高中数学解析几何之定值问题

专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =； 又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L­距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。

课题：解析几何（2）一、知识梳理：掌握处理解析几何中常见的定值定点问题处理方法. 二、典型例题：1、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，且圆C ：223360x y x y ++--=过2,A F 两点．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线2PF 的倾斜角为α，直线1PF 的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q ，在满足条件（2）的情形下证明：PQ 1PF =+2PF ．2、已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，A ，B ，F 分别为椭圆C 1左顶点、下顶点和右焦点．⑴点P 是曲线C 2上位于第二象限的一点，若△APF 的面积为12，求证：AP ⊥OP ；⑵点M 和N 分别是椭圆C 1和圆C 2上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，证明直线MN 恒过定点．3、给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O 的圆是椭圆C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F （1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（3）过椭圆C “伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值，并说明理由．4、已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线P A1、P A2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．5、已知圆221:1C x y +=，椭圆2222:133x y C +=，四边形PQRS 为椭圆2C 的内接菱形．(1)若点(P ，试探求点S （在第一象限的内）的坐标； (2) 若点P 为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS 与 圆1C 的位置关系．6、如图，焦点在x上顶点(0,1)A，下顶点为B，已知定直线l：2y ，若点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点M，连接PB并延长交直线l 于点M，（1）求MN的最小值；（2）证明以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．7、已知椭圆13422=+y x ，过点)0,2(A 作弦QA PA ⊥，P,Q 均在椭圆上，再过A 点作PQ AM ⊥于点M ，求点M 的轨迹方程.8、已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F 设A 、B 是上半椭圆上满足NB NA λ=的两点，其中].31,51[∈λ （1）求此椭圆的方程及直线AB 的斜率的取值范围； （2）设A 、B 两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P ，求证：点P 在一条定直线上，并求点P 的纵坐标的取值范围.本小题考查椭圆简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量知识的应用，解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF caF F c 解得⎪⎩⎪⎨⎧==1222b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x ………………（3分） N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y k k 根据条件可知⎪⎩⎪⎨⎧≠<+⋅-=∆.0,0128)4(222k kk k 解得.22||0<<k ………………（5分） 设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x NB NA +=+=λλ得⎩⎨⎧=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得令],31,51[,)1()(2∈+=λλλλφ，则.111)21()(222λλλλλλφ-=-='++='由于.0)(3151<'≤≤λφλ，所以]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤，即536)(316≤≤λφ， 5361283162≤+≤∴k ，21||625361283162≤≤≤+≤∴k k ，解得， 而.2162220≤≤∴<<k k ， 因此直线AB 的斜率的取值范围是].21,62[………………（7分）（1） 上半椭圆的方程为2222112211,211211x y x y x y -=-=-=，且， 求导可得 22112x x y --='所以两条切线的斜率分别为222221121122112,22112y x x x k y x x x k PB PA -=--=-=--=（8分）[解法一]：切线PA 的方程是12121111111222)(2y y x y x x y x x y x y y ++-=--=-，即. 又222121=+y x ，从而切线PA 的方程为11112y y x x y +-=，同理可得切线PB 的方程为 .122221y y x x y +-=由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2221111212y y x x y y y x x y 可解得点P 的坐标 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=---=2112120211212000)(2),(y x y x x x y y x y x y y x y x 满足再由 ，得⎩⎨⎧=++=+2121)2(2y y x x λλ).(2221221122211y y y x y x y x y x -=-⇔+=+ ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=---=AB k y y x x y y y y y x 21)(21)(2)(21212012120 ……………………（11分）又由（1）知 23122162≤≤⇔≤≤ABAB k k ，∴.22310≤≤y 因此点P 在定直线1-=x 上，并且点P 的纵坐标的取值范围是[1，223] ……（12分） [解法二]：设点P 的从标为),(00y x ，则可得切线PA 的方程是),(20110x x y x y y --=- 而点),(11y x A 在此切线上，所以有)(2011101x x y x y y --=-，即 2121101022y x y y x x +=+…（9分）所以有 221010=+y y x x ， ①同理可得 .222020=+y y x x ②根据①和②可知直线AB 的方程为2200=+y y x x而直线AB 过定点N （－2，0），∴12200-=⇒=-x x ，直线AB 的方程为 ,220=+-y y x∴021y k AB = ………………………………（11分0 又由（1）知2162≤≤AB k ，所以有223121216200≤≤⇔≤≤y y 因此点P 在定直线1-=x 上，并且点P 的纵坐标的取值范围是 ]223,1[ ……（12分）。

课堂内外2014-06定点定值问题的本质是等式是恒等式，方程是待定系数法定点问题，主要是找出题中的已知和未知量间的关系或方程、不等式，而后把已知和未知量都代到此关系中，经过调整、变形变换成过定点的直线系、曲线系的问题来解题。

定值问题主要在于选择一个符合此题设的参数，由题中已知量与参数表达出此题所有的含义、方程式、几何特点，然后应用韦达定理等方式求解出想要的表达式，且把它代入定值关系式中，化简、整理、得出结果。

一、教材给出的关于定点定值问题的实例分析与解答1.关于高三复习解析几何中的定点定值问题的实例分析解析几何中的定点、定值问题由始至终都是高三考试与比赛中的一个热门问题，因为现今课本对这个问题未进行专门的阐述。

所以，就变成高三数学的一个难点。

实际上，对此类问题的解答是有规则可依的，例如：证明动直线过定点的答题思路可总结为：一取、二解、三定点。

详细步骤如下：一取：选取参数：需求证过定点的动直线总是随某个数的改变而改变，可选取这个数当做参数（当动直线涉及的数比较多时，也可选择多个参数）。

二解：解出动直线的方程式。

找出仅含有上面提及的参数的动直线代数方程，并根据其他给出条件降低参变量的数目，最后让动直线方程式的系数中只有一个参数。

三定点：找出定点的坐标。

可设动直线方程中的参数为λ，直线方程形式是这样写的：f （x ，y ）+λg （x ，y ）=0，然后解有关x ，y 的方程组f （x ，y ）=0，g （x ，y ）=0找到定点的坐标。

2.解析几何中的定点定值问题的实例具体解答过程例1.已知椭圆：x 24+y 23=1，过点A （2，0）作弦PA ⊥QA ，P 、Q 都在椭圆上，那么直线PQ 是否恒通过一定点？若通定点，写出此定点坐标；若不通过，请说明理由。

解：作坐标平移：x=x ′+2，y=y ′，即点A 恰是新坐标系的原点O ′，那么在x ′O ′y ′新坐标系中，椭圆方程是：3x ′2+4y ′2+12x ′=0。

专题04 解析几何中的定值问题常见考点考点一 定值问题典例1．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,4P x 是抛物线C 上一点，6PF =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过()0,4Q 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求证：2211||||AQ BQ +为定值． 【答案】(1)28x y = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由6PF =，根据抛物线的定义得到462p+=，求得4p =，即可求得抛物线的方程； （2）设直线l 的方程为4y kx =+，联立方程组利用韦达定理12128,32x x k x x +==-，结合两点距离公式，化简21212222212()2111||||1()x x x x AQ BQ k x x +-+=⋅+，代入即可求解. (1)解：因为点()0,4P x 在抛物线2:2C x py =上，且6PF =， 由抛物线的定义可得462pPF =+=，解得4p =， 所以抛物线的方程为28x y =. (2)解：设直线l 的斜率为k ，可得直线l 的方程为4y kx =+， 联立方程组248y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28320x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2(8)4(32)0k ∆=-⨯->且12128,32x x k x x +==-， 由222222222211221122111111||||(4)(4)(44)(44)AQ BQ x y x y x kx x kx +=+=++-+-++-++- 22212121222222222121212()21111(1)(1)1()1()x x x x x x k x k x k x x k x x ++-=+=⋅=⋅++++ 222221(8)2(32)1111(32)11616k k k k -⨯-+=⋅=⋅=+-+.变式1-1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2设点()(),00,M m m m a ≠≠±是x 轴上的定点，直线l ：222a mx m+=，设过点M 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，A 、B 在l 上的射影分别为A '、B '． (1)求椭圆C 的方程；(2)判断AA BB '⋅'是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=；(2)是定值，定值为222(4)4m m -.【解析】 【分析】(1)根据题意列方程得出a ，b 的值即可得出椭圆方程；(2)求出当直线AB 斜率为0时AA BB '⋅'的值，再求当直线AB 斜率不为零或不存在时AA BB '⋅'的值.当直线AB 斜率不为零或不存在时，设直线AB 方程为x ky m =+，和椭圆方程联立，根据韦达定理计算AA BB '⋅'.由此即可得出结论． (1)由题意可知1b =，ca=又222a c b -=，2a ∴=，1b =，c∴椭圆的标准方程为：2214x y +=；(2)当直线AB 斜率为0时，A 、B 分别为椭圆的左右顶点，A '、B '均为22,02a m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则222244222222222222()(4)22444a m a m a m a m a m m AA BB a a a m m m m m ++++--'⋅'=-⋅+=-==，当直线AB 斜率不为0时，设直线AB 的方程为x ky m =+，联立方程组2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得：2222(4)8440k x mx m k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则0∆>时，12284mx x k +=+，22122444m k x x k -=+，222221212122444(4)()2224m m m m AA BB x x x x x x m m m m ++++''∴⋅=-⋅-=-++222222(4)(4)444m m m m +-=-+=．综上，AA BB '⋅'为定值222(4)4m m -．变式1-2．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，点P （1，32）在椭圆上，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的右焦点为F ，过B （4，0）的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可得12c a=，然后将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程求解即可；（2）设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，然后联立椭圆与直线的方程消元，然后韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+，然后可算出FD FE k k +为定值. (1)由题意知，12c e a ==，所以a =2c ，22b a =-2c =23c ， 故椭圆的方程为2222143x y c c+=，又点P （1，32）在椭圆上，代入解得21c = 所以2a =4， 23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立方程组()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222343264120k x k x k +-+-=，则0∆>，解得2k <14，∴21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+， FDFE k k +=()121212*********(1)(1)k x x x x y y x x x x ⎡⎤-++⎣⎦+=----()()()()22222222121264123212824160243225834343401111k k k k k k k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫---++⨯-⨯+ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭===---- 所以直线FD 与直线FE 斜率之和为0.变式1-3．如图，已知圆22:4O x y +=，点(1,0)B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，点A 的集合记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线:4l x =，3(1,)2Q ，过点B 的直线1l 与C 交于,M N 两点，与直线l 交于点K ，记,,QM QN QK 的斜率分别为123,,k k k ，问：1223k k k k --是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，证明见解析，2- 【解析】 【分析】(1)按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；(2)作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可. (1)设AB 的中点为P ，切点为Q ，连接,OP PQ ， 取B 关于y 轴的对称点D ，则2BD = ，连接AD ，由于P 是AB 的中点，O 是BD 的中点，∴=2AD OP ，故=2222AB AD OP PB OP PQ ++=+()242OP PB BD =+=>=.所以点A 的轨迹是以,B D 为焦点，长轴长为4的椭圆.其中2,1,a c b ===C 的方程为22143x y +=；(2)由第一问，作图如下：设1122(,),(,),M x y N x y 依题意，直线1l 的斜率必定存在， 设1:1(0)l x my m =+≠，将其与椭圆方程联立：221(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=， 由韦达定理，得：12122269,3434m y y y y m m --+==++ 易得点3(4,)K m ，33311232m k m -==-111113322,1y y k x my --==-22232y k my -= 133213122323231k k k k k k k k k k k k k k -+---==---- 而121213122231212112311()()3223113()()22y y m y y k k my y y m k k my y y y y m y y m -----==-----……① 由12122269,3434m y y y y m m --+==++得：12123()2y y y y m =+， 代入①得：1312223121313k k my y y k k my y y --==---，得1332131223232312k k k k k k k kk k k k k k -+---==-=----故答案为：22143x y +=，是定值，理由见解析，-2.典例2．已知椭圆1C：(22216x y a a +=>，1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点，1C 的离2C，点E 在2C 上，过点E 和1F ，2F 分别作直线交椭圆1C 于F ，G 和M ，N 点，如图.(1)求1C ，2C 的方程；(2)求证：直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值； (3)求证：11FG MN +为定值.【答案】(1)1C ：221186x y+=；1C ：221x y -=(2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线1C 的方程，再求曲线2C 的方程； （2）首先设()00,E x y ，表示直线1EF 和2EF 的斜率之积，即可求解定值；（3）首先表示直线1EF (1y k x =+与1C 方程联立消y ，利用韦达定理表示弦长FG ，以及利用直线1EF 和2EF 的斜率关系121k k =，表示弦长MN ，并证明11FG MN +为定值. (1)由题设知，椭圆1C =解得218a =∴()1F -，()2F∵椭圆1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点， ∴设双曲线2C ：()2221012x y n n -=>∴2C =212n =.∴1C ：221186x y+=2C ：2212x y -=；(2)证明：∵点E 在2C 上 ∴设()00,E x y则220012y x =-，∴122020112EF EFy k k x ⋅==-. ∴直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值1； (3)证明：设直线1EF 和2EF 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k = 设()11,F x y ，()22,G x y1EF：(1y k x =+与1C 方程联立消y 得()()22221113118210kx x k +++-=“*”则1x ，2x 是“*”的二根则()121211221182131x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩则FG =)2121131k k ++ 同理))2222112221211111131331k k k MN k k k ⎫+⎪++⎝⎭===++⋅+∴2211FG MN+== 变式2-1．已知()2222:10x y C a ba b +=>>左、右顶点分为A ，B 点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()4,0M -作直线PQ 交椭圆C 于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），若直线AP 和BQ 的交点为N .求证：MB AN ⋅为定值.【答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意和离心率求出2a =，b(2)设设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程，联立椭圆方程并消去x ，利用韦达定理表示出1212y y y y +、，根据直线的点斜式方程求出直线AP 、BQ ，结合平面向量的坐标表示化简计算即可. (1)由题意得：c e a =12242b c ⋅=，即a ，2bc =，又222a b c =+，则有2a =，b =则椭圆C 的标准方程为：22142x y +=.(2)由题意知：直线PQ 的斜率不为0， 设直线:4PQ x my =-， 由224,24,x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2228120m y my +-+=， 设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()21660m ∆=->，12282m y y m +=+，122122y y m =+. 因为()2,0A -，()2,0B ，则0612MB AN x ⋅=+.则()1212212322m my y y y m ==++①， 直线()11:22y AP y x x =++②，直线()22:22y BQ y x x =--③， 由②③得：()()1200122222y yx x x x +=-+-， 则()()()()221210212210121212112222222662y y x y my x x my y y y x y x y my my y y x +-+--====----+④ 将①代入④得：()()122001213221232362y y y x x y y y+-+==--+-，则01x =-， 则06126MB AN x ⋅=+=-.变式2-2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上的点到焦点的最大距离为方程2610x x -+=的根，离心率e 满足228a e =． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AB 的垂直平分线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：2169m k -为定值．【答案】(1)2219x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出关于a c +的等式，结合离心率c e a=，228a e =，222a b c =+，求出a ，b 的值，即得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用根与系数的关系求12x x +，12y y +的表达式，进而得到AB 的中点M 的坐标，利用直线1PM l k k ⋅=-即可证明2169m k -为定值．(1)因为方程2610x x -+=的实数根为3±①若3a c +=+228a e =，所以28c =，即c =3a =．因为222a b c =+，所以1b =，此时椭圆C 的方程为2219x y +=；②若3a c +=-228a e =，所以28c =，即c =所以30a =-<，不符合题意，所以椭圆C 的方程为2219x y +=；(2)证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221,9,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2221918990k x mkx m +++-=．因为直线y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以()()2222324419990m k k m ∆=-⨯+⨯->，即2291m k <+，由韦达定理知1221819mk x x k +=-+，122219my y k +=+， 所以AB 的中点229,1919mkm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭．又因为AB 的中垂线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k ≠，所以22119219019m k k mk k ++⋅=---+， ()2222191919219m k k k mk k ⎛⎫+++⋅-⋅=- ⎪+⎝⎭，221918m k m ++=，所以21691m k -=， 所以2169m k -为定值．变式2-3．斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知点()1,P m 在抛物线C 上，过点P 作两条直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N （M ，N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与y 轴垂直，求证：MN 的斜率为定值. 【答案】(1)24y x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点差法求得p ，由此求得抛物线C 的标准方程.（2）求得P 点的坐标，设出直线,PM PN 的方程，通过联立方程求得,M N 两点的坐标，进而判断MN 的斜率为定值. (1)设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=， 21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24p p ==， 所以抛物线方程为24y x =. (2)当1x =时，2414,2y y =⨯==±，所以()1,2P ±. 不妨设()1,2P ，依题意可知直线,PM PN 的斜率存在、不为0且互为相反数，设直线PM 的斜率为k ，则直线PN 的斜率为k -， 直线PM 的方程为()21,2y k x y kx k -=-=+-， 直线PN 的方程为()21,2y k x y kx k -=--=-++，224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，解得24441,2M k k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 同理可求得24441,2N k k k ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 的斜率为224482218444411k k k k k k kk ⎛⎫-----⎪⎝⎭==-⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭，是定值.巩固练习练习一 定值问题1．已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A B ､两点，与圆22:20N x y y +-=交于C D ､两点（A ，C 在y 轴同侧），求证：AC DB ⋅是定值. 【答案】(1)24x y = (2)1 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义先判定动点的轨迹形状，再求其标准方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、抛物线的定义进行证明. (1)解：由题意，得动圆的圆心M 到点()0,1F 的距离等于到直线1y =-的距离，所以M 的轨迹是以点()0,1F 为焦点的抛物线，其轨迹方程为2:4E x y =；(2)解：设经过焦点F 的直线为:1l y kx =+， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=； 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2=16(1)0k ∆，且124x x k +=，124x x =-；因为圆22:20N x y y +-=的圆心为()0,1N （即抛物线的焦点），半径为1， 由抛物线的定义，得1||1AF y =+，2||1BF y =+， 则1||||1AC AF y =-=，2||||1BD BF y =-=， 所以1212(1)(1)AC DB y y kx kx ⋅==++2221212()14411k x x k x x k k =+++=-++=，即AC DB ⋅是定值，定值是1.2．已知椭圆22:14x C y +=，下顶点为A ，不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P ，Q 两点．(1)若线段PQ 的中点为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭R ，求直线l 的斜率；(2)若l 与y 轴交于点(0,2)B ，直线,AP AQ 分别交x 轴于点M ，N ，求证：M ，N 的横坐标乘积为定值．【答案】(1)12； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设1122(,),(,)P x y Q x y ，应用点差法可得121212124()y y x xx x y y -+=--+，结合PQ 的中点R 有12122,1x x y y +=-+=，即可求直线l 的斜率；（2）设直线:2l y kx =+，联立椭圆方程应用韦达定理求12x x +、12x x ，由判别式求k 的范围，进而写出直线,AP AQ 并求M ，N 坐标，化简M N x x 即可证明结论. (1)设1122(,),(,)P x y Q x y ，由,P Q 在椭圆C 上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，即121212124()y y x x x x y y -+=--+，又PQ 的中点R11,2且R 在椭圆C 内，则12122,1x x y y +=-+=，所以直线l 的斜率为121212y yx x -=-．(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)16120k x kx +++=． 由22(16)48(14)0k k ∆=-+>得：234k >，即k <或k >1221614k x x k -+=+，1221214x x k =+.直线AP 为1111y y x x +=-，令0y =得：111x x y =+，则11,01x M y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得22,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以121212212121212(1)(1)(3)(3)3()9M N x xx xx xy y kx kx k x x x x k x x ===+++++++22212412489(14)3k k k ==-++，所以,M N 的横坐标乘积为定值43．3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为4，1F ，2F 为E 的左､右焦点，M 为E 上一动点，当12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b.(1)求E 的标准方程：(2)过点1F 作斜率之和为3的两条直线1l ，2l ，1l 与E 交于点A ，B ，2l 与E 交于点C ，D ，线段AB ，CD 的中点分别为P ，Q ，过点1F 作1F H PQ ⊥，垂足为H .试问：是否存在定点T ，使得线段TH 的长度为定值.【答案】(1)22143x y +=；(2)存在11,8T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，TH 为定值，证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据内切圆的半径表示出三角形的面积，结合长轴的定义即可求出a 、b ，进而求得椭圆方程；(2)设直线PQ 的方程为y kx m =+，直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由直线PQ 和直线AB 的方程求出点P 的横坐标，直线AB 联立椭圆方程，利用韦达定理，结合题意即可求出当T 为1F G 的中点时，TH 为定值. (1)设椭圆的焦距为2c ，由12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b ， 得112(22)223b c b a c ⨯⨯=+⨯，化简，得12c a=， 又24a =，所以21a c ==，，所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，PQ x ⊥轴，点P 与点Q 关于x 轴对称， 则120k k +=，与题意中的123k k +=矛盾，不符合题意； 设直线PQ 的方程为y kx m =+，则直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由1(1)y k x y kx m=+⎧⎨=+⎩，得11P m k x k k -=-，由122(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222111(34)84120k x k x k +++-=，设()()1122,,A x y B x y ，，则2121214234P x x k x k +==-+， 所以2121434k k -=+11m k k k --，化简得2114()330k m k k m -+-=， 同理，2224()330k m k k m -+-=，所以12k k 、为方程24()330k m x x m -+-=的两个根， 有1234()k k k m +=--，又123k k +=，所以14k m =-，所以直线PQ 的方程为111()()(1)444y m x m m x =-+=-++，得直线PQ 过定点1(1,)4G -，又1(1,0)F -，1F H PQ ⊥，所以1F H HG ⊥， 则点H 在以1F G 为直径、以1(1,)8T -为圆心的圆上， 故点H 到圆心1(1,)8T -的距离恒为定值，即存在点1(1,)8T -为1F G 的中点时，TH 为定值.4．如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，双曲若点A 为双曲线右支上一点，且12AF AF -=直线2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长,AD BD ，分别与双曲线Γ交于,P Q 两点.(1)若()()1122,,,A x y B x y ，求证：()1221212x y x y y y -=-； (2)若直线,AB PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k .试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值，7 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线AD 的方程为()1111y y x x =++，与双曲线联立得111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，由斜率公式及（1）中的结论可得结论. (1) 证明：由双曲线离心率ce a==12||||2AF AF a -=，及222c a b =+， 可得2222,2,4a b c ===，所以双曲线方程为22122x y -=，2(2,0)F .当直线AB 的斜率不存在时，122x x ==，()12212121222x y x y y y y y -=-=-，直线AB 的斜率存在时，22AF BF k k =，121222y yx x =--，整理得()1221212x y x y y y -=-， 综上所述，()1221212x y x y y y -=-成立； (2)依题意可知直线AD 的斜率存在且不为0， 设直线AD 的方程为()1111y y x x =++， 代入双曲线222x y -=并化简得：()()()2222211111210x x y x x +-+-+=，①由于22112x y -=，则22112y x =-代入①并化简得：()()22211112322340x x x x x x +----=，设00(,)P x y ，则2111013423x x x x x --=+，211100112(2)342323x x x x x x x ---+=⇒=++，代入()1111y y x x =++，得10123yy x -=+，即111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理可得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，所以()()2112212121221122123232334342323y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++ ()()()212121112124377y y y y y yk x x x x -----==-⋅=--，所以217k k =是定值.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于A ，B 两点且△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，在x 轴上是否存在一点P 使得直线l 变动时，总有直线P A 的斜率与PB 的斜率之积为定值，若存在，求出该定值及点P 的坐标；若不能，请说明理由. 【答案】(1)24y x =(2)存在，定值1-或7-，()0,0P 【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，利用点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切列方程即可求解； （2）设直线AB 的方程为x ty m =+,根据△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，可以求出m 的值，利用韦达定理求出PA PB k k ⋅的值，由PA PB k k ⋅为定值即可判断出点P 的坐标，进而求出定值.(1)设(,)M x y ，则MF 的中点为G ,其坐标为1,22x y G +⎛⎫⎪⎝⎭，MF =G 到y 轴的距离为12x +， 则由题意可知，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，则|1|2x +=24y x =； (2)设直线AB 的方程为x ty m =+，由△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍可知，点O 到直线AB 的距离是点F 到直线AB 的距离的43倍，4m =或47=m ， 可知直线AB 过点(4,0)且斜率不为0, 设()()()01122,0,,,,P x A x y B x y ，则()121221020120120PA PB y y y yk k x x x x x x x x x x =⨯=---++⋅，将直线方程与抛物线方程2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩联立得2440y ty m --=， 则124y y t +=，124y y m =-，即()21212242x x t y y m t m +=++=+，()21221216y y x x m ==，故()22200442PA PB mm k t x x k m -⋅-++=，由此可知，只有当00x =时，PA PB k k ⋅才是定值， 即4PA PB k k m=-⋅， 当4m =时，1PA PB k k ⋅=-，当47=m 时，7PA PB k k =-⋅，故定点()0,0P ，定值为1-或7-. 6．已知圆1C ：()22125x y ++=，圆2C ：()2211x y -+=，动圆C 与圆1C 和圆2C 均内切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程(2)点()1,P t （0t >）为轨迹E 上的点，过点P 作两条直线与轨迹E 交于AB 两点，直线P A ，PB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)是定值，定值为12. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义即得；（2）由题可得直线P A 的方程，联立椭圆方程可得点A 、B 横坐标，进而利用斜率公式即得.(1)由题意得()11,0C -，()21,0C .设动圆圆心C 的坐标为(),x y ，半径为r ， 则15CC r =-，21CC r =-. 从而()121244CC CC C C +=>.∴动圆圆心C 的轨迹E 是焦点为()11,0C -，()21,0C ，长轴长等于4的椭圆，且1c =，2a =. 又222a b c =+，得b =∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为22143x y +=.(2)由（1）可得31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.设直线P A 的方程为()()3102y k x k -=-≠ 则直线PB 的方程为()312y k x -=--. 设()11,A x y ，()22,B x y .由()22312143y k x x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得()()22223412841230k x k k x k k ++-+--=， 则212412334P k k x x k --=+，即212412334k k x k--=+.（1） 同理可得222412334k k x k +-=+.（2） ∴()()()1212121212123311222ABk x k x k x x k y y kx x x x x x ⎡⎤⎡⎤+----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦===---. 将（1）（2）代入上式，化简得12AB k =. 故直线AB 的斜率为定值12.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 是抛物线C 上一点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的淮线的距离为72． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆22:(2)4M x y -+=，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA ，OB 的斜率之差的绝对值为定值． 【答案】(1)24y x =； (2)2. 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列出等式472pp ++=，即可求出答案； （2）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB k k -=，当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程为y kx b =+即点,A B 的坐标，把直线AB 与抛物线进行联立，写出韦达定理，利用到直线AB 的距离等于半径2，找到k 与b 之间的关系式，在计算OA ，OB 的斜率之差的绝对值，化简即可求出答案. (1)根据题意可列4722pp p ++=⇒= 故抛物线C 的方程为24y x =. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为4x =，(4,4),(4,4)A B -，1,1,2OA OB OA OB k k k k =-=-=. ②当直线AB 的斜率存在且不为0时，故设直线AB 的方程为y kx b =+， 圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B两点，故2214b d kb ==⇒=- 设(,),(,)A A B B A x y B x y把直线AB 的方程与抛物线进行联立2222(24)04y kx bk x kb x b y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩ 22242,A B A B kb b x x x x k k -+=⋅=.,A B OA OB A B y y k k x x ==B A A B A B A BOA OBA B A B A Bb x x y y y x x y k k x x x x x x ---=-===22bb=====.综上所述：,OA OB的斜率之差的绝对值为定值为2.8．已知双曲线2222:1Γ-=x ya b（0a>，0b>）的左、右顶点分别为()11,0A-、()21,0A，离心率为2，过点()2,0F斜率不为0的直线l与Γ交于P、Q两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线1A P、2A Q的斜率分别为1k、2k，求证：12kk为定值．【答案】(1)y=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.（2）讨论l的斜率：当l k不存在求P、Q的坐标，进而可得1213kk=-；当lk存在，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证1230k k+=是否成立即可. (1)设双曲线Γ的半焦距为c，由题设，1a=，2cea==，2223b c a=-=双曲线Γ的方程为2213yx-=，故渐近线方程为y=．(2)当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为()2,3和()2,3-，所以，当11k=时有23k=-；当11k=-时有23k=，此时1213kk=-，当l的斜率k存在时，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，将直线l代入双曲线方程得()222234430--++=k x k x k，所以212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()()1212121212322331111k x k x y y k k x x x x --+=+=++-+-()()()()()()()1212123211211--++-=+-k x x x x x x ()()()()()12121212123222211--++-+-=+-k x x x x x x x x x x ()()()()12121245411-++=+-k x x x x x x因为()()()22212122443204345403+-+--++==-k k k x x x x k ，所以1230k k +=，即1213kk =-，综上，12k k 为定值，得证．。

解析几何中的定值问题探究解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。

提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。

一.角为定值例1.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为4)1(22=+-y x ，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PB PA ,，切点分别为B A ,，当P 在圆C 上运动时，使得APB ∠恒为060，求圆M 的方程．解：设定圆圆心M (),a b ，半径为r ，动点(),P x y ，由题意知2MP r =，即()()2224x a y b r -+-=，由于点P 在圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上，所以有()222222430a x by a b r --++-+=对任意,x y 都成立，所以21,0,1a b r ===， 所求圆方程为(x －1)2＋y 2＝1．变式：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的离心率为3,右准线方程为33=x .设直线l 是圆2:22=+y x O 上动点)0)((0000≠y x y x P 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点B A ,，证明：AOB ∠的大小为定值.证明：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===3332ca a c e 解得：⎩⎨⎧==31c a所以2222=-=a c b所以双曲线方程为：1222=-y x 点)0)((0000≠y x y x P 在圆2:22=+y x O 上，圆在点)(00y x P 处的切线l 的方程为)(000x x y x y y --=-, 化简得200=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1222200y x y y x x 及22020=+y x ,得0284)43200220=-+--x x x x x （因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点B A ,且2020<<x 所以04320≠-x ，且0)28)(43(416202020>---=∆x x x 设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x 则4328,4342022120021--=-=+x x x x x x x x因为||||cos OB OA AOB ⋅=∠,且)2)(2(120102212121x x x x y x x y y x x --+=+=⋅43824328]43)28(4384[214328])(24[212020202202020202220221202102021=--+--=--+---+--=++--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x所以AOB ∠为定值090.二.斜率定值（倾斜角定值）例2. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 解：方法一：因为椭圆C 的离心率为23，且过点A(2,1)，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222223114c b a ac b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2822b a所以椭圆C 的方程为12822=+y x 因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴， 所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称． 设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k. 所以直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)， 直线AQ 的方程为y －1＝－k(x －2)．设点),(),,(2211y x Q y x P ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-128)2(122y x x k y 得041616)816()412222=--+--+k k x k k x k （① 因为点A(2,1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，则22141416162k k k x +--=，所以22141288k k k x +--= 同理22241288kk k x +-+= 所以222122141416,4116kk x x k k x x +-=++-=- 又22121418)4(kkx x k y y +-=-+=-， 所以直线PQ 的斜率212121=--=x x y y k PQ ，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21. 方法二 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ， 点),(),,(2211y x Q y x P 则b kx y b kx y +=+=2211,， 所以21,212211--=--=x y k x y k QA PA ，因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称， 所以Q A PA k k -=，即21212211--=--x y x y 化简得04)(2)(21211221=++-+-+y y x x y x y x 所以044))(21(22121=+-+--+b x x k b x kx ①由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12822y x b kx y 得0848)41222=-+++b kbx x k （② 则22212214184,418k b x x k kb x x +-=+-=+，代入①，得04441)21(841)84(2222=+-+---+-b k k b kb k b k 整理得0)12)(12=-+-k b k （ 所以k b k 2121-==或 若k b 21-=，可得方程①的一个根为2，不符合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21. 变式：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补 所以PB PA k k -=由⎪⎩⎪⎨⎧==02012122px y px y 相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PA y y pK x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y pK x x y y -==-+ 20()x x ≠所以102022p py y y y =-++所以 1202y y y +=-由⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=- ∴ 21211200222AB y y p p pK x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数0y p-． 三.线段长度定值例3.如图，在平面直角坐标系xoy 中，点），（021F ，直线21:-=x l ，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，l PQ PF RQ ⊥⊥,. (1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过)01(，A ，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长||TS 是否为定值？请说明理由．解 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且PF RQ ⊥， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为)0(22>=x x y ． (2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C 上点),00y x M （，M 到y 轴的距离为00||x x d ==， 圆的半径2020)1(||y x MA r +-==， 则1222||02022+-=-=x y dr TS ，因为点M 在曲线C 上，所以2200yx =，所以2122||020=+-=x y TS ，是定值．变式1：已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，)02(，P 为定点，若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动。

㊀㊀㊀例谈解析几何中的定值问题◉福建省莆田第六中学㊀苏雪晶㊀㊀摘要:定值问题是解析几何中的常见问题,因其涉及的题型多,灵活性强,对运算能力要求高,所以为了促进学生的深度学习,本文中选例做到活而不空㊁深而不偏,以研究定值问题常见题型的解题策略．关键词:定值;定点;深度学习;解题１引言定值问题和定点问题是解析几何高考题中的热点题型．本研究重点探究定值问题中如何转化,优化运算,提高解题效率等问题．定值问题一般涉及与曲线上的动点㊁线系等有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长㊁面积㊁横(纵)坐标㊁长度比值,掌握了定值求值规律和技巧,会更好地解决这一类问题,做到由此及彼㊁触类旁通．２定值问题题型分析解题过程中,要总结解题方法,理解解题策略,通过有效的方法来分析,达到掌握通性通法,面对相关问题都可以轻松应对．在解题时要引入核心变量,将所求表达式用核心变量表示,通过推理㊁计算,消去变量,从而得到定值．定值的确定是解题的根本,也是解题的最终目标．当然实践是检验真理的唯一标准,我们要深入掌握这类题型的解题方法,必须勤加练习,积累解题经验,优化解题过程,不断调整解题策略,下面让我们通过几个典型例题来小试牛刀．２．１题型一:斜率定值问题例１㊀已知抛物线C:y２＝a x(a＞０)上一点P t,１２æèçöø÷到焦点F的距离为２t．(１)求抛物线C的方程;(２)抛物线C上一点A的纵坐标为１,过点Q(３,－１)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,A N的斜率分别为k１,k２,求证:k１k２为定值．解析:(１)抛物线C的方程为y２＝x．(过程略)(２)因为点A在抛物线C上,且纵坐标y A＝１,所以A(１,１)．设过点Q(３,－１)的直线方程为x－３＝m(y＋１),即x＝m y＋m＋３．①式①代入y２＝x,得y２－m y－m－３＝０．设M(x１,y１),N(x２,y２),由韦达定理得y１＋y２＝m,y１y２＝－m－３．所以k１k２＝y１－１x１－１y２－１x２－１＝y１y２－(y１＋y２)＋１m２y１y２＋m(m＋２)(y１＋y２)＋(m＋２)２＝－１２．因此,k１k２为定值．反思:解答时要明确解答的思路,这点并不困难,难点在于联立方程后结合条件化简运算．在解题时,不仅要明确题目中的已知数据和要求,还要掌握联立方程后结合韦达定理进行化简运算,提高计算能力,掌握计算技巧．２．２题型二:面积定值问题例２㊀已知双曲线C:x２a２－y２b２＝１(a＞０,b＞０)的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,O为坐标原点．(１)求双曲线C的方程;(２)直线l与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,证明:әO MN的面积为定值,并求出该定值．解析:(１)由双曲线C的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,得c＝３,ba＝２２,a２＋b２＝c２,ìîíïïïï解得a２＝１,b２＝８．{因此,双曲线C的方程为x２－y２８＝１．(２)因为直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),所以直线l的斜率存在且不为０．设直线l的方程为y＝k x＋m,因为双曲线两条渐近线倾斜角的正切值分别为２２,－２２,所以kʂʃ２２．直线l与x轴正半轴相交于一点D,则mʂ０．由y＝k x＋m,x２－y２８＝１{消去y,得６５复习备考学习交流㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀(８－k ２)x ２－２k m x －m ２－８＝０．由直线与双曲线右支相切得,Δ＝４k ２m ２－４(８－k ２)(－m ２－８)＝０,即８－k ２＝－m ２．由于直线l 与x 轴正半轴交于一点D ,令y ＝０,代入直线l 的方程得x ＝－m k ,即|O D |＝－mk．所以S әM O N ＝S әM O D ＋S әN O D ＝１２|O D | |y M －y N |＝－m２k|k | |x M －x N |．双曲线两条渐近线方程为y ＝ʃ２２x ,联立y ＝２２x ,y ＝k x ＋m ,{可得M m ２２－k ,２２m ２２－k æèçöø÷．同理,易得N －m ２２＋k ,２２m ２２＋k æèçöø÷．S әM O N ＝－m２k |k | m ２２－k ＋m ２２＋k＝１２|－m | ４２m ８－k ２＝－２２m ２８－k２＝２２．故әO MN 的面积为定值２２．反思:本题考查了双曲线方程的求解以及直线和双曲线(或其渐近线)相交时产生的相关面积定值问题．解答时要注意结合图形的几何特征合理使用公式．本题需要选择表示三角形面积的最佳路径,从而将面积转化为坐标关系继而解答,化简整理时,运算比较繁杂,要十分细心．２．３题型三:相关比值定值问题例３㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的离心率是１２,A ,B 分别为椭圆C 的左㊁右顶点,F 是右焦点,过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ,Q ,当直线l 垂直于x 轴时,四边形A P B Q 面积是６．(１)求椭圆C 的方程;(２)若直线l 的斜率为k (k ʂ０),线段P Q 的垂直平分线与x 轴交于点M ,求证:|M F ||P Q |为定值．解析:(１)由x ２a ２＋y ２b２＝１,令x ＝c ,得y ＝ʃb ２a ,所以,当l 垂直x 轴时,|P Q |＝２b２a．于是S 四边形A P B Q ＝１２|A B | |P Q |＝１２ˑ２a ˑ２b ２a＝２b ２＝６,得b ２＝３．又因为e ＝c a ＝１２,a ２＝b ２＋c２,所以a ２＝４．所以,椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１．(２)证明:由题意可知,F (１,０),直线l 的方程为y ＝k (x －１)．由x ２４＋y ２３＝１,y ＝k (x －１){消去y ,得(４k ２＋３)x ２－８k ２x ＋４k ２－１２＝０．设P (x １,y １),Q (x ２,y ２),则x １＋x ２＝８k ２４k ２＋３,x １x ２＝４k ２－１２４k ２＋３,y １＋y ２＝k (x １＋x ２)－２k ＝－６k４k ２＋３．设P Q 的中点为N ,则N ４k ２４k ２＋３,－３k ４k ２＋３æèçöø÷．于是直线MN 的方程为y ＋３k ４k ２＋３＝－１k x －４k ２４k ２＋３æèçöø÷．令y ＝０,得M k ２４k ２＋３,０æèçöø÷．所以|M F |＝３(k ２＋１)４k ２＋３．又|P Q |＝１＋k ２ (x １＋x ２)２－４x １x ２＝１＋k ２８k ２４k ２＋３æèçöø÷２－４(４k ２－１２)４k ２＋３＝１２(k ２＋１)４k ２＋３．所以|M F ||P Q |＝１４为定值．反思:解题过程中要明确解题方法和其中包含的数学思想．认真审题,分析解题用到的数学思想方法,学会借助韦达定理来表示每一条线段长．当解题思路明晰时,会发现线段长都用核心变量表示出来后就能求出定值．分析时要寻找题目中已经给出来的已知信息,判断不同数据之间的逻辑关系,在推理中把握联系,形成客观性认识,明确思路,快速解题．３总结以上几种思维策略是高中数学中常用方法,对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(如直线斜率不存在或为０)或者对称关系求出定值,进而给后面一般情形指明方向;运算中尽量利用变量之间关系(如点的坐标符合曲线方程等)做到整体代入,设而不求,简化运算．要想在高考中运用自如,需要在平常的解题过程中多加实践,不断理清思路,积累经验,提升逻辑思维能力和运算能力,最终达到对此类题型熟能生巧㊁胸有成竹．７５２０２２年７月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀学习交流复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

解析几何中的定值问题考纲解读：定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。

如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线。

（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值。

解析：（1）设椭圆方程为12222=+by a x （a >b >0），A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ，AB 的中点为N(x 0,y 0)， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ，两式相减及11212=--x x y y 得到0220x a b y -=，所以直线ON 的方向向量为),1(22a b ON -=，∵ //，∴2231a b =，即223b a =，从而得36=e（2）探索定值 因为M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OA OM=，此时0,1==μλ，∴122=+μλ 证明 ∵ 223b a =，∴椭圆方程为22233b y x =+，又直线方程为c x y -=∴⇒⎩⎨⎧=+-=22233b y x c x y 03364222=-+-b c cx x∴ 222212183433,23c b c x x c x x =-==+ 又设M （x ，y ），则由OB OA OM μλ+=得⎩⎨⎧+=+=2121y y y x x x μλμλ，代入椭圆方程整理得2222122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ又∵2212133b y x =+，2222233b y x =+， 0329233)(343222*********=+-=++-=+c c c c x x c x x y y x x ∴ 122=+μλ例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

《解析几何》中的定值问题[定值问题]（1）解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量→函数→定值”，具体操作过程如下： 变量————选择适当的量为变量函数————把要证明为定值的量表示成上述变量的函数； 定值————把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值． （2）求定值问题常见的方法有两种：（ⅰ）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（ⅱ）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[典型例题]1．如图所示，M 是抛物线x y =2上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MB MA =．若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；2．【2011重庆理】(改编)如题图，椭圆方程为12422=+y x ．设动点P 满足：ON OM OP 2+=，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为21-2 为定值？若存在，求1F ，2F 的坐标；若不存在，说明理由．3．【2010山东理】如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ． （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.4．（12上海理）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ； （3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.5．（13江西理）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点P （1，23），离心率21=e ，直线l的方程为4=x ．（1） 求椭圆C 的方程；（2） AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM的斜率分别为k 1，k 2，k 3。

◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题一、定点问题定点问题，一般是直线系（或者曲线系）恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据曲线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线系（或者曲线系）方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.例如：（1）直线系1y kx =+中，当k 变化时，恒过定点(0,1)；（2）直线系2(1)y k x +=-中，当k 变化时，恒过定点(1,2)-；（3）已知直线1:40l x y +-=，2:270l x y +-=，则过1l ，2l 交点的直线可以设为(4)(27)0x y m x y +-++-=，即(21)(1)7m x m y m +++--=.直线系(21)(1)740m x m y m +++--=恒过1l ，2l 的交点.1．如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2.一条直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A 、B 两点，OA OB ⊥（O 为坐标原点）.求证直线l 恒过定点，并求出定点的坐标.3.222122221223231311(0)45|PF |=3|MN|=4.(1)C a b C xC C C y C C yx yab+=>>=已知椭圆：的右焦点F 与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为P ，，圆C 的圆心T 是抛物线上的动点，圆C 与轴交于M,N 两点，且求椭圆的方程。

（2）证明：无论点T 运动到何处，圆C 恒经过椭圆上一点二、定值问题定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.例如（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值；（2）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值；（3）抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.（4）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，则A 、B 两点的横坐标之积为定值4221p x x =，纵坐标之积为定值y 1y 2=-p 2.；11AF BF +为定值2p . 【顺便记住)(21x x p AB ++== 2p sin 2θ.】4.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为定值，并求出此定值．5.设000(,)A x y 是曲线2:4C x y =上的一个定点，过点0A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q .证明：直线PQ 的斜率为定值.三.定直线（轨迹）问题证明动点在某一直线上（或某轨迹上）的问题，可以转化为求动点的轨迹问题，基本的方法有直接法和消参法。