根的判别式练习

专题1.3 根的判别式【十大题型】【苏科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程x2+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（ ）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m 为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（ ）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组3x82≤x+6 3x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x +kb +1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y =kx +b 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x 的一元二次方程ax 2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x 的分式方程x x−4+a 24−x =2的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a ，b 2ab b =449，则a +b 的值为（ ）A ．4B ．10C ．12D ．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程(a +c )x 2−2bx +(a−c )=0，其中分别a 、b 、c 是△ABC 的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状；(2)若△ABC 是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程x 2−(2k +1)x +k 2+k =0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB,AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，①若k =3时，请判断△ABC 的形状并说明理由；②若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x 的方程x 2−(m +1)x +2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x =3时，求m 的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5) x+5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m2−1=0的两个实数根．4(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）已知▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5) x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．x2−mx+2m−1=0的两个根是【变式8-3】（2023春·广东佛山·九年级校考期中）关于x的一元二次方程14平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③k≤9且k≠04时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2 +bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程(x+2)(x−3)=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是．【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（）A．①②B．③④C．①②③④D．①②④【题型10关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”；a∗b=a2−ab(a≤b)b2−ab(a>b)，关于x的方程(2x)∗(x−1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是．【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例的根的情况为（）如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x=−12A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=b−c B．a=b C．b=c D．a=c【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是．。

—根的判别式练习题铁⾯将军：根的判别式【知识要点】1.⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，⽅程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，⽅程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，⽅程⽆实数根.2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这⽅⾯的知识主要⽤来求取值范围等问题.【经典例题】【例1】已知关于x 的⽅程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何⾮负整数时：(1)⽅程只有⼀个实数根；(2)⽅程有两个相等的实数根；(3)⽅程有两个不等的实数根.【例2】已知关于x 的⽅程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满⾜2a-b=0.(1)求a 、b 的值；(2)已知k 为⼀实数，求证：关于x 的⽅程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.【例3】关于x 的⽅程kx 2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使⽅程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【例4】已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若⽅程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根，试判断△ABC 的形状.【例5】已知：m 、n 为整数，关于x 的⼆次⽅程x 2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x 2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m 、n 的值.【⽅法总结】1.求判别式时，应该先将⽅程化为⼀般形式.2.应⽤判别式解决有关问题时，前提条件为“⽅程是⼀元⼆次⽅程”，即⼆次项系数不为0.【经典练习】⼀、解答题1.若关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( )A.m ＜1B. m ＜1且m ≠0C.m ≤1D. m ≤1且m ≠02.已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 ( )A.k ≤1B.k ≥1C.k<1D.k>13.如果⽅程组 {xy m x y 322=-= 只有⼀个实数解，那么m 的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/44.⼀元⼆次⽅程x 2+2x+4=0的根的情况是 ( )A.有⼀个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根5.下列⼀元⼆次⽅程中，有实数根的是( )A.x 2-x+1=0B.x 2-2x+3=0C.x 2+x-1=0D.x 2+4=06.关于x 的⽅程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )A.当k=1/2时，⽅程两根互为相反数B.当k=0时，⽅程的根是x=-1C.当k=±1时，⽅程两根互为倒数D.当k ≤1/4时，⽅程有实数根7．已知关于x 的⽅程022=+-mx x 有两个相等的实数根，则m 的值等于（）.A ．22 B. 22- C. 22-或22 D. 8或-88．若⽅程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（）.A ．0≤p B. 411≥p9．要使关于x 的⽅程0342=+-x kx 有实数根，则k 应满⾜的条件是（）.A ．34k C. 34≤k D. 34-≥k ⼆、填空题1．关于x 的⽅程x 2+(2k-1)x+k 2-7/4=0有两个相等的实数根，则k= .2．关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，m=3．⼀元⼆次⽅程022=-+m x x ，当m= 时，⽅程有两个相等的实根；当m 时，⽅程有两个不相等的实根；当m = 时，⽅程有⼀个根为0．4．如果关于x 的⽅程()011222=+-+x k x k 有两个实数根，则k 得取值范围是．三、解答题1．当a 是什么实数时，关于x 的⼀元⼆次⽅程()3212+=++ax a x a 。

根的判别式练习题一．填空题（共9小题）1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为．2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是．5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是．6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是．7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为．8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是．二．解答题（共5小题）10．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当△ABC为等腰三角形时，求m的值及△ABC的周长．14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？参考答案与试题解析一．填空题（共9小题）1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为29．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝29，此题得解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为0或4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的方程，解之即可求出m的值．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×m＝0，解得：m1＝0，m2＝4，∴m的值为0或4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为2．【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝8﹣4k＝0，解得：k＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得Δ＝0．4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是且k≠0．【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可．【解答】解：根据题意可知，．解得：且k≠0，故答案为：且k≠0．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意列出不等式组是解题的关键．5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是25或16．【分析】等腰△ABC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．当BC是底边时，AB＝AC，则方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实根，即Δ＝0，即可得到关于m的方程，求得m的值；当BC是腰时，则方程一定有一个解是x＝8，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边，即底边与m的值．【解答】解：在方程x2﹣10x+m＝0中，x1+x2＝10，当这两边是等腰三角形的腰时，有x1＝x2＝5，∴x1x2＝25＝m，当这两边的长有一边为8时，有8+x2＝10，∴x2＝2，m＝x1x2＝2×8＝16，∴m＝25或16．故答案为：25或16．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及等腰三角形中有两边相等的性质，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为±3或﹣5．【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，则k2﹣9＝0，解得k＝±3，②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0解得：k＝﹣5．故答案为±3或﹣5．【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题．8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝﹣．【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．【解答】解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，所以＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是b＞．【分析】根据方程解析式，可以得到＝﹣x+1，即可转化为一个一元二次方程，利用判别式求出b的取值范围．【解答】解：因为双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，即方程＝﹣x+1无解，去分母，得x2﹣x+b＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×b＝1﹣4b＜0，解得b＞．【点评】考查一元二次方程根的判别式和双曲线与直线的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．二．解答题（共5小题）10．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．【分析】（1）求出Δ＝1，即可证明方程总有两个不相等实数根；（2）把x＝0代入可得关于m的一元二次方程，即可解得答案．【解答】（1）证明：对关于x的一元二次方程，Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×（m2﹣2m）＝m2﹣2m+1﹣m2+2m＝1，∴Δ＞0，∴对于任意实数m，一元二次方程总有两个不相等实数根；（2）解：如果此方程有一个根为0，则×02﹣（m﹣1）×0+（m2﹣2m）＝0，∴m2﹣2m＝0，解得m＝0或m＝2，答：m的值为0或2．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式△与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0列出关于k的不等式组，求解即可．（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的值，代入原方程，求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴，解得k≤3且k≠2．（2）由题意得，k＝3，当k＝3时，方程为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，牢记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实根．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．【分析】（1）根据根的判别式求出Δ＝（m﹣4）2+8，再根据根的判别式得出答案即可；（2）把x＝2代入方程，得出关于m的一元二次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）证明：2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0，Δ＝（﹣3m）2﹣4×2×（m2+m﹣3）＝9m2﹣8m2﹣8m+24＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8，因为不论m为何值，（m﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x＝2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0得：2×22﹣3m×2+m2+m﹣3＝0，整理得：m2﹣5m+5＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的解等知识点，能熟记根的判别式的内容和一元二次方程的解的定义是解此题的关键．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当△ABC为等腰三角形时，求m的值及△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m+1）2≥0，由此可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）分3为底边及3为腰长两种情况考虑：①当3为底边时，根据等腰三角形的性质可得出m的值，结合根与系数的关系可求出两根之和，由该值为负值可得出该结论不符合题意；②当3为腰长时，代入x＝3可求出m值，再利用根与系数的关系结合三角形的三边关系可求出△ABC的周长．综上即可得出结论．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（3m+1），c＝2m2+m，∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4（2m2+m）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）解：设方程的两根为x1，x2．①当3为底边时，则两腰的长是方程的两根，∴Δ＝（m+1）2＝0，∴m＝﹣1，∴x1+x2＝3m+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2＜0，∴此种情况不合题意，舍去；②当3为腰时，把x＝3代入方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0得：9﹣3（3m+1）+2m2+m＝0，解得m1＝1，m2＝3．当m＝1时，x1+x2＝3m+1＝4，△ABC的周长为7；当m＝3时，x1+x2＝3m+1＝10，此时腰长为3，底为7，∵3+3＜7，∴此种情况不合题意，舍去．综上所述：m的值为1，△ABC的周长为7．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）分3为底边及3为腰长两种情况考虑．14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根；（2）解：分两种情况：①若b＝c，∵方程x2﹣（k+2）x+2k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长为5；②若b≠c，则b＝a＝1或c＝a＝1，即方程有一根为1，∵把x＝1代入方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，∴此时方程为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴所求△ABC的周长为5．综上所述，△ABC的周长为5．。

一元二次圆程根的判别式训练题之阳早格格创做（一）挖空1．圆程x2＋2x-1＋m=0有二个相等真数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，圆程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，圆程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____真数根．5．若闭于x的一元二次圆程mx2+3x-4=0有真数根，则m的值为____．6．圆程4mx2-mx＋1=0有二个相等的真数根，则 m为____．7．圆程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且圆程有一个根是28．一元二次圆程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个真足仄圆数，则圆程必有__．9．若m利害背整数且一元二次圆程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有二个真数根，则m的值为____．10．若闭于x的二次圆程kx2+1=x-x2有真数根，则k的与值范畴是____．11．已知圆程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有二个不相等的真数根，则m，n的与值范畴是____．12．若圆程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的二个真数根相等，则a，b，c 的闭系式为_____．13．二次圆程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有二个真数根，则k为___．14．若一元二次圆程（1-3k）x2＋4x-2=0有真数根，则k的与值范畴是____．15．圆程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．16．如果圆程x2＋px＋q=0有相等的真数根，那么圆程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____真根．（二）采用那么α= [ ]．18．闭于x的圆程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有二相等的真数根，则m值为 [ ]．19．当m＞4时，闭于x的圆程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的真数根的个数为 [ ]．A．2个； B．1个； C．0个； D．不决定．20．如果m为有理数，为使圆程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]．则该圆程 [ ]．A．无真数根； B．有相等的二真数根；C．有不等的二真数根； D．不克不迭决定有无真数根．22．若一元二次圆程（1-2k）x2+8x=6不真数根，那么k的最小整数值是 [ ]．A．2； B．0； C．1； D．3．23．若一元二次圆程（1-2k）x2+12x-10=0有真数根，那么k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．2； C．-1； D．0．24．圆程x2+3x+b2-16=0战x2+3x-3b＋12=0有相共真根，则b的值是 [ ]．A．4； B．-7；C．4或者-7； D．所有真数．[ ]．A．二个相等的有理根； B．二个相等的真数根；C．二个不等的有理根； D．二个不等的无理根．26．圆程2x（kx-5）-3x2+9=0有真数根，k的最大整数值是 [ ]．A．-1； B．0； C．1； D．2．29．若m为有理数，且圆程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]．A．4； B．1； C．-2； D．-6．30．圆程x|x|-3|x|+2=0的真数根的个数是 [ ]．A．1； B．2； C．3； D． 4．（三）概括训练有二个相等的真数根．供证：a2+b2=c2．32．如果a，b，c是三角形的三条边，供证：闭于x的圆程a2x2+（a2＋b2－c2）x＋b2=0无解．33．当a，b为何值时，圆程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有真数根．34．已知：闭于x的圆程x2+（a-8）x+12-ab=0，那里a，b是真数，如果对付于任性a值，圆程永近有真数解，供b的与值范畴．35．一元二次圆程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有二个不相等的真数根，供m 的最大整数值．36．k为何值时，圆程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：（1）有二个相等的真数根；（2）不真数根；（3）有二个不相等的真数根．37．若圆程3kx2-6x＋8=0不真数根，供k的最小整数值．38．m是什么真数值时，圆程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有二个不相等的真数根；（2）不真数根．39．若圆程3x2-7x＋3k-2=0有二个不相共的真数根，供k的最大整数值．40．若圆程（k+2）x2+4x-2=0有真数根，供k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，圆程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0的根对付于a的所有值均是有理数？42．k为何值时，圆程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有二不等的真根；（2）有二相等的真根；（3）不真数根．43．已知圆程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为真数）．供证（1）此圆程必有真根；（2）若此圆程有二个相等的真数根，则a= b= c．44．若圆程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有二个相等的真数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，说明此三角形是等腰三角形．1．2 一元二次圆程的根的判别式（一）挖空1．22．13．有二个不相等的4．6，-46．167．4，18．二个有理数根9．m=011．m，n为不等于整的任性真数12．b2-c2+a2=013．任性真数14．k≤115．无真数16．也有相等的（二）采用17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D29．B 30．C（三）概括训练已知圆程有二个相等的真根，得Δ=0，即得4m（a2-c2+b2）=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．果为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，果此Δ＜0，所以圆程无解．33．当a=1，b=-0.5时，圆程有真数根．提示：由圆程有真数根得Δ=[2（1+a）］2-4（3a2+4ab+4b2+2）=-4[（1-a）2+（a+2b）2]≥0．又果为（1-a）2≥0，（a+2b）2≥0，故而有（1-a）2+（a+2b）2≥0，所以惟有-4[（1-a）2+（a+2b）2]=0，即（1-a）2+（a+2b）2=0．进而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=-0.5．34．2≤b≤6．提示：要领一Δ=（a-8）2-4（12-2b）≥0，即a2+4a（b-4）+16≥0．果为对付于任性a值上式均大于等于整，且二次项系数大于0．所以闭于a的二次三项式中的判别式应小于等于整，即[4（b-4）]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．要领二Δ=（a-8）2-4（12-2b）=a2+4a（b-4）+16={a2+2a[2（b-4）]+[2（b-4）]2}-[2（b-4）]2+16=[a+2（b-4）]2-4[（b-4）2-4]≥0．果此只可（b-4）2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b≤6．35．m的最大整数值为整．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4k的最大整数值为2．40．-4．41．b=1．提示：Δ=（a+1）2+8（3a2-4a+b）=25a2-30a+8b+1．由于25a2-30a+8b+1应为a的真足仄办法．所以（-30）2-4×25×（8b+1）=0，所以b=1．42．（1）-1＜k＜0或者k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由圆程有二个相等真根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．果为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，惟有b-c=0，解出b=c．。

根的判别式练习1.对于数字系数的一元二次方程，通过对根的判别式的计算，很容易判别方程根的情况。

例1、判别下列各方程根的情况：(1)2x2-5x-1=0；(2)；(3)3x2+2x+2=0.解：（1）∵△=（-5）2+4×2=25+8>0，∴方程2x2-5x-1=0有两个不相等的实数根。

(2)∵，∴方程有两个相等的实数根。

(3)∵△=22-4×3×2=4-24<0，∴方程3x2+2x+2=0没有实数根。

但对于字母系数的一元二次方程，要确定它的判别式大于零、等于零或小于零，往往要进行适当的变形。

返回主题例2、求证：关于x的方程x2+(a+2b)x+ab=0有实根。

证明:△=（a+2b）2-4ab=a2+4ab+4b2-4ab=a2+4b2，∵a为任何实数时，都有a2≥0；又b为任何实数时，都有b2≥0，则4b2≥0，∴a2+4b2≥0，即△≥0，∴方程x2+(a+2b)x+ab=0有实根。

又如，摸底检测题1，，∵m为任何实数时，都有，则，∴，即△> 0，∴方程(m-1)x2-(2m+3)x-m=0有两个不相等的实数根，即选A。

这个方程的判别式8m2+8m+9需经配方后，变形为，才能确定“△”大于零。

有一点应注意，运用判别式的前提是方程已化成了ax2+bx+c=0这样的标准型，否则是不能用判别式的。

2.对于方程根的讨论，应先认真审题，判断所给方程是否为一元二次方程。

返回主题例3、求证关于x的方程(a2+1)x2-(3a-1)x+5=0没有实数根。

分析：虽然题目中只说方程是关于x的方程，没有明确指明方程的次数，但由于二次项的系数为a2+1，a为任意实数时a2+1都大于0，所以此方程必然是关于x的一元二次方程。

证明：。

∵a为任意实数时，，则，∴，即△<0，∴原方程无实根。

而摸底检测题2，二次项系数为2(m+1)，有得零的可能性。

因此应分类讨论。

当2(m+1)=0，即m=-1时，方程为4x-3=0，解方程，得；当2(m+1)≠0，即m≠-1时，方程为关于x的一元二次方程，△=（-4m）2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8. 当△>0，即m<1且m≠-1时，方程有两个不相等的实数根；当△=0，即m=1时，方程有两个相等的实数根；当△<0，即m>1时，方程没有实数根。

一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0⇔方程有________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0⇔方程__________实数根．二、例变讲练例1 方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0例2 已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3 已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4 若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________．变4 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4. 若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5. 若关于x的方程x2＋x－94a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠1 D．m≥－2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．10. 等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时 一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x ＝_______________． 两，不相等，－b±b2－4ac 2a(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有________个________的实数根，x 1＝x 2＝______________．(3)b 2－4ac ＜0⇔方程__________实数根．两，相等，－b 2a，无 二、例变讲练例1 方程3x 2－2x －1＝0的根的判别式为b2－4ac ＝16，此方程有两个__________的实数根．不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 D例2 已知关于x 的方程x 2－3x ＋2－m 2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示)；解：b 2－4ac ＝4m 2＋1；(2)说明不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解：b 2－4ac ＝4m 2＋1≥1>0，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x －3m ＝0.求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m －3)2－4×(－3m)＝m 2－6m ＋9＋12m＝m 2＋6m ＋9＝(m ＋3)2，∵无论实数m 取何值，总有(m ＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，则m 的取值范围是______________．m≥－1变3 已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．k>－1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2－4x －c ＝0的根的判别式Δ＝4，则c ＝_________．-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A ．(x －1)2＝0B ．x 2＋2x －19＝0C ．x 2＋4＝0D ．x 2＋x ＋1＝0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是_________．m<－44. 若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为 x ＝x=_____________－14， x 1＝x 2＝125. 若关于x 的方程x 2＋x －94a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．a>－196. 已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥－2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x2－4x －5＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________．k ＜158. 求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5，∵m2≥0，∴16m 2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m 为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋2m ＝0.(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－4×1×2m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x ＝1代入原方程，得：1－(m ＋2)＋2m ＝0，∴m ＝1，∴方程的另一个根为2×11＝2. 当1，2为直角边长时，斜边长＝12＋22＝5，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋5＝3＋5；当2为斜边长时，另一直角边长＝22－12＝3，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋3＝3＋ 3.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋5或3＋ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，求n 的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得：n ＝10，综上所述：n ＝10.。

1.关于x 的方程kx 2+3x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
2. 若关于x 的方程()0222=+++a x a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 .
3. 已知：m 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，求代数式5m 2﹣5m+2008的值．
4.若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为____．
5.方程4mx 2-mx ＋1=0有两个相等的实数根，则 m 为____．
6．若m 是非负整数且一元二次方程（1-m 2）x 2+2（1-m ）x-1=0有两个实数根，则m 的值为____．
7．若关于x 的二次方程kx 2+1=x-x 2有实数根，则k 的取值范围是____．
8．二次方程（k 2-1）x 2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k 为___．
9．若一元二次方程（1-3k ）x 2＋4x-2=0有实数根，则k 的取值范围是____．
10.已知方程x 2+kx+3=0的一个根是-1，则k=______， 另一根为______.
11.已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于
12.若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______
13.已知关于x 的方程()()01222=-++-m x m x .
求证：（1）方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两
根为边长的直角三角形的周长.。

一元二次方程根的判别式练习一．选择题（共21小题）1．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣32．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断3．一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（）A．4 B．2 C．0 D．﹣44．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=05．关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A．m≤B．m C．m≤D．m6．关于x的一元二次方程（2a﹣1）x2+（a+1）x+l=0的两个根相等，那么a等于（）A．1或5 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣57．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠18．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣29．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（）①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个10．已知关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C．D．11．若关于x、y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k＜4 C．k≤4 D．k≥412．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．14．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为（）A．6 B．5 C．4 D．315．关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤016．关于x的一元二次方程mx2+3x﹣1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤﹣B．m≥﹣C．m≥﹣，m≠0 D．m＞﹣，m≠017．一元二次方程x2﹣ax﹣2=0，根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实数根C．无法判断D．无实数根18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0，若方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．219．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．且k≠1 C．D．k≥且k≠020．若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥121．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题（共18小题）22．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是．24．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．25．若关于x的一元二次方程（m2+1）x2﹣（2m+1）x+1=0有两实根，则m的取值范围是．26．在一元二次方程x2+bx+c=0中（b≠c），若系数b、c可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是．27．关于x的反比例函数y=的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB 的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是．28．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是．29．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是．30．当k时，关于x的一元二次方程x2+6kx+3k2+6=0有两个相等的实数根．31．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．32．方程kx2+1=x﹣x2无实根，则k．33．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是．34．关于x的方程ax2﹣3x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是．35．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是．36．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为．37．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的值可以是．（写出一个即可）38．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．39．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．三．解答题（共11小题）40．已知方程x2﹣2x﹣8=0．解决以下问题：（1）不解方程试判断此方程的根的情况．（2）请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．（3）①这些方法都是将解方程转化为解方程，以达到将方程降次的目的；②尝试解方程：x3+2x2﹣3x=0．41．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．42．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k的取值范围及k 的非负整数值．43．己知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0．（1）若这个方程有实数解，求k的取值范围；（2）若这个方程的解是直线y=3x+1与x轴的交点的横坐标．是否存在k使反比例函数y=的图象在第2、4象限？如果存在求出k，如果不存在，说明理由．44．若一元二次方程（k+2）x2+4x﹣2=0有实数根，求k的最小整数值．45．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个实数根，求k的取值范围．46．已知一元二次方程（m﹣3）x2+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．（1）求m的取值范围；（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．47．当k满足什么条件时，关于x的方程kx2+4x﹣2=0有实数根．48．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．49．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．50．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．一元二次方程根的判别式练习参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2017•安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴m2﹣4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2，则m的值可以是：﹣3，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，解题时注意：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2．（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．（2017•滨州）一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（）A．4 B．2 C．0 D．﹣4【分析】直接利用判别式的定义，计算△=b2﹣4ac即可．【解答】解：△=（﹣2）2﹣4×1×0=4．故选A．【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．4．（2017•淄博）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．（2017•遵义）关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A．m≤B．m C．m≤D．m【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=32﹣4m＞0，解得m＜．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．（2004•宁夏）关于x的一元二次方程（2a﹣1）x2+（a+1）x+l=0的两个根相等，那么a等于（）A．1或5 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣5【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（a+1）2﹣4（2a﹣1）=0，解关于m的方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=（a+1）2﹣4（2a﹣1）=0，解得a=1或5，．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜2，且k≠1．故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．8．（2012•广安）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．【解答】解：△=4﹣4（a﹣1）=8﹣4a＞0得：a＜2．又a﹣1≠0∴a＜2且a≠1．故选C．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．9．（2010•汾阳市校级自主招生）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（）①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【分析】①a+b+c=0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac ≥0，正确；②由两根关系可知，﹣1×2=，整理得：2a+c=0，正确；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确．正确命题有三个，故选C．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．10．（2010•朝阳区一模）已知关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C．D．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出方程组：，解得m且m≠﹣2，故选A．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．（2003•台州）若关于x、y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k＜4 C．k≤4 D．k≥4【分析】利用根与系数的关系可以构造一个两根分别是x，y的一元二次方程，方程有实数根，用根的判别式≥0来确定k的取值范围．【解答】解：∵xy=k，x+y=4，∴根据根与系数的关系可以构造一个关于m的新方程，设x，y为方程m2﹣4m+k=0的实数根．△=b2﹣4ac=16﹣4k≥0，解不等式16﹣4k≥0得k≤4．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用和根与系数的关系．解题的关键是了解方程组有实数根的意义．12．（2001•黄冈）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则△＜0，求得m的取值范围，确定函数图象的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣m，方程无实数根，∴b2﹣4ac＜0∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0∴m＜﹣1∴一次函数y=（m+1）x+m﹣1中，一次项的系数小于0，常数项也小于0，其图象不经过第一象限．故选A．【点评】根据判别式确定m的取值范围，根据一次函数图象的特点确定所经过的象限．13．（2016•枣庄）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（2016•绿园区一模）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．【解答】解：根据题意得：△=（﹣5）2﹣4k＞0，解得：k＜．所以k可取的最大整数为6．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．15．（2016秋•西陵区校级期中）关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【分析】由一元二次方程有实数根得出△=02﹣4×1×k≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，∴△=02﹣4×1×k≥0，解得：k≤0；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况、根的判别式；熟练掌握根的判别式，由一元二次方程根的情况得出不等式是解决问题的关键．16．（2016秋•丰城市校级期中）关于x的一元二次方程mx2+3x﹣1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤﹣B．m≥﹣C．m≥﹣，m≠0 D．m＞﹣，m≠0【分析】由于关于x的一元二次方程mx2+3x﹣1=0有实数根，由此可以得到m≠0，并且方程的判别式△≥0，由此即可求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣1=0有实数根，∴m≠0，且△=b2﹣4ac=9+4m≥0，∴m≥﹣且m≠0．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．17．（2016秋•简阳市期中）一元二次方程x2﹣ax﹣2=0，根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实数根C．无法判断D．无实数根【分析】由一元二次方程x2﹣ax﹣2=0，即可得判别式△=a2+8＞0，则可得关于x 的一元二次方程x2﹣ax﹣2=0，根的情况是有两个不相等的实数根．【解答】解：∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2=0根的情况是：有两个不相等的实数根．故选A．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题难度不大，注意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根；反之也成立．18．（2016秋•米易县校级期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0，若方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【分析】先根据关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根则k ≠0，△＞0得到关于k的不等式，求出k的取值范围，然后找到最小的整数值即可；【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，解得k＞﹣1且k≠0，∴最小的整数值为1，故选C；【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键．19．（2015•杭州模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．且k≠1 C．D．k≥且k≠0【分析】一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根的条件是：①二次项系数不等于0；②根的判别式△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k﹣1）•k=8k+1＞0，即8k+1＞0，解得k＞﹣；又∵k﹣1≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣且k≠1．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．（2014•江阴市模拟）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥1【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，△=4﹣4k＞0，解得：k＜1．故选B．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21．（2013秋•赵县期末）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①观察条件，知是当x=1时，有a+b+c=0，因而方程有根．②把x=﹣1和2代入方程，建立两个等式，即可得到2a+c=0．③方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=﹣4ac＞0，左边加上b2就是方程ax2+bx+c=0的△，由于加上了一个非负数，所以△＞0．④把b=2a+c代入△，就能判断根的情况．【解答】解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，∴△≥0，故错误；②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0 （1）把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0 （2）把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，即：2a+c=0，故正确；③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则它的△=﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，∴必有两个不相等的实数根．故正确；④若b=2a+c则△=b2﹣4ac=（2a+c）2﹣4ac=4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2＞0故正确．②③④都正确，故选C．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、对于给定的条件要仔细分析，向所求的内容转化．二．填空题（共18小题）22．（2012•岳阳）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≥﹣，且k≠0．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，∴△=4（k+1）2﹣4×k×（k﹣1）=3k+1≥0，解得：k≥﹣，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．故本题答案为：k≥﹣，且k≠0．【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．23．（2008•泸州）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是k＞﹣2，且k≠﹣1．【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，k≠﹣1，△=b2﹣4ac=4+4（k+1）=k+2＞0，∴k＞﹣2且k≠﹣1．【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．24．（2006•荆州）已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k 的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．25．（2003•贵阳）若关于x的一元二次方程（m2+1）x2﹣（2m+1）x+1=0有两实根，则m的取值范围是m≥．【分析】本题是根的判别式的应用，若关于x的一元二次方程（m2+1）x2﹣（2m+1）x+1=0有两实根，则△=b2﹣4ac≥0，列出不等式，求解即可．【解答】解：∵方程有两实根，∴△=b2﹣4ac≥0，即[﹣（2m+1）]2﹣4×（m2+1）×1≥0，解这个不等式得，m≥．【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2000•甘肃）在一元二次方程x2+bx+c=0中（b≠c），若系数b、c可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是10．【分析】本题是根的判别式的开放性试题，求解时根据方程有实数根，即△=b2﹣4ac≥0讨论即可．【解答】解：∵要是方程有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，当b=5时，c可以等于1、2、3、4的任意一个；同理当b=4时，c可以等于1、2、3的任意一个；当b=3时，c可以等于1、2的任意一个；当b=2时，c=1；∴一共有10种情况．【点评】本题的关键是列出△=b2﹣4ac≥0，然后根据题意讨论，讨论时要根据题目的题意，要不重复，不漏解．27．（2014•淄博）关于x的反比例函数y=的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是没有实数根．【分析】由比例函数y=的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象位于一、三象限，∴a+4＞0，∴a＞﹣4，∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，∴2xy＞12，即a+4＞6，a＞2∴a＞2．∴△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）×=2﹣a＜0，∴关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0没有实数根．故答案为：没有实数根．【点评】此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键．28．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．【分析】根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【解答】解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．29．（2013•新疆）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是k≤4．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：△=16﹣4k≥0，解得：k≤4．故答案为：k≤4．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．30．（2011•铜仁地区）当k=±1时，关于x的一元二次方程x2+6kx+3k2+6=0有两个相等的实数根．【分析】若一元二次方程有两个相等的实根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围后，再作出选择．【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（6k）2﹣4（3k2+6）=0；∴24k2=24，∴k=±1．故答案为：±1．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，要明确：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．31．（2017•昆都仑区一模）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜2，且a≠1．【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，所以△=b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4×（a﹣1）×1＞0，解这个不等式得，a＜2，又∵二次项系数是（a﹣1），∴a≠1．故a的取值范围是a＜2且a≠1．【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．32．（2015•石河子校级模拟）方程kx2+1=x﹣x2无实根，则k＞﹣．【分析】首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后根据其无实根△＜0求得k的取值范围即可；【解答】解：原方程整理为：（k+1）x2﹣x+1=0，（1）k=﹣1时，为一元一次方程，有解，不合题意；（2）k≠﹣1时：∵原方程无实根，∴△=（﹣1）2﹣4（k+1）＜0，解得：k＞﹣，综上所述：k＞﹣，故答案为：＞﹣【点评】本题考查了根的判别式的知识，解题的关键是将原方程整理成一元二次方程的一般形式．33．（2015•召陵区一模）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤．【分析】由于关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此即可求出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有实数根，∴①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式△=b2﹣4ac≥0，即（2k﹣1）2﹣4k2≥0，∴k≤，∴当k≤，关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有实数根．。

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。

2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。

3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。

6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。

9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。

2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。

10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。