＝40(cm )．5．[2015·广东高考]已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.答案 8解析 由于O 为AB 的中点且BC∥OD，∴OP∥BC 且OP ＝12BC ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝15，∴CP＝12AC ＝152.又∵CD 是圆O 的切线， ∴∠ACD＝∠ABC.又∵∠DPC＝∠ACB＝90°， ∴Rt △ABC∽Rt △DCP， ∴PD AC ＝CPBC， ∴PD＝CP·AC BC ＝152×151＝152，∴OD＝OP ＋PD ＝12＋152＝8.6．[2015·湖北高考]如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________.答案 12解析 设PB ＝1，则PC ＝4. ∵PA 2＝PB·PC，∴PA＝2. ∵△PBA∽△PAC， ∴AB AC ＝PA PC ＝24＝12. 7．[2013·陕西高考]如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.答案6解析 ∵PE∥BC，∴∠PED＝∠BCE. 又∵∠BCE＝∠BAD，∴∠PED＝∠BAD. 在△PDE 和△PEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P＝∠P ∠PED＝∠EAP，∴△PDE∽△PEA，∴PD PE ＝PE PA，∴PE 2＝PD·PA＝2×3＝6，∴PE＝ 6. 8．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF·DB＝________.答案 5解析 圆的半径OC ＝3，OE ＝2，CE ＝DE ＝32－22＝ 5. 而△DFE∽△DEB，∴DF DE ＝DE DB，∴DF·DB＝DE 2＝5.9．[2015·课标全国卷Ⅱ]如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．解 (1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD 是∠CAB 的角平分线． 又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD⊥EF.从而EF∥BC. (2)由(1)知，AE ＝AF ，AD⊥EF，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE⊥AE.由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 10．[2015·江苏高考]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D.求证：△ABD∽△AEB.证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE 为公共角，可知△ABD∽△AEB.11．[2015·开封一模]如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE⊥CD，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若∠BAE＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解 (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32， 又△ABF∽△EAD，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF＝AB AE ·AD＝332.12．[2015·山西四校联考]如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E 两点．(1)求证：AB AC ＝PAPC ；(2)求AD·AE 的值．解 (1)证明：∵PA 为圆O 的切线， ∴∠PAB＝∠ACP，又∵∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA， ∴AB AC ＝PA PC. (2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴PA 2＝PB·PC，即102＝5PC ， ∴PC＝20，∴BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225. 又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝65，AB ＝35，如图，连接EC，则∠AEC＝∠ABC，又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴AEAB＝ACAD，∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.。

课时1相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等，两三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．1．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A ，B ，C ，D 四点共圆，从而∠CAB ＝∠CDB . 由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ， 因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD .2．如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，求EC 的长度．解 在Rt △ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·AC AD＝27. 3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型一 平行截割定理的应用例1 如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于点E ，F ，与CD 的延长线交于点K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ，所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DK DH .因此KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HB HA .因为KF ∥HB ，同理可得KF KO ＝HB HA .故KO KE ＝KF KO ，即KO 2＝KE ·KF .思维升华 当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的长度．(2)如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，求AB 的长．解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. (2)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.题型二 相似三角形的判定与性质例2 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED 、CB 延长线交于一点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边上的中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC，∴FD 2＝FB ·FC . 思维升华 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长．(2)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，求四边形ABCD 的面积． 解 (1)∵BC ∥PE ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A ， ∴△PDE ∽△PEA ，∴PE P A ＝PDPE，则PE 2＝P A ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6.(2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BEBD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 题型三 射影定理的应用例3 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .解 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AFAC＝x 2－1x. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2， 即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD 的长．解(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.(2)如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．直角三角形中常用的四个结论在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如图)：(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.(2)△ABC∽△ACD∽△CBD.(3)a2＝pc，b2＝qc，h2＝pq，ab＝ch(其中c＝p＋q)．(4)在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值．A组专项基础训练(时间：50分钟)1．如图，△OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO＝3，P A·PB＝4，求腰长OA的长度．解如图，作OD⊥AP，垂足为D，则PO2－PD2＝OB2－BD2，所以PO2－OB2＝PD2－BD2，因为AD＝BD，所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝P A·PB＝4，所以PO2－OB2＝4，所以OB2＝9－4＝5，所以OB＝5，所以OA＝ 5.2．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求AE的长．解 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AEAC.又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.3.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，求AD ∶BC .解 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ，∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，求△ACD 与△CBD 的相似比．解 如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得： CD 2＝AD ·BD ， 又∵AD ∶BD ＝2∶3， 令AD ＝2x .则BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 即相似比为6∶3.5．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明 ∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BDAB ，① AE EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得DF AF ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.6.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN .证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点， ∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM ，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM ·BN .B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)7.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．(1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD .∴∠ABF ＝∠CEB .∴△ABF ∽△CEB .(2)解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .∵DE ＝12CD ， ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE)2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S 四边形ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD ；(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长．(1)证明 ∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠ADE ，∴∠BF A ＝∠ADE .∴△ABF ∽△EAD .(2)解 ∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°，∴AB AE ＝sin60°＝32， 又△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE， ∴BF ＝AB AE ·AD ＝332. 9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .(1)求证：△EDM ∽△FBM ；(2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB .∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又∵AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， ∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DE BF. ∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3. 10．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ； (2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由； (3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝m n，那么你可以得到什么结论？ (1)证明 过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H .因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13， 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH . 又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ， 所以EF ＝13BC ＋23AD ， 即3EF ＝BC ＋2AD .(2)解 EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似．(3)解 因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH . 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD＝m m ＋n(BC －AD )＋AD ， 所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋nAD ， 即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。

《几何证明选讲》一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。