局部凸空间的P-自反性和某些凸性光滑性之间的对偶特征(Ⅱ)

内蒙古大学硕士学位论文关于局部凸空间的P-自反及凸性和光滑性的等价姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20030402内蝥山人学硕叶：学位论文，娅州＇３ｔ联３．１０（２），（３），即川分别纷出哭ｊ二局部一致光滑利弱局部一致光滑的证明。

关于强光滑和非常光滑的证明只濡应用引殚３．１０（４）的必要性即可。

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§４Ｐ一自反及其性质在这一节中我们给出简鄢Ｐｆ空闻口，‘，）蹩Ｐ－自反的定义，弗讨论ｐ舀反空间的若干幢凌，茭中毽褥重筏静楚它与蠡反空阁静关系。

凸优化问题中的对偶理论凸优化是指在最优化问题中，目标函数为凸函数，约束条件为凸集合的优化问题。

凸优化问题在实际问题求解中广泛应用，如机器学习、图像处理、控制理论等领域。

对偶理论是凸优化理论中的一个重要部分，它提供了一种有效的方法来解决原始优化问题和对偶优化问题之间的关系。

本文将探讨凸优化问题中的对偶理论。

1. 对偶问题的定义和性质在凸优化中，对偶问题是原始优化问题的补充和拓展。

对于一个凸优化问题，其对偶问题可以通过拉格朗日函数的定义和对偶性质得到。

拉格朗日函数是原始问题的目标函数与约束条件的线性组合。

对偶性质指出，原始问题的最优解和对偶问题的最优解之间存在一种对偶关系。

2. 对偶问题的构造对于一个凸优化问题，通过拉格朗日函数的定义，可以得到原始问题的拉格朗日函数。

然后，通过最大化或最小化拉格朗日函数，可以得到对偶问题。

对偶问题的构造需要满足一定的条件，如强对偶性和对偶性定理等。

3. 对偶间隙对偶间隙是凸优化中的一个重要概念。

它指的是原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间的差距。

当对偶间隙为零时，说明原始问题的最优解和对偶问题的最优解相等，即达到了最优解。

4. 对偶解的几何解释几何解释是理解对偶问题的重要方法之一。

通过对偶解的几何解释，可以帮助我们更好地理解和求解凸优化问题。

对偶解的几何解释可以使用图形的方式表示，如凸包、拐角点等。

5. 对偶问题在凸优化中的应用对偶问题在凸优化中具有广泛的应用。

例如，在支持向量机(SVM)中，通过对偶问题可以更快地求解分类器的最优解；在线性规划中，对偶问题可以用来求解线性规划问题的最优解等。

对偶问题在凸优化中的应用不仅提高了效率，还为解决实际问题提供了更多的选择。

综上所述，凸优化问题中的对偶理论在研究和应用中起着重要的作用。

通过对偶问题的定义和性质、对偶问题的构造、对偶间隙、对偶解的几何解释以及对偶问题在凸优化中的应用等方面的讨论，我们可以更好地理解和应用对偶理论。

局部凸空间的p-自反性和某些凸性光滑性之间的对偶特征
(Ⅱ)(英文)
于亚璇;刘德;罗成
【期刊名称】《内蒙古大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2007(38)4
【摘要】设X是实线性空间,P是X上的一族分离半范数,且TP是X上由P生成的局部凸分离拓扑.证明了半范数族P和它的每一个S-最简形式具有相同的凸性和光滑性.在P-自反的条件下,得到偶对(X,P)是一致光滑的(一致凸的)当且仅当它的强对偶(X,′P′)是一致凸的(一致光滑的).对其它的凸性和光滑性也有类似结果.
【总页数】7页(P366-372)
【关键词】局部凸空间;S-最简半范数族;P-自反空间;偶对;凸性;光滑性
【作者】于亚璇;刘德;罗成
【作者单位】内蒙古大学理工学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O189.11
【相关文献】
1.局部凸空间k-强光滑性与k-非常光滑性的进一步探讨 [J], 陈利国
2.局部凸空间的中点局部k-一致凸性与中点局部k-一致光滑性 [J], 陈利国;罗成;王君
3.局部凸空间的一致极凸性和一致极光滑性 [J], 魏文展;申守伟;季乐文
4.局部凸空间k-强光滑性与k-非常光滑性的等价刻画 [J], 陈利国;陆源
5.局部凸空间的P-自反性和某些凸性光滑性之间的对偶特征(Ⅰ)(英文) [J], 于亚璇;刘德;罗成
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第21卷哈尔滨师范大学自然科学学报V o l .21,N o .22005第2期N A T U R A LS C I E N C E S J O U R N A LO FH A R B I NN O R M A LU N I V E R S I T Y凸优化问题最优解存在性及零对偶间隙的刻划班立群(哈尔滨师范大学)【摘要】　在本文,我们考虑一类凸约束优化问题.我们引入一个闭性条件,在某种意义下,此闭性条件完全刻划了凸优化问题的扰动问题最优解的存在性及其零对偶间隙.关键词:零对偶间隙;S -凸映射;S -下半连续;函数类F收稿日期:2005-04-020　引言我们考虑如下凸约束优化问题:(C P )　μ:i n f f (x )s .t .x ∈C ,g (x )∈-S ,其中X ,Y 为局部凸拓扑向量空间,C X 为一闭凸集,S Y 为一闭凸锥,f :X ※R ∪{+∞}为一个真凸下半连续函数,g :X ※Y 为一个S -凸映射.与(C P )相对应的L a g r a n g i a n 对偶问题为(C D )ν:=s u p y ＊∈S+i n f x ∈C{f (x )+<y ＊,g (x )>}.如果μ=ν,我们称(C P )与(C D )有零对偶间隙.在什么条件下问题(C P )有最优解,以及零对偶间隙存在?这类问题已被广泛的讨论过(见文献[1,4,5,6,9,10]).特别,J e y a k u m a r 和W o l k o w -i c z [4],在强正则条件(即广义值域是闭)下,通过研究值函数的性质,证明了问题(C P )存在最优解且零对偶间隙成立.A u s l e n d e r [1],针对有限维情形(X =R n ,Y =R m),引进一类函数F ,这类函数包括二次凸函数、多项式凸函数、逐点二次线性凸函数以及许多其它性质的函数.对于这类函数,他证明了问题(C P )存在最优解且零对偶间隙成立.本文的目的是证明文献[4]引入的闭性条件能够完全刻划问题(C P )最优解的存在性以及零对偶间隙,即闭性条件等价于(C P )的扰动问题的最优解存在且零对偶间隙成立.1　预备知识设X 为局部凸空间,X ＊为其对偶拓扑空间.记<x ＊,x >为X 与X ＊之间的双线性形式.设C为空间X 中的非空子集.C 的闭包和内部分别记作c l C 和i n t C .如果集合D X ＊,则记号c l D 表示集合D 的弱＊闭包.C 上的指示函数和支撑函数分别记作δC 和δ＊C .设f :X ※R ∪{+∞}为真凸函数.f 的有效域及其上图定义为:d o m f ={x ∈X f (x )<+∞}和　e p i f ={(x ,r )∈X ×R f (x )≤r }.定义f 的共轭函数f ＊:X ＊※R ∪{+∞}为　f ＊(x ＊)={<x ＊,x >-f (x ) x ∈d o m f }函数h :X ＊※R ∪{+∞}的共轭也有类似的定义h ＊(x )=s u p {<x ,x ＊>-h (x ＊) x ＊∈d o m h }. 设f i ,i ∈I (其中I 为任意指标集)是下半连续真凸的.我们知道(见文献[7])如果s u p i ∈I f i 是真的,则(s u p i ∈I f i )＊=c l c o (i n f i ∈If ＊i ).(1)基于以上事实,我们很容易得到e p i (s u p i ∈I f i )＊=c l c o (∪i ∈Ie p if ＊i )(2) 设Y 为一局部凸空间,Y ＊为其对偶拓扑,并且设S Y 为一闭凸点锥.S 的对偶锥记作S +,定义为S +={y ＊∈Y ＊<y ＊,y >≥0, y ∈S }锥K Y ＊的对偶锥可相类似地定义为: K +={y ∈Y <y ,y ＊>≥0, y ＊∈K }.我们知道(S +)+=S .设g :X ※Y 为一映射,如果它的上图e p i g ={(x ,y ) y ∈g (x )+S }是凸的,即对任意x 1,x 2∈X 及任意λ∈[0,1],总有g (λx 1+(1-λ)x 2)∈λg (x 1)+(1-λ)g (x 2)-S 成立,则称g 是S -凸的.我们称g 在点x 0是S -下半连续的,如果对0∈Y 的任意邻域V ,存在x 0∈X 的邻域U x 0使得g (x )∈g (x 0)+V +S x ∈U x 0.如果g 在任意一点x ∈X 是S -下半连续的,则称g 在X 上是S -下半连续的.显然,若g 是连续的,则g 是S -下半连续的;如果g 是S -下半连续的,则e p i g 是闭的.2　凸优化问题对于一个凸优化问题(P ) m i n x ∈Xf (x ),我们引入一个真函数 :X ×Y ※R ∪{+∞}使得 (x ,y )是下半连续凸的,其中Y 为另外一个局部凸空间.相应的L ag r a n g i a n 函数L :X×Y ＊※R ∪{±∞}如下给出:L (x ,y ＊)=i n f y ∈Y { (x ,y )-<y ＊,y >}.(3)注意到:对于每一个x ,函数-L (x ,y ＊)在Y 上共轭于 (x ,·).对 的假设条件保证了 (x ,·)也同样共轭于-L (x ,·):(x ,y )=s u p y ＊∈Y{L (x ,y ＊)+<y ＊,y >}(4)显然L 满足如下等式s u p y ＊{L (x ,y ＊)-<x ＊,x >}= (x ,0)-<x ＊,x >,并且- ﹡(x ＊,y ＊)=i n f x {L (x ,y ＊)-<x ＊,x >}.下面我们将给出零对偶间隙的刻划性定理.引理1　设 :X ×Y ※R ∪{+∞}为下半连续真凸函数.假设α0=s u p y ＊∈Y＊i n f x ∈XL (x ,y ＊)>-∞,则以下结论等价:(i )m i n x ∈X (x ,y )=s u p y＊∈Y ＊{i n f x ∈X L (x ,y ＊)+<y ＊,y >}, y ∈Y .(i i )D :=∪x ∈Xe p i (x ,·)是闭的.证明:(i i ) (i )设α:=s u p y ＊∈Y＊i n f x ∈X{L (x ,y ＊)+<y ＊,y >}.因为α0>-∞,则α>α0>-∞.如果α=+∞,则(i )显然成立.假设α<+∞.则α有限,并且α=s u p y ＊∈Y＊{<y ＊,y >-s u p x ∈X(-L (x ,y ＊))}.又因为α0>-∞,则存在y ＊0∈Y ＊使得s u p x ∈X (-L (x ,y ＊))<∞.因为 真,y ＊※s u p x ∈X (-L (x ,y ＊))亦真,则根据(1)和(2)我们有α=(c l c o i n f x ∈X (-L (x ,·))＊)(y )和(y ,α)∈c l c o [∪x ∈X e p i (-L (x ,·))＊]=c l c o D 成立.又已知 (x ,y )凸,则D 凸.因此,由(i i )有(y ,α)∈D ,进而存在 x ∈X ,使得α≥ ( x ,y ).又由弱对偶定理知α≤m i n x ∈X (x ,y ).因此,α=m i n x ∈X (x ,y )= ( x ,y ).故证得(i )成立.(i ) (i i )设(x ,r )∈c l D .则s u p y ＊∈Y＊{<y ＊,y >-s u p x ∈X (-L (x ,y ＊))}≤r .这样,同时依据(i ),证得存在x ∈X 使得 (x ,y )≤r .进而证明(x ,r )∈D .注记1.1　蕴含关系(i i ) (i )在文献[2]中已被证明.3　有约束的凸优化问题下面,我们将考虑有约束凸优化问题(C P ) m i n f (x )s .t .x ∈C ,g (x )∈-S .定义函数 :X ×Y ※R ∪{+∞}如下(x ,y )=f (x ),如果x ∈C ,g (x )∈y -S+∞,其它情况(5)则相应的L a g r a n g i a n 函数为:L (x ,-y ＊)=f (x )+δC (x )+<y ＊,g (x )>,　如果y ＊∈S+-∞, 其它情况(6)以及相应于(C P )的L a g r a n g i a n 对偶问题为(C D )　m a x y ＊∈S+i n f x ∈C{f (x )+<y ＊,g (x )>}.我们对上面的L a g r a n g i a n 函数应用引理1,得到如下定理:定理2　设C X 为一闭凸集,S Y 为一闭凸锥,f :X ※R ∪{+∞}为一下半连续真函数,并6哈尔滨师范大学自然科学学报 2005年且设g :X ※Y 是一个S -下半连续,S -凸映射.我们假设α0:=s u p y ＊∈S +i n f x ∈X {f (x )+<y ＊,g (x )>}>-∞.则以下结论等价:(i )m i n x ∈C ∩g -1(y -S )f (x )=s u p y＊∈S +i n f x ∈C {f (x )+<y ＊,g (x )>-<y ＊,y >}, y ∈g (X )+S .(i i )(g ,f )(C )+S ×R +={(y ,r )∈Y ×R x ∈C ,s .t .f (x )≤r ,y ∈g (x )+S }是闭的.证明:我们先证明 (x ,y )是下半连续真凸函数.容易证明 真.又对 (x 1,y 1),(x 2,y 2)∈X×Y ,及 λ∈[0,1],我们知道λ (x 1,y 1)+(1-λ) (x 2,y 2)=λf (x 1)+(1-λ)f (x 2),　λg (x 1)+(1-λ)g (x 2)∈λy 1+(1-λ)y 2-S +∞, 其它情况而且 (λ(x 1,y 1)+(1-λ)(x 2,y 2))=f (λx 1+(1-λ)x 2),　g (λx 1+(1-λ)x 2)∈λy 1+(1-λ)y 2-S +∞, 其它情况由f 的凸性及g 的S -凸性,有f (λx 1+(1-λ)x 2)≤λf (x 1)+(1-λ)f (x 2)g (λx 1+(1-λ)x 2)∈λg (x 1)+(1-λ)g (x 2)-S 于是 (λ(x 1,y 1)+(1-λ)(x 2,y 2))≤λ (x 1,y 1)+(1-λ) (x 2,y 2).即证得 为凸函数.注意到: 是下半连续的当且仅当对任意的r ∈R ,非空水平集{ ≤r }:={(x ,y ) (x ,y )≤r }是闭的.任取(x n ,y n )∈{ ≤r }使得(x n ,y n )※(x ,y )则f (x n )≤r ,(x n ,y n )∈e p i g .由f 的下半连续性可知f (x )≤r .由g 的S -下半连续性知,e p i g 是闭的,于是(x ,y )∈e p i g ,即g (x )∈y -S .进而证得(x ,y )∈{ ≤r }.接下来,我们考虑(5)式中定义的 (x ,y ),注意到:∪x ∈X e p i (x ,·)={(y ,r )∈Y ×R x ∈X ,s .t . (x ,y )≤r }={(y ,r )∈Y×R x ∈X ,s .t .f (x )≤r ,g(x )∈y -S }=(g ,f )(C )+S ×R +.故此定理的结论是引理1的直接结果.J a y a k u m a r 和W o l k w i c z 在文献[4]中,对于广义凸规划问题运用经典的分离定理证明了类似的结论.为了研究非线性规划问题(A u s l e n d e r [1]引进了一类函数F ,这类函数包括二次凸函数、多项式凸函数、逐点二次线性凸函数以及许多其它性质的函数.此类函数是如下定义的:定义3　设函数f :X ※R ∪{+∞}是下半连续真的,如果对任意ρ>0,对任意收敛某于某个实数的实数列{εn },以及对任意满足如下条件的序列{x n}∈X f (x n )≤εn ,‖x n ‖※+∞,x n‖x n ‖※ x ∈k e r f ∞总存在n 0使得f (x n -ρ x )≤εn n ≥n 0,其中f ∞表示f 的回收函数.则称f ∈F .A u s l e n d e r 在文献[1]中证明了下面的结果.定理[A u s l e n d e r ]　设f ,g i∈F ,且均为凸函数,并设d o m f =d o m g i 对任意i =1,…,m 成立.则(g ,f )(X )+R m+1+是闭的.结合定理2,我们得到如下推论:推论4　设f ,g i 为F 的凸函数,并设d o m f =d o m g i 对任意i =1,…,m 成立.假设α0:=s u p λ∈R m +i n f x ∈X{f (x )+∑mi =1λi g i(x )}>-∞,则m i n {f (x ):g i (x )≤y i}=s u p λ∈R m +i n f x ∈X {f (x )+∑mi =1λi (g i (x )-y i )}.A u s l e n d e r 在文献[1]中,通过研究值函数的性质,证明了推论4的结论.我们考虑如下线性约束问题:(L C P )　m i n f (x )s .t .x ∈C ,A x -b ∈S ,其中A :X ※Y 为一个连续线性运算,b ∈Y 为一给定点.此时的对偶问题退化为(D L P )　m a x y ＊∈S +{<y ＊,b >-(f +δC )＊(A ＊y ＊)}.定理5　设C X 为一闭凸集,S Y 为一闭凸锥,并且b ∈S 为一给定点.设f :X ※R ∪{+∞}为下半连续真凸函数,A :X ※Y 为连续线性算子,我们假设α0:=s u p y ＊∈S +{<y ＊,b >-(f +δC )＊(A ＊y ＊)}>-∞.则以下结论等价:(i )对任意y ∈b +S -A C m i n {f (x ) x ∈C ,A x ∈S +b -y }=s u p y ＊∈S+{<y ＊,b-y>-(f +δC )＊(A ＊y ＊)}.(i i )D=(-A ,f )(C )+(b +S )×R +是闭7第2期 凸优化问题最优解存在性及零对偶间隙的刻划的.证明:令g(x)=-A x+b.则此结论是定理2的直接结果.当f为一个线性连续函数,并且C为一个闭凸锥时,问题(L C P)变为如下形式的锥线性问题: (L C P1)　m i n<x＊,x>s.t.x∈X,A x-b∈S.在这种情况下,对偶问题就退化为(D L P1)　m a xy＊∈S+{<y＊,b> A＊y＊+x＊∈C+}.推论6　设C X及S Y均为闭凸锥,并且b∈S为一个给定点,并设A:X※Y为连续线性算子,我们假设α0=s u py＊∈S+{<y＊,b> A＊y＊+x＊∈C+}>-∞,则以下结论等价:(i)对任意y∈b+S-A Cm i n{<x＊,x>x∈C,A x∈S+b-y}=s u py＊∈S+{< y＊,b>A＊y＊+x＊∈C+}.(i i)D=(-A,x＊)(C)+(b+S)×R+是闭的.众所周知,当y=0时,蕴含关系(i i) (i)成立,例如见文献[8].致谢:本文是在宋文教授的精心指导下完成,在此表示由衷地感谢!参　考　文　献1　A u s l e n d e r,A.,E x i s t e n c eo f o p t i m a l s o l u t i o n s a n d d u a l i t y r e s u l t s u n d e r w e a kc o n d i t i o n s,M a t h.P r o g r a m.,S e r.2000,A88,45～592　G w i n n e r,J.a n dP o m e r o l,J.-C.,O nw e a k＊c l o s e d n e s s,c o e r-c i v e n e s s,a nd i n f-s u pt he o r e m s,A r c h.M a t h,1989,52,159～1673　G w i n n e r,J.a n d J e y a k u m a r,V.,S t a b l e m i n i m a x o nn o n c o m p a c t s e t s,F i x e d p o i n t T h e o r y a n dA p p l i c a t i o n s(M a r s e i l l e1989),P i t-m a nR e s.N o t e sM a t h.S e r.,L o n g m a n S c i.T e c h.H a r l o w, 1991,215～2204　J e j a k u m a r,V.,a n d Wo l k o w i c z,H.,Z e r o d u a l i t y g a p s i n i n f i n i t e -d i m e n s i o n a l p r o g r a m m i n g,J.O p t i m.T h e o r y A p p l.,1990,67, 87～1085　R o c k a f e l l a r,R.T.,C o n v e xA n a l y s i s.P r i n c e t o nU n i v.P r e s s, P r i n c e t o n,19706　R o c k a f e l l a r,R.T.,O r d i n a r yc o n v e xp r o g r a m w i t h o u t ad u a l i t yg a p.J.O p t i m.T h e o r y A p p l.,1971,7,143～1487　R o c k a f e l l a r,R.T.,We t s,R.J.-B.,V a r i a t i o n a l A n a l y s i s.S p r i n g e r-V e r l a g,B e r l i n,19988　S h a p i r o,A.,O nd u a l i t y t h e o r y o f c o n i c l i n e a r p r o b l e m s,S e m i-i n f i n i t e p r o g r a m m i n g(A l i c a n t e,1999),135～165,N o n c o n v e xO p t i m.A p p l.,57,K l u w e r A c a d.P u b l.,D o r d r e c h t,20019　Z a l i n e s c u,C.,C o n v e x A n a l y s i s i n S p a c e s,W o r l dS c i e n t i f i c,S i n-g a p o r e,200210　K u m m e r,B.,S t a b i l i t y a n d w e a kd u a l i t y i n c o n v e x p r o g r a m m i n g w i t h o u t r e g u l a r i t y,P r e p i n t,H u m b o l d t U n i v.,B e r l i n,1978C H A R A C T E R I Z I N GO FE X I S T E N C EO FO P T I MA LS O L U T I O NA N DZ E R OD U A L I T YG A PI NC O N V E XO P T I MI Z A T I O NB a n L i q u n(H a r b i nN o r m a l U n i v e r s i t y)A B S T R A C TI n t h i s p a p e r,w e c o n s i d e r a k i n d o f c o n v e x c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m.W e i n t r o d u c e a c l o s e d n e s s c o n d i t i o n,i n s o m e s e n s e,t h i s c o n d i t i o n c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e s t h e e x i s t e n c e o f o p t i m a l s o l u t i o n a n d z e r o d u-a l i t y g a p o f t h e p e r t u r b e d p r o b l e mo f t h e c o n v e x o p t i m i z a t i o n.K e y w o r d s:Z e r o d u a l i t y g a p;S-c o n v e x m a p p i n g;S t a r S-l o w e r s e m i c o n t i n u o u s;C l a s s F(责任编辑:李双臻) 8哈尔滨师范大学自然科学学报 2005年。

凸优化对偶问题的最优解解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在数学和优化领域中，凸优化是一种重要的数学理论和方法，广泛应用于工程、计算机科学、经济学以及其他许多领域。

凸优化问题涉及到寻找一个函数的最小值，这个函数必须满足一定的凸性质。

对偶问题则是凸优化问题的一种推广形式，在解决实际问题时起着关键作用。

1.2 文章结构本文将分为五个部分来详细介绍凸优化对偶问题的最优解的解释说明以及概述。

首先，在引言部分我们将提供一个关于本文主要内容的总体概述，然后给出文章结构以引导读者阅读本文。

接下来，在第二部分中，我们将介绍凸优化问题的定义和基本性质。

我们会从数学角度定义凸集和凸函数，并讨论它们的基本性质。

此外，我们还会探讨如何确定凸优化问题的最优解以及其唯一性。

第三部分将重点介绍对偶问题的理论与概念。

我们将解释对偶性理论和对偶问题求解方法，并讨论对偶问题最优解的性质和应用。

通过对偶问题的研究，我们可以更好地理解凸优化问题的解，并为实际问题的求解提供有效的方法。

在第四部分中，我们将深入探讨凸优化对偶问题的关系与应用。

我们将介绍凸优化和对偶问题之间的关系，并通过实际案例分析展示凸优化对偶问题在工程、计算机科学等领域的实际应用。

这一部分将帮助读者更好地理解遇到的实际问题如何转化为凸优化对偶问题进行求解。

最后，在结论与展望部分，我们将总结凸优化对偶问题的最优解及其重要性。

同时，我们还将展望凸优化对偶问题研究的未来方向，包括可能存在的挑战和改进空间。

1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰地介绍凸优化对偶问题以及其最优解的文章。

通过阐述基本概念和性质，在引言部分给予读者了解文章主要内容，并通过具体例子和案例逐步展开，帮助读者更好地理解和应用凸优化对偶问题。

同时，本文也旨在鼓励更多的研究者从事相关领域的研究，为凸优化对偶问题的求解方法和应用提供新的思路和贡献。

通过本文的阅读，读者将能够全面理解凸优化对偶问题及其最优解，并在实践中灵活应用。

中国石油大学（华东）智慧树知到“计算机科学与技术”《计算机图形学》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.利用种子填充算法实现多边形填充时，边界和内点的连通性要求是()。

A.内点为4连通时，边界必须为4连通B.内点为4连通时，边界必须为8连通C.内点为8连通时，边界必须为4连通D.内点为8连通时，边界必须为8连通2.双三次Bezier曲面的4条边界都是三次Bezier曲线，其特征网格有()个控制顶点。

A.9B.12C.16D.203.边填充算法中是将扫描线与多边形交点左方的所有像素取补。

()A.错误B.正确4.计算机图形显示器一般使用什么颜色模型()。

A.RGBB.CMYC.HSVD.HLS5.一次Bezier曲线其实就是连接起点到终点的折线段。

()A.错误B.正确6.下列()不是提高消隐算法效率的常用方法。

A.利用连贯性B.包围盒技术C.视见体技术D.背面剔除7.在二维图形显示的流程中，图形的扫描转换在下列()进行。

A.局部坐标系B.世界坐标系C.设备坐标系D.观察坐标系8.9.下列有关平面几何投影的叙述语句中，正确的论述为()。

A.在平面几何投影中，若投影中心移到距离投影面无穷远处，则成为平行投影B.透视投影与平行投影相比，视觉效果更有真实感，而且能真实地反应物体的精确的尺寸和形状C.透视投影变换中，一组平行线投影在投影面上一定产生灭点D.在三维空间中的物体进行透视投影变换，可能产生三个或者更多的主灭点10.下列关于区域采样进行反走样处理的描述中，()不正确。

A.加权和非加权方法都需要计算直线段和像素的面积B.在计算面积时，两种方法可以离散化像素进行快速计算C.非加权方法考虑子像素离像素中心的距离D.加权方法考虑子像素离像素中心的距离11.多边形填充时，下述论述错误的是()。

A.多边形被两条扫描线分割成许多梯形，梯形的底边在扫描线上，腰在多边形的边上，并且相间排列B.多边形与某扫描线相交得到偶数个交点，这些交点间构成的线段分别在多边形内、外，并且相间排列C.在判断点是否在多边形内时，一般通过在多边形外找一点，然后根据该线段与多边形的交点数目为偶数即可认为在多边形内部，若为奇数则在多边形外部，而且不需考虑任何特殊情况D.边的连贯性告诉我们，多边形的某条边与当前扫描线相交时，很可能与下一条扫描线相交12.计算机图形学中绘制的直线是严格数学意义下的直线。

湖南师范大学硕士学位论文变指数向量值Bochner--Lebesgue空间的几何性质姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***201205摘要本论文先引入了变指数向量值Ｂｏｃｈｎｅｒ．Ｌｅｂｅｓｇｕｅ和Ｂｏｃｈｎｅ卜Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，然后得到了这些新空间的一些性质，如完备性，共轭空间，自反性，一致凸性，一致光滑性．这些结果推广了相应变指数取值为数量值Ｌｅｂｅｓｇｕｅ和ｓｏｂｏｌｅｖ空间的情形．全文组织如下：第一章，给出了变指数函数空间的研究历史与最近的研究进展综述，及本文的主要结果．第二章，先得到了变指数向量值Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间Ｌｖ（‘）（Ａ，Ｅ）的完备性．然后，我们考虑ｐ（·’（Ａ，Ｅ）的共轭空间，得到了当Ｅ＋具有Ｒａｄｏｎ－Ｎｉｋｏｄｙｍ性质时，Ｌｐ，（．’（Ａ，Ｅ４）同构于（ｐ（＋’（Ａ，Ｅ））４．其次利用这些结果，得到了这些变指数向量值Ｂｏｃｈｎｅｒ－Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间的自反性，一致凸性和一致光滑性．最后给出了变指数向量值Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的可分性，自反性和一致凸性．关键词：变指数、Ｂｏｃｈｎｅｒ－Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间、Ｒａｄｏｎ－Ｎｉｋｏｄｙｍ性质、一致凸、一致光滑．ＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｖｅｃｔｏ＞ｖａｌｕｅｄＢｏｃｈｎｅｒ—ＬｅｂｅｓｇｕｅａｎｄＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｅｘｐｏｎｅｎｔａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｎｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ：ｔｈｅｃｏｍ—ｐｌｅｔｉｏｎ，ｔｈｅｄｕａｌｓｐａｃｅ，ｔｈｅｒｅｆｌｅｘｉｖｉｔｙ，ｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｘｉｔｙａｎｄｕｎｉｆｏｒｍｌｙｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ，ｏｆｔｈｅｓｅｎｅｗｓｐａｃｅｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．ＴｈｏｓｅａｒｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｓｃａｌａｒｖａｌｕｅｄＬｅｂｅｓｇｕｅａｎｄＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｅｘｐｏｎｅｎｔ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ１，ｔｈｅｒｅａｒｅｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙａｎｄｔｈｅｓｕｒｖｅｙｏｆｔｈｅｒｅｃｅｎｔｄｅｖｅｂｏｐｍｅｎｔｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｅｘｐｏｎｅｎｔ，ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ２，ｆｉｒｓｔ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔ１２（’）（Ａ，Ｅ）ｉｓｃｏｍｐｌｅｔｅ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｄｕａｌｏｆＬ２（’’（Ａ，Ｅ）ａｎｄｏｂｔａｉｎｔｈａｔ／２，（．’（Ａ，Ｅ＋）ｉｓｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃｔｏ（１２（‘’（Ａ，Ｅ））＋ｗｈｅｎＥ＋ｈａｓｔｈｅＲａｄｏｎ—Ｎｉｋｏｄｙｍｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｔｈｉｒｄｌｙ，ｂｙｔｈｅｓｅｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅｒｅｆｌｅｘｉｖｉｔｙ，ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｘｉｔｙａｎｄｕｎｉｆｏｒｍｌｙｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓｏｆｔｈｅｓｅｖｅｃｔｏｒ—ｖａｌｕｅｄＢｏｃｈｎｅｒ—Ｌｅｂｅｓｇｕｅｓｐａ．ｃｅｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｅｘｐｏｎｅｎｔａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｆｉ—ｎａｌｌｙ，ｔｈｅｓｅｐａｒａｂｉｌｉｔｙ，ｒｅｆｌｅｘｉｖｉｔｙ，ａｎｄｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｘｉｔｙｏｆｖｅｃｔｏｒ—ｖａｌｕｅｄＢｏｃｈｎｅｒ—Ｓｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｅｘｐｏｎｅｎｔａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｖａｒｉａｂｌｅｅｘｐｏｎｅｎｔ，Ｂｏｃｈｎｅｒ—Ｌｅｂｅｓｇｕｅｓｐａｃｅ，Ｒａｄｏｎ—Ｎｉｋｏｄｙｍｐｒｏｐｅｒｔｙ，ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｘｉｔｙ，ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓＩＩ变指数向量值Ｂｏｃｈｎｅ卜Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间的几何性质１．绪论本章介绍研究问题的背景和本文的主要结果．１．１文献综述关于变指数空问的研究，最早可以追溯至ＩＪｌ９３１年波兰数学家０ｒｌｉｃｚ发表的文献［２９】．他在这篇文章中考虑了如下问题：设协）和ｋ）是两个实数序列，其中娥＞１．如果级数Ｆ豸ｉ收敛，则级数ＦｘｉＹｉ收敛的充要ｉｉ条件是什么？对此问题的回答是：存在某个Ａ＞０，使得Ｆ（Ａ纨）ｐ：收敛，ｉ其中∥＝。