实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章-复习指导

主要内容

本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.

我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.

本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.

本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、

型集和

型集逼近.

正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. :

本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.

复习题

一、判断题

1、对任意n

E R ⊆，*

m E 都存在。（√ ）

2、对任意n

E R ⊆，mE 都存在。（× ）

3、设n

E R ⊆，则*

m E 可能小于零。（× ）

4、设A B ⊆，则**

m A m B ≤。（√ ）

：

5、设A B ⊆，则*

*

m A m B <。（× ） 6、*

*1

1

(

)n n n n m S m S ∞

∞===∑。（× ）

7、*

*1

1

(

)n n n n m S m S ∞

∞==≤∑。（√ ）

8、设E 为n R 中的可数集，则*

0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*

0m Q =。（√ ）

10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*

m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*

m E <+∞。（√ ）

.

13、设E 为n

R 中的无界集，则*

m E =+∞。（× ）

14、E 是可测集⇔c

E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则

1

n n S ∞=，

1

n n S ∞=都是可测集。

（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =∅，则*

0m E >。（× ）

20、若E 是无限集，且*

0m E =，则E 是可数集。（× ）

{

21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n

R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）

23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A -=。（× ）

24、∅和n

R 都是可测集，且0m ∅=，n

mR =+∞。（√ ）

25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。（× ）

26、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，则12()m E E -=12mE mE -。（× ）

二、填空题 ￥

1、若E 是可数集，则*

m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。

2、若12,,,n S S S 为可测集，则1

n i i m

S = 小于或等于 1

n

i i mS =∑；若12,,

,n S S S 为两两不相

交的可测集，则1

n i i m

S = 等于 1

n

i i mS =∑。

3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则

12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。

4、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，2mE <+∞，则12()m E E - 等于 12mE mE -。

5、设0x 为E 的内点，则*

m E 大于 0。

6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。

7、m ∅= 0 ，n

mR = +∞ 。

"

8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。 9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。

三、证明题

1、证明：若E 有界，则*

m E <+∞。

证明：因为E 有界，所以，存在一个有限区间I ，使得E I ⊂，从而m E m I I **

≤=<+∞。 2、证明：若*

0m E =，则E 为可测集。

证明：对任意A E ⊂，c

B E ⊂，因为*0m E =，可得*

0m A =，所以，

%

*****()m B m A B m A m B m B ≤⋃≤+=，

从而*

*

*

()m A B m A m B ⋃=+，所以，E 为可测集。 3.设E 为[0，1]中的全体有理数，则0*

=E m .（10分） 证明 因为E 为可数集， 记为 ,...},...,,{21n r r r E =， 对任意0ε

，取 ,2,1,2,211=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-=++n r r I n n n n n εε，