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第五讲
I 授课题目：
§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
II 教学目的与要求：
1.熟练掌握隐函数求导；
2.熟练掌握参数方程求导。
III 教学重点与难点：
重点：隐函数和参数式所确定的函数的导数
难点：隐函数和参数式所确定的函数的导数
IV 讲授内容：
要讨论另外两个表现形式的函数的求导方法，即隐函数，由参数方程所确定的 函数的导数的求解方法。
一、隐函数的导数
1.隐函数的定义
定义 如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 取某个区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程0),(=y x F 在该区间内确定了个隐函数。
1. 隐函数求导数的方法
例1 求方程03275=--+x x y y 确定的隐函数y 在0=x 处的导数
0=x dx dy
解 方程两边分别的x 求导，方程两边的导数相等 2521102112546
64
++==--+y x dx dy x dx dy dx dy y 当0=x 时，得0=y
2
10==x dx dy
对数求导法求隐函数的导数
方法：先在方程两边取对数，将所得式两边分别求导。
例2 求)0(sin >=x x y x 的导数
解 函数为幂指函数，先在两边取对数，得
x x y ln sin ln ⋅=
两边x 求导，注意y 是x 的函数，得
)sin ln (cos )sin ln (cos 1sin ln cos 1sin x
x x x x x
x x x y y x
x x x y y x +⋅=+⋅='⋅+⋅=' 幂指函数
)0(>=u u y v
如果)(x u u =、)(x v v =的都可导，用对数求导法求出幂指函数的导数
先在两边取对数，得
u v y ln ln ⋅=
两边x 求导，注意y 、u 、v 是x 的函数，得
)ln ()ln (1ln 1u
u v u v u u u v u v y y u u v u v y y v '+⋅'='+⋅'=''⋅⋅+⋅'=' 幂指函数
)ln ()ln (ln ln u
u v u v u u
u v u v e y e y v u v u
v '+⋅'='⋅+⋅'='= 一般形式的幂指函数，对数求导法求出幂指函数的导数。
二、由参数方程所确定的函数的导数
1.参数方程
参数方程
⎩⎨⎧==)
()(t y t x ψϕ y 与x 间的函数关系
2.参数方程所确定的函数的导数的求法
如果函数)(t x ϕ=的具有单调连续反函数)(1x t -=ϕ，且反函数能与函数)(t y ψ=构成复合函数，函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=可导。根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则得
dt
dx
dt dy
dx dy t t dt
dx
dt dy dx dt dt dy dx dy =''=⋅=⋅=)
()(1ϕψ 如果函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=还是二阶可导的，那么得函数的二阶导数公式
)
()()()()()(1)
()()()()())()(()(322222t t t t t dx y d t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx
y d ϕϕψϕψϕϕϕψϕψϕψ''''-'''='⋅''''-'''=⋅''== 例3 已知椭圆的参数方程为
⎩⎨⎧==t
b y t a x sin ,cos 求椭圆在点4π=
t 处的切线方程 解 当4π
=t 时，椭圆上的点的坐标
224sin 22
4cos 00b b y a a x ===
=ππ
曲线在点的切线的斜率为 a b t a t b t a t b dt
dy t t t -=-=''====444sin cos )cos ()sin (π
ππ
椭圆在点的切线方程
)2
2(22a x a b b y --=- 即 02=-+ab ay bx
V 小结与提问：
小结：1.给出隐函数的求导方法；
2.给出参数方程的求导方法。
提问：怎么样求解隐函数与参数方程的导数？
VI 课外作业：
P110-P111 2，5（1），7（1），8（2），9（1）
