证明三教学文档

12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）知识与技能1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. （二）过程与方法在探求作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展先生的推理证明认识和能力. （三）情感、态度与价值观角的平分线性质CAD BM N在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养先生探求成绩的兴味、合作交流的认识、动手操作的能力与探求精神,加强解决问题的决心,获得解决成绩的成功体验. 二、教学重点、难点重点：角的平分线的性质的证明及运用； 难点：角的平分线的性质的探求. 三、教法学法三步导学的教学模式；自主探求,合作交流的学习方式. 四、教与学互动设计 （一）激情导课由商丘的万达旁的两条路引入，大型游乐场建造的地位，使其到两条路的距离相等，引入本节课的课题——角的平分线的性质 （二）民主导学1、探求一：角的平分线的作法 Ⅰ、议一议 成绩1请你拿出预备好的角，用你本人的方法画出它的角平分线. 成绩2如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能阐明它的道理吗?成绩3经过上面的探求，你有甚么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线. 作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D. （2）分别以B 、D 为圆心，大于 BD 21的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.射线AC 即为所求. 2、探求二：角的平分线的性质如图，任意作一个角∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC.在OC 上任取一点P,过点P 画出OA,OB 的垂线，分别记垂足为D 、E ，测量ADBC EC D ABPD ，PE 并作比较，你得到甚么结论？在OC 上再取几个点试一试.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 证明猜想的步骤：① 明确命题中的已知和求证;已知:一个点在一个角的平分线上.结论:这个点到这个角两边的距离相等.②M 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;已知：如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D 、E.求证: PD=PE.③M 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.证明：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥ OB (已知)∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO （已证） ∠AOC= ∠BOC （已证） OP=OP （公共边）∴ △PDO ≌ △PEO （AAS ）∴ PD=PE （全等三角形的对应边相等）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等符号言语：∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E.（已知）∴ PD=PE （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）3、角的平分线性质的运用（1）如图,△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，CD ＝3cm ，则点D 到AB 的距离为 cm ．BPOA CEDDEP A OBC（三）检测导结1、目标检测 (本测试题共三道题，置信大家必然会做得非常棒！)(1)如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=4cm ，则PE=_____cm.(第1题图) (第2题图)(2)已知:如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F.求证:EB=FC.2、请你谈谈学习这节课的播种.（四）布置作业1.必做题：习题 （五）结束寄语严厉性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和恪守的准绳. 希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生！五、板书设计第1课时 角的平分线的性质1. 角的平分线的作法2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.运用已知：∠MAN 已知：如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，求作：∠MAN 的角平分线 垂足分别为点D 、E.CADB N M求证: PD=PE.∴ 射线AC 即为所求. 符号言语：∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E.∴ PD=PEBP OA C ED。

27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得ABDE＝ACDF＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝25，∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝254＝52，∴△ABC∽△DEF.方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用相似三角形证明角相等如图，已知ABAD＝BCDE＝ACAE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由ABAD＝BCDE＝ACAE，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解．解：在△ABC和△ADE中，∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E.方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB与CD平行．∵ABBD＝1421＝23，ADBC＝2842＝23，BDDC＝2131.5＝23，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。

《三角形全等的判定（三）》教学设计一、教学背景分析1.教材内容分析本节是人教版第十二章《全等三角形》的重要内容，三角形是最基本、常见的几何图形之一，在日常生活中有着广泛的应用。

在知识结构上,等腰三角形，直角三角形,线段的垂直平分线,角的平分线等内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决;在能力培养上,无论是逻辑思维能力，推理论证能力,还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形的教学中得以提高。

知识点本身，证明全等三角形是证明线段相等和角相等的重要手段，本节作为证明两个三角形全等的依据之一，因此成为重中之重。

2.学情分析初一学生处于学习几何推理论证的初步阶段，从这章开始，学生应逐步学会几何证明，几何题的推理表达对学生来说难度较大，同时，以前学生学习几何都是一些简单的图形，从这章开始出现了几个图形的变换或叠加，学生在解题过程中，找全等条件是一个难点。

学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学结论的思想较弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺。

二、教学目标1.知识与技能（1）掌握尺规作图：用“ASA”做一个三角形全等于已知三角形；（2）探究并掌握两个三角形全等的条件“ASA”“AAS”，并且学会应用ASA,AAS证明两个三角形全等。

2.数学思考通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力.3.解决问题（1）初步了解利用“ASA”“AAS”条件判定三角形全等在生活中的应用.（2）培养学生的逆向思维能力、转化能力、数学建模能力.4.情感与态度通过探究三角形全等条件的活动，培养学生敢于面对困难、克服困难的能力；通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.第 1 页三、教学重点难点1.重点：理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”2.难点：探究出“ASA”“AAS”方法；分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件（学生已熟练“SSS”“SAS”方法，四种方法容易混淆）四、教学方法原则：“教与学、知识与能力的统一”、“使每个学生都得到充分发展”1.教法采用引导发现法、主动探究法、讲授教学法.2.学法指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．3.教学策略采用导学案、多媒体辅助教学、利用黑板板演及时反馈相关信息，从而降低学生学习的难度.五、教学过程设计1.设计理念数学教学中的主要矛盾即：学生、教师、教学内容和教学目标四要素之间的矛盾，而学生的实际水平和教学目标之间的差异是教学过程中存在的根本原因，数学教学活用：“五环”：先学集疑、导学整理、拓展提升。

13.3.2 等边三角形第1课时一、教学目标（一）学习目标1. 探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.2. 探索等边三角形的判定定理.3. 会用性质及判定解决相关问题.（二）学习重点等边三角形的性质与判定.（三）学习难点等边三角形的性质与判定的应用.二、教学设计（一）课前设计1. 预习任务（1）三条边都相等______的三角形叫做等边三角形.等边三角形也称正三角形，它是特殊的等腰三角形.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等_______ ，并且每一个角都等于.（3）等边三角形的判定：①三条边都__相等______的三角形是等边三角形；②三个角都__相等______的三角形是等边三角形；③有一个角是的__等腰三角形____________是等边三角形.2. 预习自测（1）有下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④【知识点】等边三角形的判定.【思路点拨】运用等边三角形的判定．【解题过程】 依次筛选 故正确的有：①②③④． 【答案】D ．（2）如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDF=∠CDE=，图中与BD 相等的线段有（ ）A.5条B.6条C.7条D.8条E F DA BC【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】利用等腰三角形、等边三角形的性质进行判定．【解题过程】解：根据等边三角形、等腰三角形的性质，可以得出两个三角形：△BDF 、△CDE 也是等边三角形，两个三角形：△AFD.△AED 为等腰三角形，所以可以得出：BD=CD=DF=BF=AF=AE=CE=DE ，共7条．【答案】C ．（3）已知等边△ABC ，分别以AB.BC.CA 为边向外作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．BC2=AC2+BC2﹣AC•BCB ．△ABC 与△DEF 的重心不重合 C ．B ，D ，F 三点不共线 D ．S △DEF ≠S △ABC 【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】根据等边三角形的性质，对四选项逐个进行判断即可求解． 【解题过程】解：A.化简化得AC=BC ，正确；B. △DEF 是等边三角形，且等边△ABC 的各顶点是△DEF 各边的中点，等边△ABC 可看作是△DEF 的内接正三角形，所以△ABC 与△DEF 的重心重合，错误；C.根据题意，可得出点D.B.E 在同一直线上，点D.A.F 在同一直线上，点E.C.F 在同一直线上，正确；D.S △DEF=4S △ABC ，正确． 故选B.（4）如图，A.C.B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE.BD分别与CD.CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案．【解题过程】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确）∴∠AEC=∠DBC∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=，∠ACD=∠ECB=∴∠DCE=∠ECB=∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=，∠AEC=∠DBC∴△EMC≌△BNC（ASA）∴CM=CN（②正确）∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=+∠NBC＞，而DN 所对的角为，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．故选B．【答案】B．1.知识回顾（1）等腰三角形的定义：有两边_相等_______的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的性质：①等边对_等角_________；②等腰三角形的_顶角平分线_____、___底边上的中线________________、___底边上的高_____互相重合.（3）等腰三角形的判定：等角对_等边________.2.问题探究探究一等边三角形的性质.●活动①在等腰三角形中，如果底边也等于腰长，会得到哪些结论呢？（等边三角形，每个角相等，都等于.）追问：这是什么类型的问题？怎么证明呢？有哪些步骤呢？（画草图，写出已知求证，最后证明.）已知：△ABC是等边三角形.求证：∠A＝∠B＝∠C＝.【思路点拨】引导学生利用等腰三角形性质去证明.证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC ＝BC （等边三角形的三条边相等___）∴∠A＝∠B ＝∠C （等边对等角）∵∠A+∠B+∠C＝（三角形的内角和定理）∴∠A＝∠B＝∠C＝.【设计意图】通过类比，进行等边三角形的性质探索.练习1．等边三角形轴对称图形（填是或否）.如果是，它有条对称轴，分别是.【知识点】等边三角形的性质．【思路点拨】利用等边三角形的轴对称性.【答案】是、3.三个角的平分线（或三条边的中线或三条边的高线）所在的直线.探究二等边三角形的判定.●活动①探究判定1求证：三个角都相等的三角形是等边三角形【思路点拨】这是文字命题，先画图，写出已知求证，再利用等边三角形的定义.【解题过程】已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝∴AB=AC，AB=BC ，BC=AC .（等角对等边）∴AB= AC = BC .∴△ABC是等边三角形（等边三角形的定义）【设计意图】根据等边三角形的定义判定.●活动②探究判定2证明：有一个角是的等腰三角形是等边三角形.【思路点拨】这是文字命题，先画图，写出已知求证，再利用等边三角形的定义. 【解题过程】已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝求证：△ABC是等边三角形.证明：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C （等边对等角）又∵∠A＝，∠A+∠B+∠C＝∴∠A＝∠B ＝∠C＝∴△ABC是等边三角形（三个角都_相等_的三角形是等边三角形）【设计意图】根据刚才探究1的等边三角形的判定1判定，把未知化归为已知求证. 探究三等边三角形的性质和判定运用.●活动①例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.【知识点】等边三角形的判定．【思路点拨】先利用等边三角形的性质得出三个内角相等，再由平行线的性质得出∠ADE＝∠B ，∠AED＝∠C，最后再由等量代换得出小三角形的三个内角相等，再由等边三角形的判定1得证.【解题过程】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B ＝∠C（等边三角形的三个内角相等）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B ，∠AED＝∠C .（两直线平行，同位角相等）∴∠A＝∠ADE ＝∠AED .∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）【设计意图】根据等边三角形的判定1进行证明.●活动② 思维拓展师问：请聪明的同学们思考，你还有其他方法证明吗？请小组谈论并写出来．学生小组讨论形成过程.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B ＝∠C =（等边三角形三个内角都等于）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B =，∠AED＝∠C =（两直线平行，同位角相等）∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE(等角对等边)∴△ADE是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）【设计意图】给学生留足时间，让学生独立完成，根据等边三角形的判定2进行证明，同时让学生明白几何题的证明可以有不同的路径.练习：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD=BE=CF.求证：△DEF是等边三角形．【知识点】等边三角形的性质和判定【答案】证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C又∵AD=BE=CF∴BD=EC=AF∴△DBE≌△ECF≌△FAD（SAS）∴DE=EF=DF∴△DEF是等边三角形【思路点拨】先由△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C ，再由已知AD=BE=CF和等式性质即可得出BD=EC=AF，最后由三角形全等得证.【设计意图】让学生对等边三角形的性质和判定进行融会贯通.3. 课堂总结知识梳理等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于.（简记为：三边等，三角等，各边上三线合一）（2）等边三角形的判定方法：①定义：三边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是的等腰三角形是等边三角形（最常用）.重难点归纳等腰三角形与等边三角形的区别和联系等腰三角形等边三角形区别性质边两边相等三边相等角两个底角相等三个角都相等，等于三线合一底边上的中线、高、和顶角的平分线互相重合每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称性是轴对称图形，有1条对称轴是轴对称图形，有3条对称轴判定边有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）三边都相等的三角形是等边三角形（定义）角有两个角相等的三角形是等腰三角形（判定）三个角都相等的三角形是等边三角形有1个角是的等腰三角形是等边三角形联系等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是一种特殊的等腰三角形。

( 数学教案 )学校：_________________________年级：_________________________教师：_________________________教案设计 / 精品文档 / 文字可改九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。

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由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源.数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。

它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。

设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程：P(1)真 P(2)真 P(3)真… P(k)真 P(k+1)真…因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真.数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第一步确定了n=1时命题成立，n=1成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水；第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上.在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础.数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法“这个名字是随便起的”.[1]归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充[1]，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.二、教学目标1. 通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，在此基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤.2. 体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的恒等式.3. 了解通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路.三、教学问题诊断认知基础：（1）对正整数的特点的感性认识；（2）对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；（3）在数列的学习中对递推思想有一定的体会；（4）在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实；（5）在“算法”循环结构的学习中有反复试用“循环体”的体会,虽然算法实现的只能是有限步的循环;(如下图)（6）了解归纳法、演绎法等推理方法以及分析法、综合法等证明方法，具有了一定的逻辑知识的基础.难点或疑点：但数学归纳法作为一种证明的方法，且不论其方法的结构形式，运用技巧，就是对其自身的可靠性，学生都有一定的疑虑，具体可能会体现在以下一些方面：1.数学归纳法所要解决的是无穷多个命题P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒为真的问题，由此造学生在理解上的两点困难：（1）对“无穷”的模糊认知和神秘感；（2）对于一个关于正整数n的命题P(n)，会难以将其看作是一个随自变量n变化的“命题值函数”.2.为什么要引进数学归纳法验证为何不可行3.数学归纳法的两步骤中，对第二步的认识往往难以到位.将解决由P(k)到P(k+1)的传递性问题，误解为证明P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解.4.数学归纳法的第二步中由k到k+1的递推性应保证k从第一个值时的任意一个整数都能成立,由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去.5.数学归纳法中的递推是一种无穷尽的动态过程，学生对于不断反复地运用步骤二来进行推理的模式缺乏清晰的认知.数学归纳法运用时对起点可作适当的偏移，对第二步的证明有一定的技巧，这些都可以留置下一课进行深入分析，本课侧重解决对数学归纳法基本原理和两步骤的初步理解.突破的关键：由于中学阶段对数学归纳法的教学缺乏理论基础，因此学习的关键是通过对具体问题的解决，提炼出方法的一般模式。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==能完成学校安排的教育教学工作,教学工作量饱满,佐证材料篇一：高级教师职务为客观、公正、科学地评价中小学教师的能力和水平，培养造就一支高素质专业化的教师队伍，根据《***省中小学教师系列专业技术资格标准条件（试行）》制定本评审细则。

本评审细则适用于中小学、幼儿园、特殊教育学校教师，市、县级教研机构教研员，市、县级以及学校电教机构电化教育教学人员。

一、基本条件1、拥护中国共产党领导，热爱社会主义祖国，努力学习邓小平理论和“三个代表”重要思想，遵守宪法和法律；2、忠诚人民的教育事业，全面贯彻教育方针；3、遵守《中小学教师职业道德规范》和《***市中小学教师十不准》，认真履行教师职责，爱岗敬业、教书育人、为人师表。

任职期间，出现下列情况者，不能申报或延期申报：（1）年度考核不确定等次或不合格等次的，当年不得申报且任期顺延；（2）因病、因事累计离开教学岗位1学期以上，任期顺延；（3）受到行政处分未满处分期的，不能申报；（4）在申报过程中弄虚作假、徇私舞弊、无理取闹或挟私报复的，2年内不得申报。

上述要求须由申报人所在单位对申报人在任现职期内的现实表现作出鉴定。

二、申报条件1、具备相应的教师资格；2、学历（系国民教育系列）及任期符合下列条件之一：（1）获得硕士学位后，受聘中学一级教师职务满4年；（2）大学本科毕业或取得双专科毕业证明书后，受聘中学一级教师职务满5年；（3）大学专科毕业满20年，受聘中学一级教师职务满5年；（4）大学专科毕业满15年，在农村中学（不含县城，下同）任教，受聘中学一级教师职务满5年；（5）大学专科毕业后，现已取得本科学历（不含双专科毕业证明书），受聘中学一级教师职务满5年；（6）小学教师申请中学高级教师资格适用上述条款外，中师毕业后从事小学教育教学工作满25年，且大学专科毕业后受聘小学高级教师职务满5年；（7）取得高、初中教师《专业合格证书》，其中学一级教师任期比具备本科、专科学历的相应延长1年（只限于1951年12月31日以前出生）。

两边及其夹角分别相等的两个三角形【知识与技能】掌握证明三角形全等的“边角边”定理.【过程与方法】1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察\,分析图形的能力及动手能力.2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.【情感态度】通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.【教学重点】应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.【教学难点】指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.一、情境导入，初步认识问题1 教材探究3:已知任意△ABC,画△A′B′C′,使AB=A′B′,A′C′=AC,∠A′=∠A.【教学说明】要求学生规范地用作图工具画图,纠正学生的错误做法,并让学生剪出画好的△ABC,△A′B′C′,把它们放在一起,观察出现的结果,引导学生间交流结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2 请各学习小组间交流,并总结出规律.二、思考探究，获取新知根据学生交流情况,教师作出如下归纳总结.1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.2.其中的角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两条对应边.例1 如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么?【教学说明】让学生思考后,书写推理过程,教师引导分析.要想证AB=DE,只需要证△ABC≌△DEC.而证这两个三角形全等,已有条件 ,还需条件 .证明:在△ABC和△DEC中,∴△ABC≌△DEC(SAS).∴AB=DE.【归纳结论】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来得到答案.例2 如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.【教学说明】由学生依题意寻找条件,涉及三角形边的条件有AB=AC,AD=AE,但∠BAC=∠DAE只是对应边夹角的一部分,怎么办?以此引导学生思考,理清解题思路.证明：∵∠BAC=∠DAE(已知),∴∠BAC+CAD=∠DAE+CAD,即∠BAD=∠CAE.在△ABD与△ACE中,AB=AC(已知),∠BAD=∠CAE(已证),AD=AE(已知),∴△ABD≌△ACE.【归纳结论】用来证明三角形全等的边、角条件,必须是这两个三角形的边、角,而不是其中的一部分,如∠BAC=∠DAE不能直接用于证△ABD与△ACE的全等.三、运用新知，深化理解1.如图,已知∠1=∠2,如果用SAS证明△ABC≌△BAD,还需要添加的条件是.2.如图，已知OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于( ).A.60°B.50°C.45°D.30°3.如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,如果∠B=50°,∠A=70°,则∠F=( ).A.70°B.65°C.60°D.55°4.如图,点B,D,C,F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF.(1)请你添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你添加的条件是 .(2)添加了条件后,证明△ABC≌△EFD.5.如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.(1)求证:△ACD≌△BCE.(2)若∠D=50°，求∠B的度数.【教学说明】引导学生应用“SAS”解答上述习题，巩固对“SAS”的认识和提升应用能力.可让学生在黑板上写出4\,5题的过程,强化学生书写证明过程的能力.在完成上述习题的解答后,请学生探究:“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？”，指导学生画图分析、共同讨论，形成结论.教师出示下列材料帮助学生探究:如图,在△ABC和△ABD中,∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,由图可知,△ABC与△ABD 并不全等.完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.【答案】1.AC=BD 2.A 3.C4.(1)∠B=∠F或AB∥EF或AC=ED.(2)当∠B=∠F时,在△ABC和△EFD中,AB=EF,∠B=∠F,BC=FD,∴△ABC≌△EFD(SAS).其它证明略.5.(1)∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC,又∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.在△ACD和△BCE中,CD=CE,∠1=∠3,AC=BC,∴△ACD≌△BCE(SAS).(2)∵∠1+∠2+∠3=180,∴∠1=∠2=∠3=60.∵△ACD≌△BCE,∴∠E=∠D=50°.∴∠B=180°-∠E-∠3=70°.四、师生互动，课堂小结先归纳“SAS”，并强调：“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.再提出问题供同学思考\,交流\,探讨.1.判定三角形全等的方法有哪些?2.证明线段相等\,角相等的常见方法有哪些?1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的引入，可采用探究的方式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现思索的过程，得出判定三角形全等的“SAS”条件，同时利用一个联系生活实际的问题——测量池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，最后再通过实际图形让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等.。

思维导图与教学设计：全等三角形初中数学单元1. 引言本文档旨在探讨在初中数学教学中，如何使用思维导图辅助教学设计，以及如何设计一个有效的全等三角形数学单元。

全等三角形是初中数学中的重要概念，对于学生的几何思维能力和证明能力的培养具有重要意义。

2. 思维导图在教学设计中的应用思维导图是一种以图形化方式呈现思维过程的工具，可以帮助学生整理、分类和归纳知识。

在教学设计中，思维导图可以用于以下方面：2.1 概念导入在引入全等三角形的概念时，可以使用思维导图呈现相关的基本概念，如角、边、全等等，并通过连接线的方式展示它们之间的关系。

这样可以帮助学生更好地理解全等三角形的定义和性质。

2.2 知识框架在教学设计中，可以使用思维导图构建全等三角形的知识框架。

将全等三角形的定义、性质、判定条件等内容以主题为中心，分支展开，有助于学生对知识点的整体把握和记忆。

2.3 解题思路思维导图可以帮助学生把握全等三角形的解题思路。

通过构建思维导图，将问题的条件、要求、解题步骤等要素有机地连接起来，可以帮助学生更清晰地思考解题过程，提高解题效率。

3. 全等三角形数学单元的设计设计一个有效的全等三角形数学单元应遵循以下原则：3.1 渐进性数学单元的设计应该从简单到复杂，由易到难地引导学生理解全等三角形的定义和性质。

可以先从简单的全等三角形判定开始，逐步扩展到全等三角形的证明和应用。

3.2 多元化教学方法在教学中应采用多种教学方法，如讲解、示范、探究和实践等，以满足不同学生的研究需求。

可以设计小组合作活动、实际测量任务等，让学生通过实践掌握全等三角形的知识。

3.3 提供练和评估在数学单元中，应提供充足的练题和评估任务，帮助学生巩固和检验所学知识。

练题可以包括判断题、选择题和解答题等，评估任务可以设计成综合性的应用题或证明题，促进学生对知识的综合运用和深层次理解。

结论通过合理运用思维导图辅助教学设计，并按照简单策略进行初中数学全等三角形单元的设计，可以帮助学生更好地理解和掌握全等三角形的概念和性质。