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4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U
① acbsinA 时，B 无解；
② a=bsi nA 或a>b 时，B 有一个解; ③ bsin A ca
如：①已知A =60°,a =2b =2応，求B （有一个解）
②已知A =60°,b = 2a = 2j 3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二.三角形面积
1 1 1
1. S ABC = —absin C = —bcsin A = —acsin B
2 2 2
第一章解三角形
.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外
接圆的直径，即
丄=旦=亠 =2R （其中R 是三角形外接圆的半径）
sin A
sinB sinC
a +
b +c
a :
b : C = sin A: sin B :sin C ；
a si nA
b sin B ■
b sin B
c sin C
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
4.
①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ，
1) _____ a ，b .c_
=亠=丄=亠
sin A+si n E+si nC
si n A si n E sinC
2.变形:
2）化边为角: a sin A c sin C
）化边为角: a =2Rsin A, b =2Rsin B, c = 2RsinC
）化角为边: ）化角为边:
sin A a ; = ; sin B b
sin A =—— 2R
si n B b si nA a
sin C c sin C c ' _
sin B = —, sinC =£
2R 2R
b sin B _ —
c sin C 亠空求出b 与c c sin C
解法：由A+B+C=180,—求角A,由正弦定理亘=竺A b sin B ②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A,-
解法：由正弦定理a = 泄求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正弦定理-=sin A b sin B
求
c sin C
4
=2（a +b +c ）r ，其中r 是三角形内切圆半径.
________________ 1
= J p(p -a)(p —b)(p-c),其中 p =?(a+b +c).
5. S 普Bc =2R 2
sin Asin Bsin C ,R 为外接圆半径
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的
2
丄 2
.2
cosB=
a
+c
—b
2ac
2
丄-2
2
C a +b -c cosC =
2ab
3.利用余弦定理判断三角形形状：
设a 、b 、c 是 M B C 的角A 、P 、C 的对边，贝U:
'M+F 3
F + 护 >»'co£A 苣 --------- --- >0<^/<90"
①若，！ 2bc
，所以乂为锐角 ②若c 2
+ b 2
=a 2
= A 为直角
F +护
卫二 --- ——
A d 阳
③若
2尿
，所以卫为钝角，则胡是钝角三角形
4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1） 已知三边，求三个角
2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 四、应用题
a 2
=b 2
+c 2
-2bc cos A b 2
= a 2
+c 2
-2ac cos B c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C
2.变形：cosA =
f -a
2bc
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2
. S
普BC 3
. S 普BC 4. S 普BC
詈,R 为外接圆半径
三.余弦定理
1.余弦定理: 2倍，即
注意整体代入，如：a 2
+c 2
-b 2
=ac=
1
cosB =一
2
欢迎阅读 1. 已知两角和一边（如 A 、B 、C ）,由A+B+C = 2. 已知两边和夹角（如a 、b 、c ）,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的 角，然后利用A+B+C = n ,
n 求C,由正弦定理求a b . 求另一角. 3. 已知两边和其中一边的对角（如 a 、b 、A ）,应用正弦定理求B,由A+B+C= n 求C,再由正 弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况. 4. 已知三边a 、b 、c ,应用余弦定理求 A 、B ,再由A+B+C= n ,求角C. 5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX 度， 北偏西XX 度， 南偏东XX 度，南偏西XX 度. 6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上 方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角. 视线
铅 直 线 三角形三角关系：A+B+C=180 ; C 五、三角形中常见的结论 1）
2）
三角形三边关系： 两边之和大于第三边:a+b>c , 6 俯角+B ）；
两边之差小于第三边:血-加 ,
a-加，C-1视线
水平线
3) 4) 在同一个三角形中大边对大角： A A B U a Abu sin A 〉sinB 三角形内的诱导公式：
I
sin(A + B) =sinC, cos(A + B) =—cosC, tan(A+B) =-tanC,
.卫+B .
.71 c. c
sin --- = sinf -- ) = cos —
2 2 2 2
si n(2-C)cos(C-) cosg-C") sin*)
A +
B 严 C
tan ----- =ta n(— — 一) 2 2 2 5）两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
A+B
cos --- 二
2
二 Slfl
—
2
