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提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题
|类型1| 圆与切线有关的问题
1.[xx·咸宁]如图T7-1,以△ABC的边AC为直径的☉O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作DE ∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若AB=2,BC=,求DE的长.
图T7-1
2.[xx·徐州]如图T7-2,AB为☉O的直径,点C在☉O外,∠ABC的平分线与☉O交于点D,∠C=90°.
(1)CD与☉O有怎样的位置关系?请说明理由.
(2)若∠CDB=60°,AB=6,求的长.
图T7-2
|类型2| 圆与四边形结合的问题
3.[xx·宜昌]如图T7-3,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC,以AE为直径的☉O与边CD相切于点D,B点在☉O上,连接OB.
(1)求证:DE=OE;
(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形.
图T7-3
4.[xx·镇江]如图T7-4①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的☉P 与对角线AC交于A,E两点.
(1)如图②,当☉P与边CD相切于点F时,求AP的长;
(2)不难发现,当☉P与边CD相切时,☉P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,☉P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的长的取值范围.
图T7-4
|类型3| 圆与三角函数结合的问题
5.[xx·贵港]如图T7-5,已知☉O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.
(1)求证:BD是☉O的切线;
(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的长及☉O的半径.
图T7-5
6.[xx·铜仁]如图T7-6,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作☉O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是☉O 的切线,D为切点,交CB的延长线于点E.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)求tan E的值.
图T7-6
|类型4| 圆与相似三角形结合的问题
7.[xx·通辽]如图T7-7,☉O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交☉O于点D,连接BD,CD,过点D作BC 的平行线与AC的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)求证:△ABD∽△DCP;
(3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.
图T7-7
8.[xx·苏州]如图T7-8,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD 交OE于点F.
(1)求证:△DOE∽△ABC;
(2)求证:∠ODF=∠BDE;
(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sin A的值.
图T7-8
参考答案1.解:(1)证明:连接OD,
∵AC是☉O的直径,
∴∠ABC=90°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=45°,
∴∠AOD=90°.
∵DE∥AC,
∴∠ODE=∠AOD=90°,
∴DE是☉O的切线.
(2)在Rt△ABC中,AB=2,BC=,
∴AC==5,
∴OD=.
过点C作CG⊥DE,垂足为G,
则四边形ODGC为正方形,
∴DG=CG=OD=.
∵DE∥AC,
∴∠CEG=∠ACB,
又∵∠ABC=∠CGE=90°,
∴△ABC∽△CGE,
∴=,即=,解得GE=,
∴DE=DG+GE=.
2.解:(1)CD是☉O的切线,理由如下:连接OD,则OD=OB,
∴∠2=∠3.
∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1,
∴∠1=∠3,∴OD∥BC.
∵∠C=90°,∴BC⊥CD,
∴OD⊥CD,
∴CD是☉O的切线.
(2)∵∠CDB=60°,∠C=90°,
∴∠2=∠1=∠3=30°,
∴∠AOD=∠2+∠3=30°+30°=60°.∵AB=6,∴OA=3,
∴的长=×π×3=π.
3.证明:(1)如图,连接OD,∵CD是☉O的切线,
∴OD⊥CD,
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,
又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD,
∴DE=OE.
(2)∵OD=OE,DE=OE,∴OD=DE=OE,
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,∴∠2=∠1=30°.
∵OA=OB=OE,且OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,
又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°,
∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD.
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠DAE=∠DOE=30°,∴∠1=∠DAE,
∴CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.
4.解:(1)如图,连接PF.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===8.设AP=x,则DP=10-x,PF=x.∵☉P与边CD相切于点F,∴PF ⊥CD.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.
又∵AB⊥AC,∴AC⊥CD,∴PF∥AC,
∴△DPF∽△DAC.
∴=,即=.
解得x=,即AP=.
(2) 5.解:(1)证明:连接BO并延长交AC于H,如图, 由于☉O是△ABC的外接圆,AB=BC,则BH⊥AC且AH=CH.∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形,∴AC∥BD,∴BH ⊥BD,即OB⊥BD, ∴BD是☉O的切线. (2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2AB·cos∠BAC=2×10×=12,∴BD=12. 设☉O的半径为r,且OH=x,则有r+x=BH,AH2+x2=r2,又BH===8,∴r+x=8①,又由AH2+x2=r2得(r+x)(r-x)=AH2=36, ∴r-x=②,①②联立,解得r=,∴☉O的半径为. 6.解:(1)证明:如图,连接OD,∵DF是☉O的切线, ∴OD⊥EF,∴∠ODE=90°. ∵AC=BC,∴∠ABC=∠A. ∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠A=∠ODB,
