点集拓扑学考试题目及答案
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下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题,解答是本人自己写的,可能有错误或者不足,希望对大家的考试
有帮助。
二、辨析题(每题5分,共25分,正确的说明理由,错误的给出反例)
1、拓扑空间中有限集没有聚点。
答:这个说法是错误的。
反例:x = abQ,规定拓扑,%,⑨,则当
A = :a 1时,匕和都是A的聚点。因为b和C的领域只有X 一个,它包含a,a不是A的聚点,因为A '。
2、欧式直线E1是紧致空间。
答:这个说法是错误的。
反例:对E1而言,有开覆盖」1-n,n|n Z ]而对于该开覆盖没有有限子覆盖。
3、如果乘积空间X Y道路连通,则X和Y都是道路连通空间。
答:这个说法是正确的。
证明:对于投射有RX Y = X , P2 X Y=Y,由投射是连续的,又知X Y是道路连通,从而像也是道路连通空间,所以X和Y都是道路连通空间。
4、单位闭区间I与S1不同胚。
答:这个说法是正确的。
下面用反证法证明,反设I与S1同胚,则f|2 {1;:2 {pTS1{f茁也是同胚映射,I石不连通,则S1 {2}不连通,故矛盾,所以单位闭区间I与S1不同胚。
5、紧致性具有可遗传性质。
答:这个说法是错误的。
反例:Q11紧致但0,1不紧致。
三、证明题(每题10分,共50分)
x x v. 0
1、规定f :E1f0,1h E1为f(x)补x才,证明f是连续映射,但不是同胚映射。
证明:由于f限制在,0与1「:上连续,由粘接引理,f连续。但f _1不连续,如,0是E1 0,1的闭集,但f 一1一1 - 二,0 = f - ,0 = - ,0不是E1的闭集,
所以f不是同胚映射。
2、证明:Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。
证明:设X是Hausdorff空间,丫是X的任一子空间,
需证丫是Hausdorff 空间。-x,y Y,由X 是Hausdorff 空间,所以存在x,y在X的开邻域U、V使得U・V八,U - 丫是x在丫中开邻域,V丫是y在丫中开邻域,(U C Y)C
(V C Y)=U C VCY =©,故丫是Hausdorff 空间。
3、证明:从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同证明:要证明f':Y,X连续,只需证f是闭映射,设A是X 的闭子集紧致,所以A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致,所以 f A是丫的紧致子集,又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集,所以f A是丫的闭集。
4、设X。是X的既开又闭的子集,A是X的连通子集,则或者A X。八或者A X。。
证明:A X。是A的既开又闭的子集,由于A连通,
贝U或者A X。八或者A X。= A即A X。。
5、证明:道路连通性具有可乘性质。
证明:设x°,y。是X i,%是X 丫中两点,X和丫都是道路连通,则有X中道路a,以X。/为起始点,又有Y中道路b,以y。’%为起始点,作X 丫中道路c为:c(t)=(a
(t ,b(t)),V I,则 c 连接(X°,y。)和(知%),所以道路连通性具有可乘性质。
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