第14讲 抽象函数的图像和性质问题的处理方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求解抽象函数问题的策略。

一、 利用特殊模型例1、若函数()f x 具有性质：1.()f x 为偶函数；2、对任意,x R ∈ 都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数的解析式可以是______________。

（只须写出满足条件的()f x 的一个解析式即可）分析：看到已知条件中有关于 π的不等式，所以联想到三角函数，结合()f x 为偶函数，得满足条件的函数()f x 的解析式是 ()f x =cos4x 或()sin 2f x x =。

例2、若函数()f x 和()g x 在R 上有定义，且()()()()()()(),210,f x y f x g y f x g y f f -=--=≠则()1g ()()11__g g +-= 。

（用数字作答）。

分析与解：()()()()()f x y f x g y f x g y -=-∴联想到三角公式，可取()sin ,f x x =则()f x 是奇函数，于是有：()()()()()()()sin 2sin 11sin 11cos 1sin 1sin1cos1cos 1sin1coc -=--=---=+-=⎡⎤⎣⎦()cos1cos 11∴+-=-，即()()111g g +-=-例3、设函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数m ，n ，总有()()()f n m f m f n +=且x >0,时0<()f x <1,()1证明:()01f =，且当x<0 时,()1f x > ()2证明:()f x 在R 上单调第减. ()3设()()()(){}()(){}22,1,,21,A fx y f x f y f B x y f ax y a R =∣>=∣-+=∈,,若,A B =∅确定a 的X 围.分析与解:由于()()()f n m f x f y +=,所以联想到指数函数()()01x f x a a =<≠,则题意十分简明,为理解和解决问题作了模型和方法上的铺垫. (1)\在()()()f n m f x f y +=中,取0,0m n >=,有()()()0f m f m f =0x >且()01f x <<∴()01f =又设:0,,m x n x =<=-()()()()()()()01011f x f m n f f x f x f x f x <-<∴+==-∴=> 即 0x <时,()1f x >(2) 设12x x <,则120x x -<,且()()21101,0f x x f x <-<>()()()()()()21211112110f x f x f x x x f x f x f x x ∴-=-+-=--<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在R 上是增函数.(3) ()()()(){}22,1A x y f x f y f =∣>,有221;xy +<()(){},21,B x y f ax y =|-+=有20ax y -+=,A B =∅22120x y ax y +<∴{-+= 无解,即直线20ax y -+=和单位圆没有交点,只须213a a ≥⇒≤⇒≤≤例 4.已知定义域R +为的函数()f x ,对于任意,x y R +∈ 的是,恒有()()()f xy f x f y =+(1) 求证:当x R +∈时,()1;f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 若1x >时,恒有()0,f x <,求证:()f x 必有反函数.(3) 设()1f x -是()f x 的反函数,求证:()1f x -在其定义域内恒有()()()1111212f x x f x f x ---+=分析与解:由于()()()f xy f x f y =+,所以联想带对数函数()()log 01a f x x a =<≠则问题就简单易于理解了. (1) 令1x y ==,得()10f = 令1y x=得()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴当x R ∈时,有()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 设12,x x R +∈且12,x x <则211,xx >故()()()22121110x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21,f x f x <()f x ∴在R +上单调递减，故()f x 必有反函数。

抽象函数常见题型汇编及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

抽象问题有形化破解抽象函数难题抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征式子的一类函数.抽象函数题既能考查函数的概念和性质,又能体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查.由于抽象函数表现形式抽象,对学生思维能力考查的起点较高,使得此类问题成为函数内容的难点之一,使多数学生感觉无从下手,望而生畏.事实上,解决此类问题时,只要准确掌握函数的性质,熟知我们所学的基本初等函数,将抽象函数问题转化为具体函数问题,问题就迎刃而解了.具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法等.➢高考真题【2018·全国Ⅱ卷理科·11】已知是定义域为的奇函数,满足.若,则( )A. B. C. D.➢解题策略【过程分析】由于题目条件中的没有具体的解析式,仅给出了是定义域在上的奇函数,且,即()为抽象函数,显然我们不可能去一一求解这些函数值,这说明这些函数值应满足某种规律,而这种规律必然和函数的性质有关.【深入探究】求解的值,如果一一求解函数值,这个过程是比较复杂的,自然而然的让我们有这样的想法:函数()的图象是不是满足某种规律性的变化呢?基于这个想法及选择题的特点,那么解题方向不外乎两个:一是判断的周期性,利用函数的周期性求解;二是构造一个具体的函数来求解.➢解题过程法一:利用函数的性质∵是定义域为的奇函数,∴,且,∵,∴,,∴,∴,∴是周期函数,且一个周期为,∴,,,∴,,,,以,,,,循环,∴,故选C. 法二:构造特殊函数由题意可设,作出的部分图象如图所示.由图可知,的一个周期为,所以,故选C.➢解题分析本题条件中的函数为抽象函数,给出了函数的性质,求函数值.解法一从函数性质入手,由奇偶性和对称性,推出了周期性从而完成求值,体现了数学抽象与逻辑推理能力;解法二结合题中的函数,联系函数,将抽象函数具体化,从而完成求解,体现了数学建模及数形结合思想.➢拓展推广把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.抽象函数问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解,同时抽象函数问题又将函数的定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性和图象集于一身,是高中数学的难点,也是近几年考试的热点和重点.1.解决抽象函数问题的常用方法函数性质法:先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质,这样函数就不再抽象了,而是变得相对具体,我们就可以画出符合性质的草图来解题.特殊值法:根据对题目给出的抽象的函数性质的理解,我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值,把抽象函数问题化为具体的数学问题,从而问题得解.构造函数法:导数、不等式、函数相结合的问题,往往考查函数的单调性、大小比较、解不等式等,问题的关键点在于利用好已知条件中含有原函数和它的导函数的式子,考虑用构造函数法,通过构造函数,使抽象函数问题具体化.2.解决抽象函数问题常用的结论(1)定义域问题这类问题的一般形式是:已知原函数的定义域为,求复合函数的定义域:只需解不等式,不等式的解集即为所求函数的定义域.已知复合函数的定义域为,求函数的定义域:由,求的取值范围,即求函数在的值域.(2)奇偶性问题抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的,首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数.要判断抽象函数的奇偶性,多用赋值法,给已知的等式中的变量取恰当的值,如等,有时需要多次赋值,才能达到解题目标.(3)单调性问题抽象函数虽然没有解析式,但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的,同样利用函数的单调性的定义.奇偶函数在对称区间上的单调性:奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.(4)周期性问题①若函数定义域为,且满足条件,则是以为周期的周期函数.推论1.若函数定义域为,且满足条件,则是以为周期的周期函数.推论2.若函数满足条件,则是以为周期的周期函数.推论3.若函数满足条件,则是以为周期的周期函数.②若函数的图象关于直线与对称,则是以为周期的周期函数.③若函数的图象关于点与点对称,则是以为周期的周期函数.④若函数的图象关于直线与点,则是以为周期的周期函数.(5)对称性问题①若函数定义域为,且满足条件,则函数的图象关于直线对称.推论1.若函数定义域为,且满足条件,则函数的图像关于直线对称.推论2.若函数定义域为,且满足条件,则函数的图像关于直线对称.推论3.若函数定义域为,且满足条件,又若方程有个根,则此个根的和为.②若函数定义域为,且满足条件(为常数),则函数的图象关于点对称.推论1.若函数定义域为,且满足条件(为常数),则的图象关于点对称.推论2.若函数定义域为,且满足条件(为常数),则函数的图象关于点对称.③若函数定义域为,则函数与两函数的图象关于直线对称(由可得).推论1.函数与函数的图象关于直线对称.推论2.函数与函数的图象关于直线对称.④若函数定义域为,则函数与的图象关于点对称.推论.函数与函数图象关于点对称.变式训练1已知定义域为的函数满足,当时,单调递增,若且,则的值( )A 恒大于B 恒小于C 可能等于D 可正可负变式训练2已知函数,且,则实数的取值范围为( )ABCD变式训练3已知定义在上的函数满足,且, ,则方程在区间上所有实根之和为( ) A B C D变式训练4已知函数的图象关于直线对称,且当时,,设,,,则,,的大小关系为( )ABCD变式训练5定义在上的函数的图像关于对称,且当时, (其中是的导函数),若,, ,则, , 的大小关系是__________答案变式训练1B 恒小于法一:由,得, 即,故函数的对称中心为,令,解得.又函数在上单调递增,画出函数的大致图象如图所示.由,可得与异号,即,分布在直线的两侧,不妨设.由,可得,即,由函数的对称性,可知必有.法二:由可知,则函数图象关于点中心对称.因为时,单调递增,所以时,单调递增.因为且,不妨设,则,所以.又因为,所以,即. 变式训练2C函数,易得图象关于对称,且在上单调递增,又,∴,即或,解得或.故选C.变式训练3C由题意知,即的图象关于点对称,由知函数的周期为,则函数,在区间上的图象如图所示:由图形可知函数,在区间上的交点为,,,易知点的横坐标为,若设的横坐标为,则点的横坐标为,所以方程在区间上的所有实数根之和为.故选C.变式训练4A函数的图象关于直线对称,将的图象向右平移个单位得到,则关于直线即轴对称,则函数是偶函数,当时,为减函数,∴当时为增函数,∵,,, ∵,,,∵,∴,即,则,即. ∵当时为增函数,∴,即,故选A.变式训练5∵当时不等式成立,即,∴在上是减函数,又∵函数的图象关于点对称,∴函数的图象关于点对称,∴函数是定义在上的奇函数,∴是定义在上的偶函数,∴在上是增函数,又∵,, ∴,即,即.故答案为.。

抽象函数常有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的详细分析式，只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数。

因为抽象函数表现形式的抽象性，使得这种问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常有题型及解法评析以下：一、定义域问题例 1. 已知函数f ( x 2 ) 的定义域是［ 1 ， ］，求 f （ ）的定义域。

2 x解：( 2 ) 的定义域是［1 x 2222f x 1 ， ］，是指，所以f ( x ) 中的x 知足1 x42从而函数 f （ x ）的定义域是［ 1，4］评析： 一般地，已知函数 f ( ( x)) 的定义域是A ，求 f （ x ）的定义域问题，相当于已知f ( (x)) 中 x 的取值范围为 A ，据此求( x) 的值域问题。

例 2. 已知函数 f (x) 的定义域是 [1，2] ，求函数 f [log 1 (3 x)] 的定义域。

2解： f ( x) 的定义域是 [ 1，2] ，意思是凡被 f 作用的对象都在[ 1，2] 中，由此可得1 log 1(3 x)2( 1 ) 2 3 x ( 1) 11 x112224所以函数f [log(3 x )] 的定义域是11，1[1]24评析： 这种问题的一般形式是：已知函数f （ x ）的定义域是 A ，求函数 f ( (x)) 的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的重点。

这种问题本质上相当于已知(x) 的值域 B ，且 BA ，据此求 x 的取值范围。

例 2 和例 1 形式上正相反。

二、求值问题例 3. 已知定义域为 R 的函数 f （ x ），同时知足以下条件： ① f (2)1， f (6)1f ( x) f ( y) ，；② f ( x y)5求 f （ 3）， f （ 9）的值。

解： 取 x 2， y3，得 f (6) f (2)f (3)因为 f (2)1 ，所以 f4 又取 x y3 ，得 f (9)f (3)f (3)81， f (6) (3)555评析：经过察看已知与未知的联系，奇妙地赋值，取x 2， y3，这样便把已知条件 f (2)1， f (6)1 与5欲求的 f （ 3）交流了起来。

1 / 14 专题14 运用函数的图像研零点问题 一，题型选讲 题型一： 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像.作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确. 例1，(2019苏州三市，苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上

43,432,2)(xxxx

xf则函数xxfylog5)(的零点的个数为

【答案】 5 【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇

函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和

y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，

而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归，数形结合的思想，

函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点． 2 / 14

例2，(2017苏锡常镇调研)若函数f(x)＝ 12x－1，x＜1，lnxx2，x≥1，)则函数y＝|f(x)|－18的零点个数为________． 【答案】 4 【解析】设g(x)＝lnxx2，则由g′(x)＝x－lnx·2xx4＝1－2lnxx3＝0，可得x＝e，所以g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g(e)＝12e＞18.在同一平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝18的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．

高一数学抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数f(某2)的定义域是［1，2］，求f（某）的定义域。

22解：f(某2)的定义域是［1，2］，是指1某2，所以f(某2)中的某满足1某4从而函数f（某）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数f((某))的定义域是A，求f（某）的定义域问题，相当于已知f((某))中某的取值范围为A，据此求(某)的值域问题。

，2]，求函数f[log1(3某)]的定义域。

例2.已知函数f(某)的定义域是[12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[1，2]中，解：f(某)的定义域是[1由此可得1log1(3某)2()3某()21221211某114所以函数f[log1(3某)]的定义域是[1，211]4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（某）的定义域是A，求函数f((某))的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知(某)的值域B，且BA，据此求某的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3.已知定义域为R的函数f（某），同时满足下列条件：①f(2)1，f(6)1；②f(某y)f(某)f(y)，5求f（3），f（9）的值。

解：取某2，y3，得f(6)f(2)f(3)欲求的f（3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题例4.设函数f（某）定义于实数集上，对于任意实数某、y，f(某y)f(某)f(y)总成立，且存在某1某2，使得f(某1)f(某2)，求函数f(某)的值域。

解：令某y0，得f(0)[f(0)]2，即有f(0)0或f(0)1。

若f(0)0，则f(某)f(某0)f(某)f(0)0，对任意某R均成立，这与存在实数某1某2，使得f(某1)f(某2)成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)1。