2018年高考一轮人教版A数学理科 第10章 第6节 几何概型

第六节几何概型[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件．()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()A [P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]4．(2017·唐山检测)如图10-6-1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10-6-10．18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]5．设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．1－π4 [如图所示，区域D 为正方形OABC 及其内部，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，。

第六节几何概型【知识重温】一、必记2个知识点1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________（②________或③________）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________。

2．在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下：P（A）＝⑤______________________________________________________________________ __。

二、必明2个易误点1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确（请在括号中打“√”或“×”)．(1）几何概型中,每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等．()（2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．（）（3）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(）（4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．（)二、教材改编2．某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!三、易错易混4．[2021·福建莆田质检]从区间（0,1）中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是（）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!5．在区间［－1，2］上随机取一个数x,则x∈［0,1］的概率为________．四、走进高考6．[2017·全国卷Ⅰ］如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(）A。

学案59 几何概型导学目标： 了解几何概型的意义．自主梳理 1．几何概型设D 是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式：P(A)＝d 的测度D 的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________； (2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________． 2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于____________．3. 如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________．4．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为________．5．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．探究点一 与长度有关的几何概型例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1 在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2 如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC 的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想 例 (14分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．【答题模板】解 (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a >b .当a >b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率为P (A )＝612＝12.[7分](2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.[9分]设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分]由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分]【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏． 2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量.课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1． ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．2．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是__________________________________________________________________．3．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧ff －的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7. 如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案59 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测 1.14解析 ∵AM 2∈[36,81]，∴AM∈[6,9]，∴P＝9－612＝312＝14.2.12解析 这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABES 矩形ABCD＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.3．13解析 当∠A′OA＝π3时，AA′＝OA ，∴P＝23π2π＝13.4．23解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23. 5．1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.课堂活动区例1 解题导引 解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．解 包含两个间谍谈话录音的部分在30 s 和40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间，即0到23min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23min时间段内按错键．P(A)＝2330＝145.变式迁移1 12解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.例2 解题导引 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A 的角度试验的全部结果所构成区域的角度.解 在AB 上取AC′＝AC ，连结CC′，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM<AC}，则μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P(A)＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2 解 不一样，这时M 点可取遍AC′(长度与AC 相等)上的点，故此事件的概率应为AC′长度AB 长度＝22.例3 解题导引 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域．解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y|≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13212＝89. 变式迁移3 解 设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ， 则0≤x≤24,0≤y≤24且y －x≥4或y －x≤－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤24，0≤y≤24，y －x≥4或y －x≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P(A)＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝μA μΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析 由于△ABC、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE||AB|＝34.3．78解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b≤4,0≤c≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧－，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c≤8－b ＋c≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析 根据题意易知输出数对(x ，y)的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＋y≤1，－1≤x－y≤1所表示的平面区域面积的比，即P(A)＝π×122＝π4.9．解 (1)设CM ＝x ，则0<x<a(不妨设BC ＝a)．若∠CAM<30°，则0<x<33a ，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a 的角度区间，的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°. 若∠CAM<30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间，的长度区间，的长度＝23.(14分)10．解设事件A ＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A 发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥y，y ＋6≥x，0≤x≤24，0≤y≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分)∴P(A)＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288.所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分)11．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b≥0，即a 2≥4b.因为事件“a 2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b”的概率为P ＝1225.(7分)(2)∵a，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数， f(1)＝－1＋a －b>0，∴a－b>1，此为几何概型，所以事件“f(1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。

典型高考数学试题解读与变式2018版考点46 几何概型一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．(3)几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为基础题或中档题.二、题型与相关高考题解读1.与长度角度有关的几何概型1.1考题展示与解读例1 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）（A）710（B）58（C）38（D）310【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题. 【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155 408-=，故选B.【解题能力要求】应用意识，运算求解能力【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若正方形ABCD边长为4,E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于（）A. 132B.78C.38D.1812【答案】D【解析】设M N ，分别为BC 或CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段,CM CN 上时， AE 的长度大于5， E 所能取到点的长度为2， 正方形的周长为16， AE ∴的长度大于5，的概率等于21=168，故选D.【变式2：改编结论】在区间[]1,5内随机取一个数m ，则方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ） A.35 B. 15 C. 14 D. 34【答案】D【解析】若方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则24m >，解得2m >， 25m << ，故方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是523514P -==-，故选D. 【变式3：改编问法】已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为，向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为（ ）学+科网 A.B.C.D.【答案】B2.与面积有关的几何概型2.1考题展示与解读例2【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型，是基础题.【答案】B【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）34A.64πB.32πC.16π D. 8π 【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为22242418ππππ⨯-⨯-⨯⨯=，由几何概型概率公式可得所求概率为2888ππ=，选D 。

第六节 几何概型几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． (2)了解几何概型的意义．知识点 几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).易误提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[自测练习]1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为( )A.34B.13C.12D.23解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD 的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于18米(C 、D 两点除外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于18米的概率为P ＝681＝34.答案：A2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P (X ≤1)＝35，选B.答案：B3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23，∴S ＝83.答案：83考点一 与长度(角度)有关的几何概型|1．(2016·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( ) A.34 B.12 C.14 D.13解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x －1≥0的只有⎣⎡⎦⎤12，2，长度为32，P ＝322＝34. 答案：A2．(2015·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，结合0≤p ≤5，解得23<p ≤1或2<p ≤5，所以所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝23. 答案：233.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16(1)与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考点二 与体积相关的几何概型|在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] 由题意，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.[答案] 1－π12对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 答案：D考点三 与面积有关的几何概型|与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有： 1．与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题． 2．与线性规划交汇命题的问题． 3．与定积分交汇命题的问题．探究一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2015·湖北八校二联)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．解析：作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.答案：12π探究二 与线性规划交汇命题的问题2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.答案：B探究三与定积分交汇命题的问题3．(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：依题意知点D的坐标为(1,4) ，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－⎠⎛12x2d x＝4－13x3|21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝S阴影S＝534＝512.答案：512求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．22.混淆长度型与面积型几何概型致误【典例】在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．[解析]设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>1－x －y ，1－x －y>x －y ，1－x －y>y －x ，所以x<12，y<12，且x ＋y>12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14. [答案] 14[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． [防范措施] 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为( )A.12 B ．1－22C.22D. 2解析：依题意得知，所求的概率等于12＝22，选C. 答案：CA 组 考点能力演练1．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C.1625D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B. 答案：B2．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC <12V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P -ABC <12V S -ABC . 由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. 答案：A3．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825解析：设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1， 确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.答案：C4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512B.12C.23D.34解析：图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32| 40＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C.答案：C5．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：设AB 、AC 上分别有点D 、E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫342＝916，故选D.答案：D6．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x ) cm ，由4x (12－x)>128得x 2－12x ＋32<0,4<x <8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：137．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：本题考查几何概率的计算．如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15. 答案：π158．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为________．解析：如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB >90°的概率P ＝12×π×1222＝π8.答案：π89．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，求使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率．解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.10．(2016·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.B 组 高考题型专练1．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1得log 12 2≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，所以12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34.故选A. 答案：A2．(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.答案：B3．(2015·高考陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14淘宝店铺：漫兮教育－12π，故选D. 答案：D4．(2014·高考湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：区域Ω1为直角△AOB 及其内部，其面积S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODC S △AOB＝2－142＝78.故选D. 答案：D。