二次函数中的动点问题

二次函数专题 三 动点问题1.已知抛物线3222+--+-=m m mx x y（1）证明抛物线的顶点一定在直线y=-x+3上；（2）若抛物线与x 轴交于M 、N 两点，当OM 〃ON=3，且OM ≠ON 时，求抛物线的解析式； （3）若（2）中所求抛物线顶点为C ，与y 轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，直线y=-x+3与x 轴交于点A 。

点P 为抛物线对称轴上一动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足D 在线段AC 上。

试问：是否存在点P ，使ABC PAD S S ∆∆41=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 ，与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；(2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由；(3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．4.如图，在Rt △ABO 中，OB=8,tan ∠OBA=43.若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C 在x 轴负半轴上，且OB ＝4OC.若抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C .（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P ，求四边形OAPB 的面积；（3）有两动点M,N 同时从点O 出发，其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O →A →B的路线运动，点N 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当M 、N 两点相遇时，它们都停止运动.设M 、N 同时从点O 出发t 秒时，△OMN 的面积为S . ①请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？5.如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使N P N Q +最小，求出点N 的坐标并说明理由．l Q 1P 1yxQOPCBA6.已知：抛物线2y ax bx c =++()0a ≠，顶点()13C -，，与x 轴交于A 、B 两点，()10A -，． ⑴ 求这条抛物线的解析式． ⑵ 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM AE ⊥于M ，PN DB ⊥于N ，请判断PM PNBE AD+是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． ⑶ 在⑵的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG EP ⊥，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．CxyBN M ADP O E7.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？8.如图，在直角坐标系中，以点(30)A ，为圆心，以23为半径的圆与x 轴相交于点B,C ，与y 轴相交于点D,E ．（1）若抛物线213y x bx c =++经过C,D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上．（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小．（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．9.已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个焦点为A（-1，0）。

_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。

4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

二次函数动点问题专题练习答案1. 运用二次函数知识解决问题（1）当自变量 x 取何值时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）？答：当自变量 x 取 -b/2a 时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）。

（2）若已知抛物线上两点坐标为（x1, y1）, （x2, y2）, 试写出该抛物线二次函数的一般式，并求出该抛物线的解析式。

答：设抛物线二次函数为y=ax²+bx+c则有以下方程组：ax1²+bx1+c =y1ax2²+bx2+c =y2-可列出-x1²·a + x1·b + c - y1 = 0x2²·a + x2·b + c - y2 = 0x3²·a + x3·b + c - y3 = 0-即-| x1² x1 1 || x2² x2 1 | = 0| x3² x3 1 |由于已知 2 个点，可以得到3个方程组代入高斯消元法得到a、b、c三个系数，因此解析式y=ax²+bx+c2. 解决实际问题的应用题以一个具体问题为例，说明如何解决动点问题。

【例题】马路边缘水坑中心挖开，呈抛物面，最深处为4m、直径10m。

现在要在中心位置挖一道V字形沟渠，宽5m，深2m，请问水从沟渠可以流多少吨？若要确保塌方风险不会增加，每日流出水量不得超过150m³？解：先画出示意图假设某一时刻水位高度为 h，抛物线面积为 S，则有S = πr² + 2·(2·h)·(πr/2)因为题目已知直径为10m，则半径为 5m，即 r=5所以，S = 25π + 10h设 h = -x² + 4 （因为最深处为4m），并且将 V 字形沟渠截面看作若干个矩形的叠加，则矩形面积为：A = (5 - x) · 2 = 10 - 2x而矩形面积与水位高度 h 存在联系，即：S = A + πx²代入 h = -x² + 4 和S = 25π + 10h，解得：x ≈ 2.036因此，此时的流量为：V = A · x ≈ 20.364 m³/s即使每日流出水量达到最大 150m³，也可以满足问题的需求。

二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀二次函数动点问题的解题思路◉江苏省连云港市海头初级中学㊀王小路㊀㊀摘要:二次函数动点问题难度较大,常作为测试中的压轴题,分值较高．部分学生常因不得法㊁无明确的解题思路,失分较为严重．授课中应结合学情以及经验,做好二次函数动点问题教学设计,展示习题情境以及解题思路,给类似问题的解答提供针对性解题指引．关键词:二次函数;动点问题;解题思路㊀㊀二次函数动点问题对学生的想象能力要求较高[１]．解决该类习题需从题干以及图形出发寻找突破口,尤其应注重 化动为静 ,全面考虑各种满足题设条件的情境．１求解参数范围图１例１㊀(２０２１年 河南 统考中考真题)如图１,抛物线y ＝x ２＋m x 和直线y ＝－x ＋b 交于点A (２,０)和点B ．(１)求m 和b 的值;(２)求点B 的坐标,并结合图象写出不等式x ２＋m x ＞－x ＋b 的解集;(３)M 为直线A B 上的一个动点,将点M 向左平移３个单位长度得到点N ．当线段MN 和抛物线只有一个公共点时,直接写出点M 的横坐标x M 的取值范围．思路剖析:问题(１)将点A 坐标分别代入到抛物线和直线解析式中,构建两个方程求出m 和b 的值;问题(２)将抛物线和直线解析式联立求出点B 的坐标,运用数形结合法求出不等式的解集;问题(３)先确定线段MN 的长度和方向,以点M 为研究对象,从点A 右侧开始逐渐沿着直线A B 运动,分析不同情况下MN 和抛物线的交点,得出结论．解:(１)将点A (２,０)分别代入到抛物线和直线解析中,得４＋２m ＝０,－２＋b ＝０,{解得m ＝－２,b ＝２．{(２)由(１)得抛物线为y ＝x ２－２x ,其顶点坐标为(１,－１);直线为y ＝－x ＋２．联立y ＝x ２－２x ,y ＝－x ＋２,{解得x ＝－１,y ＝３,{或x ＝２,y ＝０,{所以点B 的坐标为(－１,３)．不等式x ２＋m x ＞－x ＋b 表示抛物线y ＝x ２－２x 在直线y ＝－x ＋２的上方,对应的解集为x ＜－１或x ＞２．(３)由题意可得,A ,B 两点的水平距离为３．根据题意,直线MN 为一条与x 轴平行的直线,且线段MN 的长为３．由于M 为动点,坐标未知,因此,需要分类讨论．①当点M 在点A 的右侧,线段M N 和抛物线只有一个公共点时,线段M N 经过抛物线的顶点(１,－１)．令－x ＋２＝－１,解得x ＝３,此时x M ＝３．②当点M 在线段A B 上时,要想满足题意,则应满足－１ɤx M ＜２．③当点M 在点B 的左侧,则线段MN 和抛物线不会有交点．综上分析,满足题意的x M 的取值范围为－１ɤx M ＜２或x M ＝３．点评:例１情境较为复杂,吃透题设情境,准确判断线段MN 的走向,以点A 和点B 为分类讨论的界限是解题的关键．２求解点的坐标图２例２㊀如图２,已知抛物线y ＝－１４x ２＋３２x ＋４和坐标轴分别交于A ,B ,C 三点,其中点M 在直线B C 下方的抛物线上运动,则当øA B C ＝øM C B 时,点M 的坐标为．思路剖析:由øA B C 为锐角,知点M 只能在直线B C 下方右侧抛物线上．先假设出点M ,作出辅助线,运用øA B C ＝øM C B 得出线段C N 和N B 的相等关系,再设出O N 的长,借助勾股定理求出点N 的坐标．最后,在此基础上求出直线C N 的解析式,与抛物线解析式联立解出点M 的坐标．解:对于抛物线y ＝－１４x ２＋３２x ＋４,令x ＝０,得y ＝４,所以点C (０,４);令y ＝０,解得x １＝－２,x ２＝３８解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀８,则A (－２,０),B (８,０)．因此O A ＝２,O C ＝４,O B ＝８．在直角三角形C O B 中,由勾股定理可得B C ＝４２＋８２＝４５．图３设点M 的位置如图３所示,连接C M 和x 轴交于点N ．由øA B C ＝øM C B ,则C N ＝N B ．令O N ＝x ,则C N ＝N B ＝８－x ．在直角三角形C O N 中,由勾股定理可得x ２＋４２＝(８－x )２,解得x ＝３,则点N (３,０)．设直线C N 的解析式为y ＝k x ＋４,将N (３,０)代入得k ＝－４３,则C N 的解析式为y ＝－４３x ＋４．将其和抛物线y ＝－１４x ２＋３２x ＋４联立,解得x １＝０(舍去),x ２＝３４３．将x ＝３４３代入y ＝－４３x ＋４,得y ＝－１００９．综上,点M 的坐标为(３４３,－１００９)．点评:根据题意假设出点M 的位置,将给出的角度关系转化为线段间的相等关系,灵活运用勾股定理求出点N 的坐标,求出直线表达式后与抛物线解析式联立求得最终结果．３求解最值问题图４例３㊀(２０２２年 广东 统考中考真题)如图４,抛物线y ＝x ２＋b x ＋c (b ,c 是常数)的顶点为C ,与x 轴交于A ,B 两点,A (１,０),AB ＝４,P 为线段A B 上的动点,过点P 作P Q ʊBC 交A C 于点Q ．(１)求该抛物线的解析式;(２)求әC P Q 面积的最大值,并求此时点P 的坐标．思路剖析:问题(１)根据已知条件求出点B 的坐标,运用待定系数法即可求出结果．问题(２)首先求出抛物线顶点C 的坐标,使用待定系数法分别求出直线B C 和A C 的解析式,然后根据P Q 和B C 的平行关系,设出直线P Q 解析式,求出点P 的坐标,最后结合图形通过图形面积关系表示出әC P Q 的面积,运用二次函数性质,求出最值．解:(１)由A (１,０),A B ＝４,得到B (－３,０)．由抛物线过A ,B 两点,将两点坐标代入抛物线解析式得１＋b ＋c ＝０,９－３b ＋c ＝０,{解得b ＝２,c ＝－３,{则抛物线的解析式为y ＝x ２＋２x －３．(２)由(１)可得y ＝x ２＋２x －３＝(x ＋１)２－４,则点C (－１,－４)．根据A ,B ,C 三点的坐标,容易求得直线B C 的解析式为y ＝－２x －６,直线A C 的解析式为y ＝２x －２．由P Q ʊB C ,设直线P Q 的解析式为y ＝－２x ＋m ,令y ＝０,解得x ＝m ２,则点P 的坐标为(m２,０)．联立y ＝－２x ＋m ,y ＝２x －２,{解得x ＝m ＋２４,y ＝m －２２,ìîíïïïï所以点的坐标为Q(m ＋２４,m －２２)．又点P 是线段A B 上的动点,则－３＜m２＜１,解得－６＜m ＜２．由图４可知S әC P Q ＝S әA P C －S әA P Q ,而S әA P C ＝１２|y C ||A P |,S әA P Q ＝１２|y Q ||A P |,则S әC P Q ＝１２ˑ４ˑ(１－m２)－１２ˑ(１－m２)ˑ(－m －２２)＝－１８(m ＋２)２＋２．由二次函数性质可得,当m ＝－２时,S әC P Q 取得最大值２,此时点P 的坐标为(－１,０)．点评:该题综合性较强,求解时需认真观察图形,既要注重数形结合,又要会运用已知条件进行灵活转化,适当设出参数,搭建已知与未知参数之间的桥梁,化陌生为熟悉[２]．４总结上述三道例题情境较为典型,解题思路具有较强的代表性．从解题过程不难看出,二次函数动点问题的思路灵活多变,需在深刻理解题意的基础上,敢于大胆假设,借助所学知识 化动为静 ,运用题设条件抽丝剥茧,严谨推理,认真计算,得出结果[３]．参考文献:[１]王微．初中数学二次函数动点问题教学模式分析[J ]．数理天地(初中版),２０２３(９):４６Ｇ４８．[２]单小燕．二次函数动点问题的解法及教学策略探究[J ]．数学之友,２０２２,３６(２２):４Ｇ６．[３]冯玲玉．初中数学动点问题的教学策略研究 以二次函数为例[J ]．数理天地(初中版),２０２２(１６):３６Ｇ３８．Z４８。

动点问题一、选择题：1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）A94xyOPDAA 、10B 、16C 、18D 、20二、填空题：1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

三、解答题：1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ，EF 的长为y ． ⑴求PM 的长(用x 表示)；⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)．Q POBED CA图 13图 14图 12AHBCDA HBCDHM QP DCBA2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米．⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ．①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．3.（2008年白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．G 2 4 6 8 10 1210 86 4 2 yOx图1BDA↓。

二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)二次函数的动态问题（动点）正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，顶点C，D在第一象限。

点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动。

当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。

1) 求正方形ABCD的边长。

解：作BF⊥y轴于F。

则FB=8，FA=6，AB=10.2) 当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分。

求P，Q两点的运动速度。

解：由图可知，点P从点A运动到点B用了10秒。

又AB=10，故P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位。

3) 求(2)中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。

解：方法一：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF。

由相似三角形可得：GA/AP=FA/AB，即6/10=t/AP，故GA=3/5t。

又OG=10-3/5t，OQ=4+t。

则S=1/2×OQ×OG=1/2×(t+4)×(10-3/5t)=-3/10t²+19/5t+20.对XXX求导得：S'=(-6/5)t+19/5，令其为0，解得t=19/3.此时S有最大值。

此时GP=76/15，OG=31/5，P的坐标为(76/15,31/5)。

方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9，S=63/2.设所求函数关系式为S=at²+bt+20.抛物线过点(5,63/2)，则a=-3/10，b=19/2.代入可得S=-3/10t²+19/2t+20.同样可得最大值时t=19/3，P的坐标为(76/15,31/5)。

4) 若点P，Q保持(2)中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而减小。

2018 年 04 月 28 日 187****6232 的初中数学组卷一．解答题（共 5 小题）1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣ 1，0），点 B（3，0）和点 C（0，3）．（1）求抛物线的分析式和极点 E 的坐标；（2）点 C 能否在以 BE为直径的圆上请说明原因；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R 是抛物线上一动点，能否存在点Q、R，使以Q、R、C、B 为极点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明原因．2．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（﹣ 3，0），B（﹣ 2，3），C（0，3），其极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）设点 M（1，m），当 MB+MD的值最小时，求 m的值；（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线 AC订交于点 N，E 为直线 AC上随意一点，过点 E 作 EF∥ ND交抛物线于点 F，以 N，D，E，F 为极点的四边形可否为平行四边形若能，求点 E 的坐标；若不可以，请说明原因．3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣ 3 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），直线 l 与抛物线交于 A，C 两点，此中点 C 的横坐标为2．（ 1）求 A，B 两点的坐标及直线 AC的函数表达式；（2） P 是线段 AC上的一个动点（ P 与 A，C 不重合），过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求△ ACE面积的最大值；（3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交于点 Q，点 M为直线 PE 上一动点，则在 x 轴上能否存在一点 N，使四边形 DMNQ 的周长最小若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明原因．（4）点 H是抛物线上的动点，在 x 轴上能否存在点 F，使 A、C、 F、H 四个点为极点的四边形是平行四边形假如存在，请直接写出全部知足条件的F 点坐标；假如不存在，请说明原因．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣ 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右边）．（ 1）求抛物线的分析式及点 B 坐标；（2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（3）尝试究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上能否存在点 P，使以 M，F，B，P 为极点的四边形是平行四边形若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，试说明原因．5．如图，矩形 OABC在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴，点 C在 y 轴正半轴， OA=4，OC=3，抛物线经过 O，A 两点且极点在 BC边上，与直线 AC交于点D．（1）求抛物线的分析式；（2）求点 D 的坐标；（3）若点 M在抛物线上，点 N在 x 轴上，能否存在以 A，D，M，N 为极点的四边形是平行四边形若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明原因．第 3页（共 17页）2018 年 04 月 28 日 187****6232的初中数学组卷参照答案与试题分析一．解答题（共 5 小题）1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣ 1，0），点 B（3，0）和点 C（0，3）．（1）求抛物线的分析式和极点 E 的坐标；（2）点 C 能否在以 BE为直径的圆上请说明原因；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R 是抛物线上一动点，能否存在点Q、R，使以Q、R、C、B 为极点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明原因．【剖析】（1）将 A（﹣ 1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c 中，列方程组求 a、 b、 c 的值即可；（2）依据勾股定理的逆定理可得：∠ BCE=90°，可得结论；（3）分两种状况：①以 BC为边时，如图 1，R 在对称轴的右边时， BC∥RQ，四边形 CQRB是平行四边形，依据平移规律先得 R 的横坐标为 4，代入抛物线的分析式可得R（4，﹣ 5），由平移规律可得Q（1，﹣ 2）；如图 2，R 在对称轴的左边， RC∥BQ，四边形 CRQB是平行四边形，同理可得点Q、R的坐标．②以 BC为对角线时，如图3，同理依据平移规律可得结论．【解答】解：（1）由题意，得：，解得：，故这个抛物线的分析式为y=﹣ x2 +2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（ x﹣1）2 +4，∴极点 E（ 1，4）；（ 2）点 C 在以 BE为直径的圆上，原因是：∵C（0，3），B（3，0），E（1，4），22222222 2∴ BC=3 +3 =18， CE=1 +1 =2，BE=（3﹣1） +4 =20，22 2∴ BC+CE=BE，∴∠ BCE=90°，∴点 C 在以 BE为直径的圆上；（ 3）存在，分两种状况：①以 BC为边时，如图 1，R 在对称轴的右边时， BC∥ RQ，四边形 CQRB是平行四边形，由 C 到 B 的平移规律可知： Q的横坐标为 1，则 R 的横坐标为4，当 x=4 时， y=﹣ x2+2x+3=﹣ 42 +2×4+3=﹣16+8+3=﹣5，∴ R（ 4，﹣ 5），∴ Q（ 1，﹣ 2）；如图 2，R 在对称轴的左边， RC∥BQ，四边形 CRQB是平行四边形，由 C 到 B 的平移规律可知： Q的横坐标为 1，则 R 的横坐标为﹣ 2，当 x=﹣ 2 时， y=﹣x2+2x+3=﹣4+2×（﹣ 2）+3=﹣5，∴R（﹣ 2，﹣ 5），∴Q（1，﹣ 8）；②以 BC为对角线时，如图3，由 C 和 Q的平移规律可得： R的横坐标为 2，当 x=2 时， y=﹣ 4+4+3=3，∴R（2，3），依据 R 到 B 的平移规律可得： Q（1，0）；综上所述， R（ 4，﹣ 5），Q（1，﹣2）或 R（﹣ 2，﹣5），Q（1，﹣8）或 R（2，3），Q（1，0）．【评论】本题是二次函数的综合题，考察了待定系数法求分析式，圆周角定理，勾股定理的应用，平行四边形的判断等，分类议论的思想是（3）的重点．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 过点 A（﹣ 3，0），B（﹣ 2，3），C（0，3），其极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）设点 M（1，m），当 MB+MD的值最小时，求 m的值；（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线 AC订交于点 N，E 为直线 AC上随意一点，过点 E 作 EF∥ ND交抛物线于点 F，以 N，D，E，F 为极点的四边形可否为平行四边形若能，求点 E 的坐标；若不可以，请说明原因．【剖析】（1）依据待定系数法，可得答案；（ 2）利用轴对称求最短路径的知识，找到 B 点对于直线 x=1 的对称点 B′，连接 B'D，B'D 与直线 x=1 的交点即是点 M的地点，既而求出m的值．（3）依据平行于 y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得 PE的长，依据三角形的面积，可得二次函数，依据二次函数的性质，可得答案；（4）设出点 E 的，分状况议论，①当点 E 在线段 AC上时，点 F 在点 E 上方，②当点 E 在线段 AC（或 CA）延伸线上时，点 F 在点 E 下方，依据平行四边形的性质，可得对于 x 的方程，既而求出点 E 的坐标．【解答】解：（1）将 A，B，C 点的坐标代入分析式，得，解得，抛物线的分析式为y=﹣ x2﹣2x+3（ 2）配方，得 y=﹣（ x+1）2 +4，极点 D 的坐标为（﹣ 1，4）作 B 点对于直线 x=1 的对称点 B′，如图 1，则 B′（ 4，3），由（ 1）得 D（﹣ 1，4），可求出直线 DB′的函数关系式为 y=﹣ x+ ，当 M（1，m）在直线 DB′上时， MN+MD的值最小，则 m=﹣×1+ = ．（ 3）作 PE⊥x 轴交 AC于 E 点，如图 2 ，2AC的分析式为 y=x+3，设 P（m，﹣ m﹣ 2m+3），E（m，m+3），2 2PE=﹣ m﹣2m+3﹣（ m+3）=﹣m﹣ 3m2 2S△APC= PE?|x A|= （﹣ m﹣3m）× 3=﹣（m+ ）+ ，当 m=﹣时，△ APC的面积的最大值是；（4）由（ 1）、（ 2）得 D（﹣ 1，4），N（﹣1，2）点 E 在直线 AC上，设 E（x，x+3），①当点 E 在线段 AC上时，点 F 在点 E 上方，则 F（x，﹣ x2﹣2x+3），∵ EF=DN2∴﹣ x ﹣2x+3﹣（ x+3） =4﹣2=2，解得， x=﹣2 或 x=﹣1（舍去），②当点 E 在线段 AC（或 CA）延伸线上时，点 F 在点 E 下方，则 F（ x，﹣x2﹣ 2x+3），∵EF=DN，∴（ x+3）﹣（﹣ x2﹣2x+3）=2，解得 x=或x=，即点 E 的坐标为：（，）或（，）综上可得知足条件的点 E 为 E（﹣ 2，1）或：（，）或（，）．【评论】本题考察了二次函数的综合题，解（ 1）的重点是待定系数法，解（ 2）利用轴对称求最短路径；解（ 3）的重点是利用三角形的面积得出二次函数；解（ 4）的重点是平行四边形的性质得出对于x 的方程，要分类议论，以防遗漏．3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣ 3 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），直线 l 与抛物线交于 A，C 两点，此中点 C 的横坐标为2．（ 1）求 A，B 两点的坐标及直线 AC的函数表达式；（ 2） P 是线段 AC上的一个动点（ P 与 A，C 不重合），过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求△ ACE面积的最大值；（ 3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交于点Q，点 M为直线 PE 上一动点，则在 x 轴上能否存在一点 N，使四边形 DMNQ的周长最小若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明原因．（4）点 H是抛物线上的动点，在 x 轴上能否存在点 F，使 A、C、 F、H 四个点为极点的四边形是平行四边形假如存在，请直接写出全部知足条件的F 点坐标；假如不存在，请说明原因．【剖析】（1）令抛物线 y=x2﹣2x﹣3=0，求出 x 的值，即可求 A，B 两点的坐标，依据两点式求出直线 AC的函数表达式；（ 2）设 P 点的横坐标为 x（﹣ 1≤x≤2），求出 P、E 的坐标，用 x 表示出线段 PE 的长，求出 PE的最大值，从而求出△ ACE的面积最大值；（3）依据 D点对于 PE的对称点为点 C（2，﹣ 3），点 Q（ 0，﹣ 1）点对于 x 轴的对称点为 M（0， 1），则四边形 DMNQ的周长最小，求出直线 CM的分析式为 y=﹣2x+1，从而求出最小值和点M，N 的坐标；（ 4）联合图形，分两类进行议论，①CF平行 x 轴，如图 1，此时能够求出 F 点两个坐标；② CF不平行 x 轴，如题中的图2，此时能够求出 F 点的两个坐标．【解答】解：（1）令 y=0，解得 x1=﹣ 1 或 x2=3，∴A（﹣ 1，0），B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入 y=x2﹣ 2x﹣3 得 y=﹣3，∴ C（ 2，﹣ 3），∴直线 AC的函数分析式是 y=﹣x﹣1，（ 2）设 P 点的横坐标为 x（﹣ 1≤ x≤ 2），则 P、E 的坐标分别为： P（x，﹣ x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣ 3），∵P 点在 E 点的上方， PE=（﹣ x﹣ 1）﹣（ x2﹣ 2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴当 x= 时， PE的最大值 = ，△ ACE的面积最大值 = PE[2﹣（﹣ 1）]= PE=，（3）D 点对于 PE的对称点为点 C（ 2，﹣ 3），点 Q（0，﹣ 1）点对于 x 轴的对称点为 K（0，1），连结 CK交直线 PE于 M点，交 x 轴于 N 点，可求直线 CK的分析式为 y=﹣2x+1，此时四边形 DMNQ的周长最小，最小值 =|CM|+QD=2 +2，求得 M（1，﹣ 1），N（，0）．（4）存在如图 1，若 AF∥CH，此时的 D 和 H 点重合， CD=2，则 AF=2，于是可得 F1（1，0）， F2（﹣ 3，0），如图 2，依据点 A和 F 的坐标中点和点C和点 H的坐标中点同样，再依据 |HA|=|CF| ，求出 F4（ 4﹣，0），F3．综上所述，知足条件的 F 点坐标为 F1（1，0）， F2（﹣ 3，0），F3，F4 （4﹣，0）．【评论】本题主要考察二次函数的综合题的知识点，解答本题的重点是娴熟掌握对称的知识和分类议论解决问题的思路，本题难度较大．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣ 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右边）．（ 1）求抛物线的分析式及点 B 坐标；（2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（3）尝试究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上能否存在点 P，使以 M，F，B，P 为极点的四边形是平行四边形若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，试说明原因．【剖析】（1）先依据直线的分析式求出A、C两点的坐标，而后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的分析式．从而可依据抛物线的分析式求出B 点的坐标．（2） ME的长实质是直线 BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个对于 ME的长和 F 点横坐标的函数关系式，可依据函数的性质来求出 ME的最大值．（3）依据（2）的结果可确立出F，M的坐标，要使以M，F，B，P 为极点的四边形是平行四边形，一定知足的条件是MP∥=BF，那么只要将M点的坐标向左或向右平移 BF长个单位即可得出 P 点的坐标，而后将得出的 P 点坐标代入抛物线的分析式中，即可判断出能否存在切合条件的 P 点．【解答】解：（1）当 y=0 时，﹣ 3x﹣3=0， x=﹣1∴ A（﹣ 1，0）当 x=0 时， y=﹣ 3，∴ C（ 0，﹣ 3），∴∴，抛物线的分析式是： y=x2﹣ 2x﹣3．当 y=0 时， x2﹣2x﹣3=0，解得： x1=﹣1，x2=3∴B（3，0）．（2）由（ 1）知 B（ 3， 0），C（0，﹣ 3）直线 BC的分析式是： y=x﹣3，设 M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则 E（ x， x2﹣2x﹣3）∴ ME=（x﹣3）﹣（ x2﹣ 2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（ x﹣）2+ ；∴当 x=时，ME的最大值为．（ 3）答：不存在．由（ 2）知 ME取最大值时 ME= ，E（，﹣），M（，﹣）∴MF= ，BF=OB﹣ OF= ．设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B 为极点的四边形是平行四边形，则 BP∥ MF，BF∥ PM．∴ P1（0，﹣）或P2（3，﹣）当 P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴ P1不在抛物线上．当 P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴ P2不在抛物线上．综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F、B 为极点的四边形是平行四边形．【评论】本题侧重考察了待定系数法求二次函数分析式、平行四边形的判断和性质等知识点，综合性强，考察学生疏类议论，数形联合的数学思想方法．（2）中弄清线段 ME长度的函数意义是解题的重点．5．如图，矩形 OABC在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴，点 C在 y 轴正半轴， OA=4，OC=3，抛物线经过 O，A 两点且极点在 BC边上，与直线 AC交于点D．（1）求抛物线的分析式；（2）求点 D 的坐标；第14页（共 17页）形是平行四边形若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．【剖析】（1）设抛物线极点为 E，依据题意 E（ 2，3），设抛物线分析式为y=a（x﹣2）2+3，将 A（4，0）坐标代入 q 求出 a 即可解决问题；（ 2）求出直线 AC的分析式，利用方程组确立交点坐标即可；（ 3）分两种状况考虑：①当点 M在 x 轴上方时，如答图 1 所示；②当点 M在 x轴下方时，如答图 2 所示；分别利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：（1）设抛物线极点为 E，依据题意 OA=4， OC=3，得： E（2，3），设抛物线分析式为 y=a（x﹣2）2 +3，将 A（4，0）坐标代入得： 0=4a+3，即 a=﹣，则抛物线分析式为 y=﹣（x﹣2）2+3=﹣ x2+3x；（2）设直线 AC分析式为 y=kx+b（k≠0），将 A（4，0）与 C（0，3）代入得：，解得：，故直线 AC分析式为 y=﹣x+3，与抛物线分析式联立得：，第15页（共 17页）则点 D 坐标为（ 1，）；（ 3）存在，分两种状况考虑：①当点 M在 x 轴上方时，如答图 1 所示：四边形 ADMN为平行四边形， DM∥AN，DM=AN，由对称性获得 M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点 M在 x 轴下方时，如答图 2 所示：过点 D 作 DQ⊥x 轴于点 Q，过点 M作 MP⊥x 轴于点 P，可得△ ADQ≌△ NMP，∴ MP=DQ=，NP=AQ=3，将 y =﹣代入抛物线分析式得：﹣ =﹣ 2 +3x，xM解得： x M=2﹣或 x M=2+ ，∴ x N=x M﹣ 3=﹣﹣1 或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．综上所述，知足条件的点N有四个： N（2，0），N（6，0），N（﹣﹣1，0），1 2 3N4（﹣1，0）．【评论】本题考察了二次函数综合题、待定系数法确立抛物线分析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质等知识，解题的重点是娴熟掌握待定系数法解决问题，学会用分类议论的思想思虑问题，属于中考压轴题．。

专题14二次函数中动点问题求取值范围知识归纳学会用函数的观点去看问题和用数形结合的思想去解决问题是本专题主要研究的知识点。

本专题主要对二次函数中动点问题求取值范围题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

二次函数动点问题解法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需4102转化为一元二次1653方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；常考题型专练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：22222y x mx my x⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x-+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．2．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax 2﹣x＋1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是____．【答案】1≤a＜98或a≤−2【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax 2−x＋1（a≠0）与线段AB 有两个不同的交点，∴令12x＋12＝ax 2−x＋1，则2ax 2−3x＋1＝0，∴△＝9−8a＞0，∴a＜98，①a＜0时，此时函数的对称轴在y 轴左侧，当抛物线过点A 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，解得a＝−2，故a≤−2②当a＞0时，此时函数的对称轴在y 轴右侧，当抛物线过点B 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a −1＋1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜98综上所述：1≤a＜98或a≤−2．故答案是：1≤a＜98或a≤−2．【总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是_________.【答案】74【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax 2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴4222m n a a +=-=-，顶点为（-2,1）∴由题意可知a>0,∵线段AB 的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥12∴a 2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，将抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m 的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D 点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D 之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，联立解方程：22222y x mx m y x ⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x -+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D 之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于A、C 两点，与x 轴交于点(3,0)C ，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,1)-，连接PC +的最小值是______．【答案】4【分析】过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，求出DP PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于H．∵二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点(3,0)C ，∴b＝2，∴二次函数的解析式为223y x x =-++，令y＝0，-x 2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ⊥CB，∴90PJC ∠︒＝，∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，∵DP PJ DH +≥，∴DP PJ +≥∴DP+PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案是4．【总结】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，2PJ PC ＝是解题的关键．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x x =-．（1）写这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求抛物线24y x x =-的“不动点”的坐标．【答案】（1）抛物线开口向上，顶点坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【分析】（1）由a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，−1），即可分析出变化情况；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，即可求解；【详解】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的横坐标为4222b a --=-=，则顶点A 的纵坐标为2242y =-⨯=−4；故顶点A 的坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【总结】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．2．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤18【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；（2）∵当a<0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；（3）①当a＞0时，∵C(0，a)在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，②当a＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，综上所述：t≤18．【总结】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）278【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax 2+bx+3，求出a、b，即可求解；（2）求出直线BC 解析式；设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，表示出PE 长，得到△BCP 面积与t 函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC 的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得300k m m +⎧⎨⎩＝＝，解得13k m -⎧⎨⎩＝＝，∴直线BC 的解析是为y=-x+3，设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．【总结】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．4.已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1）228y x x =--，顶点坐标为()1,9-；（2）4p x -<<5，916p y -≤<【分析】（1）把()2,0-代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把()4,A m -，(),7B n 代入可求出m，n，求出点P 横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把()2,0-代入228y ax ax =--，得4480a a +-=，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，配方得()219y x =--，∴顶点坐标为()1,9-．（2）当4x =-时，16m =．当7y =时，2287n n --=，解得15n =，23n =-．n 为正数，∴5n =．点P 在抛物线上且在直线l 的下方（不与点A ，B 重合），∴4p x -<<5．∵1a =＞0∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9∴当41x -<≤时，y 随x 的增大而减小；当15x <<时，y 随x 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，∴916p y -≤<【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．5.已知她物线2y x bx c =++的图象开口向上，且经过点(0,3)A 、19,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M 向下平移()0t t >个单位长度时与直线BC 只有一个交点，求t 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-+（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1（3）1＜t≤7【分析】（1）把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到2(1)2y x =-+，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=12x+2，再利用平移的性质得到图象M 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上；图象M 向下平移7个单位时，点D 在直线BC 上，由于图象M 向下平移t (t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得=3{1193424c b ++=，解得=3{2c b =-，∴抛物线的解析式为223y x x =-+；【小问2详解】∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，所以C 点坐标为(2，3)，抛物线如下图，设直线BC 的解析式为y=mx +n，把B 1924()，，C(2，3)代入得，19+={2423m n m n +=，解得：1{22m n ==，∴直线BC 的解析式为y=12x+2，∵抛物线223y x x =-+，当x =4时，223y x x =-+=16-2×4+3=11，∴点D 的坐标为（4，11），∵直线y=12x+2，当x=0时，y=12x+2=2，当x=4时，y=12x+2=4，∴如下图，点E 的坐标（0，2），点F 的坐标（4，4），设点A 平移后的对应点为点A '，点D 平移后的对应点为点D ¢，当图象M 向下平移至点A '与点E 重合时，点D ¢在直线BC 上方，此时t=1，当图象M 向下平移至点D ¢与点F 重合时，点A '在直线BC 下方，此时t=11-4=7，结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1<t≤7．【总结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．6.已知抛物线y＝ax 2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；②若P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）是新抛物线上的两点，当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，求n 的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①94或6；②23n-≤≤【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x＝12，故点A的坐标为（12，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝14﹣1+3﹣m，解得m＝9 4若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝94或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，∴结合图象，得214n n ≥-⎧⎨+≤⎩，∴﹣2≤n≤3．【总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+（2）()2,2（3）13t <≤【分析】（1）把点A、B 的坐标代入212y x bx c =++得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求得b、c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得()213122y x =-+，则抛物线的对称轴为直线1x =，然后根据点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C 的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为112y x =+，再利用平移的性质得到图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上；图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上；然后根据图像G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =++得：21322c b c ì=ïí++=ïî，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2122y x x =-+；【小问2详解】解：∵()2211321222y x x x =-+=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，∴C 点坐标为()2,2；【小问3详解】解：如图，设直线BC 的解析式为y mx m =+，把31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2C 代入y mx m =+，得：3222m n m n ì+=ïíï+=î，解得：121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为112y x =+，当0x =时，1112y x =+=，∴图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上，当4x =时，1132y x =+=，∵4x =时，21262y x x =-+=，∴图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴当13t <≤时，图象G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点．【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.8.如图，抛物线y＝x 2+bx 与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b 和k 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x 2+bx 的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线有公共点，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）2<<1x -（3）21m -≤≤-或01m ≤≤【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B 的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x 2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x 2+2x，y＝x+2由222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得13x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩(舍去)故点B 的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x 2+bx 的解集为2<<1x -【小问3详解】解：如图：设直线与y 轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M 在点A 的左侧或点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x 2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M 在点D、E 之间时，将点向下平移2个单位长度得到点N，线段MN 与抛物线没有公共点故当21m -≤≤-或01m ≤≤时，线段MN 与抛物线有公共点【总结】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M 的位置是解题的关键．9．如图，二次函数y＝﹣x 2＋bx＋c 与x 轴交于点B 和点A（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，4），与一次函数y ＝x＋a 交于点A 和点D．（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c 的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据∆∆∆=+AED AEH HED S S S ，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，根据角平分线的性质可得：FM FN =，即有11d FE FM FE FN =+-=+-，可知当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴410=⎧⎨--+=⎩c b c 解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =-++，∵点A（－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =-+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，将1y x =+与2y 34x x =-++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT ∆∆∆=+=⨯+⨯()12EH AG DT =+()2134132m m m =-++--⨯()23162m =--+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为6，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615d =-=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【总结】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．。

数学压轴题 二次函数动点问题1.如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C (0，)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC 、3BC ．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==+-c b a c b a c c b a 244163039 解得a ＝－，b ＝－，c ＝．333323（2）由（1）知y ＝－x 2－x ＋，令y ＝0，得－x 2－x ＋＝0．333323333323解得x 1＝－3，x 2＝1．∵A (－3，0)，∴B (1，0)．又∵C (0，)，∴OA ＝3，OB ＝1，OC ＝，33∴AB ＝4，BC ＝2．∴tan ∠ACO ＝＝，∴∠ACO ＝60°，∴∠CAO ＝30°．OCOA3同理，可求得∠CBO ＝60°，∠BCO ＝30°，∴∠ACB ＝90°．∴△ABC 是直角三角形．又∵BM ＝BN ＝t ，∴△BMN 是等边三角形．∴∠BNM ＝60°，∴∠PNM ＝60°，∴∠PNC ＝60°．∴Rt △PNC ∽Rt △ABC ，∴＝．NC PN BCAB由题意知PN ＝BN ＝t ，NC ＝BC －BN ＝2－t ，∴＝．t t 224∴t ＝．∴OM ＝BM －OB ＝－1＝．343431如图1，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，则PH ＝PM ·sin60°＝×＝．3423332MH ＝PM ·cos60°＝×＝．∴OH ＝OM ＋MH ＝＋＝1．3421323132∴点P 的坐标为(－1，)．332（3）存在．由（2）知△ABC 是直角三角形，若△BNQ 与△ABC 相似，则△BNQ 也是直角三角形．∵二次函数y ＝－x 2－x ＋的图象的对称轴为x ＝－1．∴点P 在对称轴上．333323∵PN ∥x 轴，∴PN ⊥对称轴．又∵QN ≥PN ，PN ＝BN ，∴QN ≥BN ．∴△BNQ 不存在以点Q 为直角顶点的情形．①如图2，过点N 作QN ⊥对称轴于Q ，连结BQ ，则△BNQ 是以点N 为直角顶点的直角三角形，且QN ＞PN ，∠MNQ ＝30°．∴∠PNQ ＝30°，∴QN ＝＝＝．o 30cos PN 2334938∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠．BN QN 34938332BC AC 3BN QN BC AC ∴当△BNQ 以点N 为直角顶点时，△BNQ 与△ABC 不相似．②如图3，延长NM 交对称轴于点Q ，连结BQ ，则∠BMQ ＝120°．∵∠AMP ＝60°，∠AMQ ＝∠BMN ＝60°，∴∠PMQ ＝120°．∴∠BMQ ＝∠PMQ ，又∵PM ＝BM ，QM ＝QM ．∴△BMQ ≌△PMQ ，∴∠BQM ＝∠PQM ＝30°．∵∠BNM ＝60°，∴∠QBN ＝90°．∵∠CAO ＝30°，∠ACB ＝90°．∴△BNQ ∽△ABC ．∴当△BNQ 以点B 为直角顶点时，△BNQ ∽△ABC ．设对称轴与x 轴的交点为D ．∵∠DMQ ＝∠DMP ＝60°，DM ＝DM ，∴Rt △DMQ ≌Rt △DMP ．∴DQ ＝PD ，∴点Q 与点P 关于x 轴对称．∴点Q 的坐标为(－1，－)．332综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q (－1，－)，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角332形与△ABC 相似．2.如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．解：（1）由题意得解得⎩⎨⎧033903＝＋＝＋＋－b a b a ⎩⎨⎧21－－＝＝b a ∴所求抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；（2）存在符合条件的点P ，其坐标为P (－1，)或P (－1，)1010－或P (－1，6)或P (－1，)；35（3）解法一：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E (m ，－m 2－2m ＋3)（－3＜ a ＜0）则EF ＝－m 2－2m ＋3，BF ＝m ＋3，OF ＝－m ．∴S 四边形BOCE ＝S △BEF ＋S 梯形FOCE ＝BF ·EF ＋(EF ＋OC )·OF 2121＝(m ＋3)(－m 2－2m ＋3)＋(－m 2－2m ＋6)(－m )．2121＝－m 2－m ＋＝－(m ＋)2＋2329292323863∴当m ＝－时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为．23863此时y ＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E 点的坐标为(－，)．232341523415解法二：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E (x ，y )（－3＜ x ＜0）则S 四边形BOCE ＝S △BEF ＋S 梯形FOCE ＝BF ·EF ＋(EF ＋OC )·OF 2121＝(3＋x )· y ＋(3＋y )(－x )＝(y －x )＝(－x 2－3x ＋3)21212323＝－(x ＋)2＋2323863∴当x ＝－时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为．23863此时y ＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E 点的坐标为(－，)．2323415234153.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA ＜OC ）是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝1．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA 、OC 的长是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，OA ＜OC ．∴OA ＝1，OC ＝4．∵点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的负半轴∴A （－1，0），C （0，－4）．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1∴由对称性可得B 点坐标为（3，0）．∴A 、B 、C 三点的坐标分别是：A （－1，0），B （3，0），C （0，－4）．（2）∵点C （0，－4）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上，∴c ＝－4．4分将A （－1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2＋bx －4得 解得⎩⎨⎧043904＝＋＝－－－b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧3834－＝＝b a ∴此抛物线的解析式为y ＝x 2－x －4．3438（3）∵BD ＝m ，∴AD ＝4－m ．在Rt △BOC 中，BC 2＝OB 2＋OC 2＝3 2＋4 2＝25，∴BC ＝5．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．∴＝，即＝．∴DE ＝．BC DE AB AD 5DE 44m－4520m －过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则sin ∠EDF ＝sin ∠CBA ＝＝．BC OC 54∴＝，∴EF ＝DE ＝×＝4－m ．DE EF 5454544520m －∴S ＝S △CDE ＝S △ADC －S △ADE ＝(4－m )×4－(4－m )(4－m )＝－m 2＋2m 212121＝－(m －2)2＋2（0＜m ＜4）．21∵－＜0 ∴当m ＝2时，S 有最大值2．21此时OD ＝OB －BD ＝3－2＝1．∴此时D 点坐标为（1，0）．4.如图，抛物线y ＝a (x ＋3)(x －1)与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为(－2，6)．（1）求a 的值及直线AC 的函数关系式；（2）P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N ．①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意得6＝a (－2＋3)(－2－1)，∴a ＝－2∴抛物线的解析式为y ＝－2(x ＋3)(x －1)，即y ＝－2x 2－4x ＋6令－2(x ＋3)(x －1)＝0，得x 1＝－3，x 2＝1∵点A 在点B 右侧，∴A (1，0)，B (－3，0)设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，把A (1，0)、C (－2，6)代入，得 解得⎩⎨⎧620＝＋＝＋－b k b k ⎩⎨⎧22＝＝－b k ∴直线AC 的函数关系式为y ＝－2x ＋2（2）①设P 点的横坐标为m (－2≤ m ≤1)，则P (m ，－2m ＋2)，M (m ，－2m 2－4m ＋6)∴PM ＝－2m 2－4m ＋6－(－2m ＋2)＝－2m 2－2m ＋4＝－2(m ＋)2＋2129∴当m ＝－时，线段PM 长度的最大值为2129②存在. M 1(0，6), M 2(－，)41855ⅰ)如图1，当M 为直角顶点时，连结CM ，则CM ⊥PM ，△CMP ∽△ANP ∵点C (－2，6)，∴点M 的纵坐标为6，代入y ＝－2x 2－4x ＋6得－2x 2－4x ＋6＝6，∴x ＝－2（舍去）或x ＝0∴M 1(0，6)（此时点M 在y 轴上，即抛物线与y 轴的交点，此时直线MN 与y 轴重合，点N 与原点O 重合）ⅱ)如图2，当C 为直角顶点时，设M (m ，－2m 2－4m ＋6)(－2≤ m ≤1)过C 作CH ⊥MN 于H ，连结CM ，设直线AC 与y 轴相交于点D 则△CMP ∽△NAP又∵△HMC ∽△CMP ，△NAP ∽△OAD ，∴△HMC ∽△OAD ∴＝OD CH OAMH∵C (－2，6)，∴CH ＝m ＋2，MH ＝－2m 2－4m ＋6－6＝－2m 2－4m 在y ＝－2x ＋2中，令x ＝0，得y ＝2∴D (0，2)，∴OD ＝2 ∴＝22+m 1422m m --整理得4m 2＋9m ＋2＝0，解得m ＝－2（舍去）或m ＝－41当m ＝－时，－2m 2－4m ＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝ ∴M 2(－，)41414185541855。

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题1 二次函数背景下的动点问题探究【方法综述】动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。

动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。

【典例示范】类型一 常规单动点问题例1：．（广东省深圳市）已知二次函数y =ax 2+bx +3的图象分别与x 轴交于点A （3，0），C （-1，0），与y 轴交于点B ．点D 为二次函数图象的顶点．（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：（2）如图②所示，在x 轴上取一动点P （m ，0），且1＜m ＜3，过点P 作x 轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD ，AB 于点Q 、F ，E ，求证：EF =EP ；（3）在图①中，若R 为y 轴上的一个动点，连接AR ，则√1010BR +AR 的最小值______（直接写出结果）． 【答案】（1）y=-x 2+2x+3；（2）见解析；（3）6√105【解析】解：（1）将A （3，0），C （-1，0）代入y=ax2+bx+3，得： {9a +3b +3=0a −b +3=0，解得：{a =−1b =2 ，∴此二次函数的关系式为y=-x 2+2x+3． （2）证明：∵y=-x 2+2x+3=-（x -1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．设线段AB 所在直线的函数关系式为y=kx+c （k≠0），将A （3，0），C （0，3）代入y=kx+c ，得： {3k +c =0c =3 ，解得：{k =−1c =3，∴线段AB 所在直线的函数关系式为y=-x+3．同理，可得出：线段AD 所在直线的函数关系式为y=-2x+6． ∵点P 的坐标为（m ，0），∴点E 的坐标为（m ，-m+3），点F 的坐标为（m ，-2m+6）， ∴EP=-m+3，EF=-m+3，∴EF=EP ．（3）如图③，连接BC ，过点R 作RQ ⊥BC ，垂足为Q ． ∵OC=1，OB=3， ∴BC=√10．(勾股定理)∵∠CBO=∠CBO ，∠BOC=∠BQR=90°， ∴△BQR ∽△AOB ， ∴BRBC =QROC ,即√10=QR 1,∴RQ=√1010BR ， ∴AR+√1010BR=AR+RQ ，∴当A ，R ，Q 共线且垂直AB 时，即AR+√1010BR=AQ 时，其值最小． ∵∠ACQ=∠BCO ，∠BOC=∠AQC ， ∴△CQA ∽△COB ， ∴AQBO =ACBC ,即AQ3=√10∴AQ=6√105， ∴√1010BR+CR 的最小值为6√105．故答案为：6√105． 例2：（2019年广西）如图，抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴与抛物线相交于点M ，与x 轴相交于点N ，点P 是线段MN 上的一个动点，连接CP ，过点P 作PE ⊥CP 交x 轴于点E ．（1）求抛物线的顶点M 的坐标；（2）当点E 与原点O 的重合时，求点P 的坐标； （3）求动点E 到抛物线对称轴的最大距离是多少？【答案】（1）（1，-4）．（2）当点E 与原点O 的重合时，点P 的坐标为（1，−3−√52）或（1，√5−32）．（3）点E 到抛物线对称轴的最大距离是4． 【解析】解：（1）∵y=x2-2x -3=（x -1）2-4， ∴抛物线的顶点M 的坐标为（1，-4）． （2）当x=0时，y=x2-2x -3=-3， ∴点C 的坐标为（0，-3）．过点C 作CF ⊥直线MN ，垂足为点F ，如图1所示．∵∠PON+∠OPN=90°，∠OPN+∠CPF=180°-∠CPO=90°， ∴∠PON=∠CPF ． 又∵∠PNO=∠CFP=90°， ∴△PON ∽△CPF ， ∴CF PN =PF ON，即1PN=3−PN 1，∴PN=3±√52， ∴当点E 与原点O 的重合时，点P 的坐标为（1，−3−√52）或（1，√5−32）． （3）过点C 作CF ⊥直线MN ，垂足为点F ，设PN=m ，分三种情况考虑，如图2所示．①当0＜m ＜3时，由（2）可知：△PEN ∽△CPF ， ∴EN PF =PNCF ，即EN3−m =m ， ∴EN=-m2+3m=-（m -32）2+94． ∵-1＜0，∴当m=32时，EN 取得最大值，最大值为94；②当m=0或3时，点E 和点N 重合，此时EN=0；③当3＜m≤4时，∵∠PCF+∠CPF=90°，∠CPF+∠EPN=90°， ∴∠PCF=∠EPN ． 又∵∠CFP=∠PNE=90°， ∴△PCF ∽△EPN ， ∴EN PF =PN CF，即ENm−3=m1，∴EN=m2-3m ． ∵1＞0，∴当3＜m≤4时，EN 的值随m 值的增大而增大， ∴当m=4时，EN 取得最大值，最大值为4． 综上所述：点E 到抛物线对称轴的最大距离是4．针对训练1．（山东省济南市历下区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−12x 2+bx +c ，经过点A(1,3)、B(0,1)，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ． (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)如图，点M 是第一象限中BC 上方抛物线上的一个动点，过点作MH ⊥BC 于点H ，作ME ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ，在点M 运动的过程中，ΔMFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图，连接AB ，在y 轴上取一点P ，使ΔABP 和ΔABC 相似，请求出符合要求的点P 坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y =−12x 2+52x +1，顶点坐标为(52,338)；（2）最大值为6√55+2；（3）满足条件的P 点有(0,52)，(0,133)． 【解析】（1）将A(1,3)，B(0,1)，代入y=−12x2+bx+c，解得b=52，c=1．∴抛物线的解析式为y=−12x2+52x+1．∴顶点坐标为(52,338)．（2）由B(0,1)，C(4,3)得直线BC解析式为：y=12x+1设M(m,−12m2+52m+1)，则得F(0,12m+1)则MF=−12m2+52m+1−(12m+1)=−12m2+2m∵−12<0∴MF有最大值，当m=2时，MF最大值为2 将直线AC与y轴交点记作D，易得BD:CD:BC=1:2:√5因为ME//y轴，∴∠MFH=∠DBC又∵∠CDB=∠MHP=900，∴ΔMHF∽ΔCDB ∴FH:MH:MF=1:2:√5∴CΔMHF=(3√55+1)MF所以CΔMHF的最大值为6√55+2（3）∵ADBD =BDCD=12，∠CDB为公共角，∴ΔABD∽ΔBCD．∴∠ABD=∠BCD．1°当∠PAB=∠ABC时，PBAC =ABBC，∵ BC =√(0−4)2+(1−3)2=2√5， AB =√(0−1)2+(1−3)2=√5，AC =3 ∴ PB =32，∴ P 1(0,52)． 2°当∠PAB =∠BAC 时，PBBC =ABAC ， ∴2√5=√53， ∴ PB =103，∴ P 2(0,133)．综上所述满足条件的P 点有(0,52)，(0,133)．2．（四川省简阳市2019届九年级）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =−(x −a )(x −4)(a <0)与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点. （1）若D 点坐标为(32,254)，求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）若点M 为抛物线对称轴上一点，且点M 的纵坐标为a ，点N 为抛物线在x 轴上方一点，若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时，求a 的值；（3）直线y =2x +b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D ′，与直线的另一个交点为E ，与x 轴的交点为B ′，在平移的过程中，求D ′E ′的长度；当∠E ′D ′B ′=90°时，求点B ′的坐标.【答案】（1）y =−x 2+3x +4;C (0,4);（2）a =−2±2√13； a 1=−2−2√13，a 2=6−2√213;（3）B ′(−1,0) 【解析】（1）依题意得：254=−(32−a)(32−4) 解得a =−1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x -4）或y =−x 2+3x +4 ∴C (0,4)（2）由题意可知A (a,0)、B (4,0)、C (0,−4a ) 对称轴为直线x =a+42，则M (a+42,a)①MN//BC ，且MN =BC ，根据点的平移特征可知N (a−42,−3a)则−3a =−(a−42−a)⋅(a−42−4)，解得：a =−2±2√13（舍去正值）；②当BC 为对角线时，设N (x,y )，根据平行四边形的对角线互相平分可得 {a+42+x =4a +y =−4a，解得{x =4−a 2y =−5a， 则−5a =−(4−a 2−a)⋅(4−a 2−4)解得：a =6±2√213∴a 1=−2−2√13，a 2=6−2√213（3）联立{y =2x +134y =−x 2+3x +4解得：{x 1=32y 1=254 (舍去)，{x 2=−12y 2=94则DE =2√5，根据抛物线的平移规律， 则平移后的线段D ′E ′始终等于2√5 设平移后的D ′(m,2m +134)，则E ′(m −2,2m −34) 平移后的抛物线解析式为：y =−(x −m )2+2m +134则D ′B ′：y =−12x +n 过(m,2m +134)， ∴y =−12x +52m +134，则B ′(5m +132,0)抛物线y =−(x −m )2+2m +134过B ′(5m +132,0)解得m 1=−32，m 2=−138 ∴B 1′(−1,0)，B 2′(−138,0)（与D ′重合，舍去）∴B ′(−1,0)3．（浙江省金衢十二校2019届九年级3月联考数学）如图1，抛物线y 1=−43x 2−43tx -t+2与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，过y 轴上的点C(0，4)，直线y 2=kx+3交x 轴，y 轴于点M 、N ，且ON=OC. (1)求出t 与k 的值.(2)抛物线的对称轴交x 轴于点D ，在x 轴上方的对称轴上找一点E ，使△BDE 与△AOC 相似，求出DE 的长. (3)如图2，过抛物线上动点G 作GH ⊥x 轴于点H ，交直线y 2=kx+3于点Q ，若点Q′是点Q 关于直线MG 的对称点，是否存在点G(不与点C 重合)，使点Q′落在y 轴上？，若存在，请直接写出点G 的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)t=-2，k=34；(2)12或8；(3)1−√134；1+√134；19+√55316；19−√55316.【解析】解：（1）将点C(0，4)代入抛物线y1=−43x2−43tx -t+2，得-t+2=4，∴t=-2，∴抛物线y1=−43x2+83x+4， ∵ON=OC ，∴N （-4，0），将N （-4，0）代入直线y2=kx+3，得-4k+3=0，∴k =34， ∴直线y2=34x+3， ∴t=-2，k =34.（2）如图1，链接BE ，在y1=−43x2+83x+4中，当y=0时，解得：x 1=−1，x 2=3， ∴A （-1，0），B （3，0），对称轴为x=−b2a =1， ∴D （1，0），∴AO=1，CO=4，BD=2，∠AOC=∠EDB=90°， ①当△AOC ∽△BDE 时，AO BD=OC DE，即12=4DE，∴DE=8，②当△AOC ∽△EDB 时，AODE=OC BD ，即1DE =42， ∴DE=12，综上：DE=12或8；（3）如图2，点Q'是点Q 关于直线MG 的对称点，且点Q'在y 轴上， 由轴对称的性质知：QM= Q'M ，QG= Q'G ，∠Q'MG= ∠QMG ， ∵QG ⊥x 轴，∴QG ∥y 轴， ∴∠Q'MG=∠QGM ， ∴∠QMG=∠QGM ， ∴QM=QG ，∴QM=Q'M=QG=Q'G ， ∴四边形QMQ'G 为菱形，设G （a ，−43a2+83a+4），则Q （a ，34a+3），过点G 作GH ⊥y 轴于点H ， ∵GQ'∥QN ， ∴∠GQ'H=∠NMO ， 在Rt △NMO 中， NM=√NO 2+MO 2=5， ∴sin∠NMO =NO NM =45，∴sin∠GQ′H =HGGQ′=45，①当点G 在直线MN 下方时，QG= Q'G=43a 2−2312a −1， ∴a43a 2−2312a−1=45，解得：a 1=19+√55316，a 2=19−√55316；②如图3，当点G 在直线MN 上方时，QG= Q'G=−(43a 2−2312a −1)，∴a−(43a 2−2312a−1)=45，解得：a 1=1+√134，a 2=1−√134. 综上所述：点G 的横坐标为19+√55316，19−√55316，1+√134或1−√134.4．（四川省自贡市2019年初中升学考试调研）如图，直线y ＝34x +a 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝34x 2+bx +c 经过点A ，B ．点M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P ，N ．（1）填空：点B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点M 在线段OA 上运动时（不与点O ，A 重合）， ①当m 为何值时，线段PN 最大值，并求出PN 的最大值； ②求出使△BPN 为直角三角形时m 的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，请直接写出此时由点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积．【答案】（1）（0，﹣3），y ＝34x2﹣94x ﹣3；（2）①是3，②3或119；（3）6或6+6√2或6√2﹣6． 【解析】解：（1）把点A 坐标代入直线表达式y ＝34x+a ，解得：a ＝﹣3，则：直线表达式为：y═34x ﹣3，令x ＝0，则：y ＝﹣3， 则点B 坐标为（0，﹣3），将点B 的坐标代入二次函数表达式得：c ＝﹣3， 把点A 的坐标代入二次函数表达式得：34×16+4b ﹣3＝0，解得：b ＝﹣94，故抛物线的解析式为：y ＝34x2﹣94x ﹣3，（2）①∵M （m ，0）在线段OA 上，且MN ⊥x 轴， ∴点P （m ，34m ﹣3），N （m ，34m2﹣94m ﹣3）， ∴PN ＝34m ﹣3﹣（34m2﹣94m ﹣3）＝﹣34（m ﹣2）2+3，∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝2时，PN 有最大值是3， ②当∠BNP ＝90°时，点N 的纵坐标为﹣3，把y ＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝34m2﹣94m ﹣3，解得：m ＝3或0（舍去m ＝0）， ∴m ＝3；当∠NBP ＝90°时，∵BN ⊥AB ，两直线垂直，其k 值相乘为﹣1， 设：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x+n ，把点B 的坐标代入上式，解得：n ＝﹣3，则：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x ﹣3， 将上式与抛物线的表达式联立并解得：m ＝119或0（舍去m ＝0），当∠BPN ＝90°时，不合题意舍去，故：使△BPN 为直角三角形时m 的值为3或43； （3）∵OA ＝4，OB ＝3，在Rt △AOB 中，tanα＝43，则：cosα＝35，sinα＝45， ∵PM ∥y 轴，∴∠BPN ＝∠ABO ＝α，若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，在直线AB 上方的交点有两个．当过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，点M 的坐标为（m ，0），设：点N 坐标为：（m ，n ）， 则：n ＝34m2﹣94m ﹣3，过点N 作AB 的平行线，则点N 所在的直线表达式为：y ＝34x+b ，将点N 坐标代入， 解得：过N 点直线表达式为：y ＝34x+（n ﹣34m ），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x ﹣12+3m ﹣4n ＝0， △＝144﹣3×4×（﹣12+3m ﹣4n ）＝0，将n ＝34m2﹣94m ﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m ＝2，则点N 的坐标为（2，﹣92）， 则：点P 坐标为（2，﹣32）， 则：PN ＝3， ∵OB ＝3，PN ∥OB ，∴四边形OBNP 为平行四边形，则点O 到直线AB 的距离等于点N 到直线AB 的距离， 即：过点O 与AB 平行的直线与抛物线的交点为另外两个N 点，即：N′、N″， 直线ON 的表达式为：y ＝34x ，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得： x2﹣4x ﹣4＝0，解得：x ＝2±2√2，则点N′、N″的横坐标分别为2+2√2，2﹣2√2， 作NH ⊥AB 交直线AB 于点H ， 则h ＝NH ＝NPsinα＝125，作N′P′⊥x 轴，交x 轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝OP ′sinα＝54（2+2√2）， S 四边形OBPN ＝BP•h ＝52×125＝6，则：S 四边形OBP′N′＝S △OP′N′+S △OBP′＝6+6√2， 同理：S 四边形OBN″P″＝6√2﹣6，故：点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积为：6或6+6√2或6√2﹣6．5．（江苏省无锡市天一实验学校2019届中考数学一模）如图，已知抛物线y =ax 2−4a(a >0)与x 轴相交于A ，B 两点，点P 是抛物线上一点，且PB =AB ，∠PBA =120∘． (1)求该抛物线的表达式；(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点，当点M 在曲线BA 之间(含端点)移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M 的坐标．【答案】(1)抛物线解析式为；y ＝√36x2﹣2√33；(2)当点M 在曲线BA 之间(含端点)移动时，M 的坐标为(√3，﹣√36)或(﹣√3，﹣√36)时，|m|+|n|的最大值为7√36． 【解析】（1）如图，令y ＝0代入y ＝ax2﹣4a ， ∴0＝ax2﹣4a ， ∵a ＞0， ∴x2﹣4＝0， ∴x ＝±2，∴A （﹣2，0），B （2，0），∴AB ＝4，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ， ∴∠PBC ＝180°﹣∠PBA ＝60°， ∵PB ＝AB ＝4， ∴cos ∠PBC ＝BCPB ，∴BC ＝2，由勾股定理可求得：PC ＝2√3， ∵OC ＝OB+BC ＝4， ∴P （4，2√3），把P （4，2√3）代入y ＝ax2﹣4a ， ∴2√3＝16a ﹣4a ， ∴a ＝√36，∴抛物线解析式为：y ＝√36x2﹣2√33； （2）当点M 在曲线BA 之间（含端点）移动时， ∴﹣2≤m≤2，n ＜0， 当﹣2≤m≤0时，∴|m|+|n|＝﹣m ﹣n ＝﹣√36m2﹣m+2√33＝﹣√36（m+√3）2+7√36， 当m ＝﹣√3时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为7√36， 此时，M 的坐标为（﹣√3，﹣√36）， 当0＜m≤2时，∴|m|+|n|＝m ﹣n ＝﹣√36m2+m+2√36＝﹣√36（m ﹣√3）2+7√36， 当m ＝√3时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为7√36， 此时，M 的坐标为（√3，﹣√36），综上所述，当点M 在曲线BA 之间（含端点）移动时，M 的坐标为（√3，﹣√36）或（﹣√3，﹣√36）时，|m|+|n|的最大值为7√36．类型二 双动点问题例3．（重庆市大渡口区2019届九年级第二次诊断考试）如图，抛物线y=-35[（x -2）2+n]与x 轴交于点A （m -2，0）和B （2m+3，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ． （1）求m 、n 的值；（2）如图，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值； （3）如图，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【来源】【区级联考】数学试题【答案】（1）m=1；n=-9；（2）最大值为758；（3）存在，P 点坐标为（3√34−95，0）或（34，0）． 【解析】（1）∵抛物线的解析式为y=-35[（x -2）2+n]=- 35（x -2）2-35n ， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∵点A 和点B 为对称点， ∴2-（m -2）=2m+3-2，解得m=1， ∴A （-1，0），B （5，0），把A （-1，0）代入y=-35 [（x -2）2+n]得9+n=0，解得n=-9；（2）作ND ∥y 轴交BC 于D ，如图2，抛物线解析式为y=-35[（x -2）2-9]=-35x2+125x+3，当x=0时，y=3，则C （0，3）， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （5，0），C （0，3）代入得{5k +b ＝0b ＝3 ，解得{k ＝−35b ＝3 ， ∴直线BC 的解析式为y=-35x+3，设N （x ，-35x2+125x+3），则D （x ，-35x+3），∴ND=-35x2+125x+3-（-35x+3）=-35x2+3x ，∴S △NBC=S △NDC+S △NDB=12×5×ND=-32x2+152x=-32（x -52）2+758，当x=52时，△NBC 面积最大，最大值为758；（3）存在．∵B （5，0），C （0，3）， ∴BC=2+52=√34，当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC 为等腰直角三角形，MP=MC ，设PM=t ，则CM=t ，MB=√34-t ， ∵∠MBP=∠OBC ， ∴△BMP ∽△BOC ， ∴PMOC =BM OB=BP BC ，即 t3=√34−t 5=34t=3√348，BP=174， ∴OP=OB -BP=5-174=34， 此时P 点坐标为（34，0）； 当∠MPB=90°，则MP=MC ， 设PM=t ，则CM=t ，MB=√34-t ， ∵∠MBP=∠CBO ， ∴△BMP ∽△BCO ， ∴MPOC =BM BC=BP BO ，即t3=√34−t√34=BP5，解得t=102−9√3425，BP=34−3√345， ∴OP=OB -BP=5-34−3√345=3√34−95， 此时P 点坐标为（3√34−95，0）； 综上所述，P 点坐标为（3√34−95，0）或（34，0）． 针对训练1．（河北省2019届九年级毕业生升学文化课考试模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P ，点Q 的运动时间为t(s). （1）当t =1s 时，按要求回答下列问题①tan∠QPC =______________；②求经过O ，P ，A 三点的抛物线G 的解析式，若将抛物线G 在x 轴上方的部分图象记为G 1，已知直线y =12x +b与G 1有两个不同的交点，求b 的取值范围；（2）连接CQ ，点P ，Q 在运动过程中，记ΔCQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数解析式.【答案】（1）①3；②y=-34x2+3x ； 0≤b ＜2512；（2）当0≤t≤2时，S=3t ；当2＜t≤4时，S=24-24t -3t ；当t ＞4时，S=24t .【解析】解：（1）①过Q 作QM ⊥BC ，tan ∠QPC=MQMP =3；②A （4,0）O （0,0）P （2,3）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 把A （4,0）O （0,0）P （2,3）代入y=ax2+bx+c 得{16a +4b +c =0c =04a +2b +c =3 ， 解得{a =−34b =3c =0.∴y=−34x2+3x.联立直线 y=12x+b 与 y=-34x2+3x,得 {y =12x +by =−34x 2+3x则-34x2+3x=12x+b ， ∵直线12x+b 与 G1 有 两 个 不 同 交 点， ∴方程-34x2+3x=12x+b 有2个不同解， ∴Δ＞0即254-3b >0，b＜2512，又由直线与G1交于x轴上方，∴b≥0，∴b的范围为0≤b<2512.（2）当0≤t≤2时，S=3t；当2＜t≤4时，S=24−24t −3t；当t＞4时，S=24t.当0≤t≤2时，如图1，由题意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=12×2t×3=3t；当2＜t≤4时，如图2：过Q作QH⊥CP于H，BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3,∵BM∥HQ，∴△PBM∽△PHQ，∴BMHQ =BPHP.即BM3=2t−4t，∴BM=3(2t−4)t,∴AM=3- BM=12−3tt，S=S矩形OABC−SΔCOQ−SΔAQM=4×3−1·t×3−1(4−t)∙12−3t=24－3t－24t(2<t≤4)当P在CB延长线上，Q在OA延长线上时，即t>4时，如图3，CQ与AB交于M点，过Q做QN⊥CB，则ΔMBC∼ΔQNC,∴BMNQ =CBCN即BM3=4t，故有BM=12t.面积为：S=12CB·BM=12×4×12t=24t（t > 4）2．（重庆一中2019届九年级（上)期中数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2√3PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132PH−14PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）y ＝16x2﹣43x ﹣8，y ＝512x+53；（2）P （5，−212），m 的最小值为2√19；（3）D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 【解析】解（1）∵y ＝ax2+bx ﹣8与y 轴的交点为C ，令x ＝0，y ＝﹣8， ∴点C （0，﹣8）， ∴OC ＝8，∵OC ＝2OA ，OB ＝3OA ， ∴OA ＝4，OB ＝12， ∴A （﹣4，0）B （12，0），将点A 代入直线解析式可得0＝﹣4k+53， 解得k ＝512， ∴y ＝512x+53，将点A 和点B 代入抛物线中， {0=16a −4b −80=144a +12b −8 ， 解得a ＝16，b ＝﹣43，∴y ＝16x2﹣43x ﹣8；（2）设点P 的坐标为（p ，16p2﹣43p ﹣8），﹣2ab ＝4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝4， ∴点Q （8﹣p ，16p2﹣43p ﹣8）， ∴PQ ＝2p ﹣8， ∵PK ＝2√3PQ ， ∴PK ＝4√3p ﹣16√3，如图1所示，延长PK 交直线AR 于点M ，则M （p ，512P+53），∴PM ＝512P+53﹣（16p2﹣43p ﹣8）＝﹣16p2﹣2112p+293， ∵∠PHM ＝∠MH′A ，∠HMP ＝∠AMH′， ∴∠HPM ＝∠MAH′，∵直线解析式为y ＝512x+53，，令x ＝0，y ＝53，∴OE ＝53，∵OA ＝4，根据勾股定理得∴AE ＝133， ∴cos ∠EAO ＝OA AE ＝1213, ∴cos ∠HPM ＝PHPM ＝PH﹣16P 2﹣2112p+293＝1213，∴PH ＝﹣213p2+2113p+11613， ∵I ＝132PH −14PQ ， ∴I ＝132（﹣213p2+2113p+11613）﹣14（2p ﹣8）＝﹣（p ﹣5）2+85，∴当p ＝5时，I 取最大值此时点P （5，﹣212）， ∴PQ ＝2，PK ＝4√3，如图2所示，连接QK ，以PQ 为边向下做等边三角形PQD ，连接KD ，在KD 取I ， 使∠PID ＝60°，以PI 为边做等边三角形IPF ，连接IQ ，∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD，∴△IPQ≌△FPD（SAS），∴DF＝IQ，∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小，过点D作DN垂直于KP，∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°，∴∠PDN＝30°，∵DP＝PQ＝2，∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝√3，在△KDN中，KN＝5√3，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2√19，∴m的最小值为2√19；（3）设NM与x轴交于点J，∵AM＝13，cos∠MAJ＝12，13∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5，∵OA＝4，∴OJ＝8，∴M（8，5），当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8，∴N（8，﹣8），MN＝13，在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4√13，∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，①当N′落在AN 的垂直平分线上时， tan ∠MNA ＝128＝32， ∴tan ∠MGJ ＝32，∵MJ ＝5，∴JG ＝103，根据勾股定理得MG ＝5√133， ∵MD1为∠GMJ 的角平分线， ∴MG MJ=GD DJ，∴D1J ＝5√13﹣152， ∴D1（31−5√132，0）， ∵MD4也为角平分线， ∴∠D1MD4＝90°，根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4， ∴JD4＝5√13+152， ∴D4（31+5√132，0）； ②当AN ＝AN′时，D2与点A 重合， ∴D2（﹣4，0）， ∵MD3为角平分线， ∴MJ MN′=JD 3D 3N′，∴JD3＝103， ∴D3（343，0）， 综上所述D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 3．（江苏省扬州市宝应县2019届九年级上学期期末）已知，如图1，二次函数y ＝ax 2+2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 、B 关于过点A 的直线l ：y ＝kx +√3对称．（1）求A 、B 两点坐标及直线l 的解析式； （2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B 作直线BD ∥AC 交直线l 于D 点，M 、N 分别为直线AC 和直线l 上的两个动点，连接CN ，MM 、MD ，求CN +NM +MD 的最小值．【答案】(1) 点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），直线l 的表达式为：y ＝√33x+√3;(2) 二次函数解析式为：y ＝﹣√32x2﹣√3x+3√32；(3)8.【解析】解：（1）y ＝ax2+2ax ﹣3a ，令y ＝0，则x ＝﹣1或3， 即点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）， 点A 坐标代入y ＝kx+√3得：0＝﹣3k+√3，解得：k =√33,即直线l 的表达式为：y =√33x +√3.①，同理可得直线AC的表达式为：y=√3x+3√3.直线BD的表达式为：y=√3x−√3.②，联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2√3）；（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+√3对称得AC2＝AB2，即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=±2√3（舍去负值），点C（1，2√3），将点C的坐标代入二次函数并解得：a=−√32.故二次函数解析式为：y=−√32x2−√3x+3√32；（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，作DF⊥x轴交于点F，DF＝ADsin∠DAF=4√3×12=2√3,∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，∴ED＝FD＝2√3，则QD＝4√3，BD＝4，∴BQ=√(4√3)2+42=8.即CN+NM+MD的最小值为8．4．（江苏省句容市第二中学）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝−13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ． （1）填空：b ＝ ，c ＝ ；（2）在点P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M 在抛物线上，且△AOM 的面积与△AOC 的面积相等，求出点M 的坐标。

专题十：二次函数之动点问题一般类动点例题1 ：如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．练习1 . 如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=k x﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A 向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．最值类动点例题1 ：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．练习1 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N →A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请写出此时点N的坐标．存在类动点x2+bx+c 例题1 ：如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=13经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C 点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，练习1 . 如图，已知抛物线y=-120）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）写出抛物线的解析式：________；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD 的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．综合类动点例题1 ：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N 从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．练习1 . 抛物线y=14x2﹣32x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，1OP +1ED的值最小，求出最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．。