随机变量及其分布-所有知识点集合

例3 设离散型随机变量X的分布律为
P（X= xi） = pi i = 1、2、… 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解： 1 P( X xi ) i 1
pi
p
i 1
1 p
p 1 . 2
P46 1
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例4 设袋中有5个球，编号分别为 1、2、…、5，从中同时取出3
个球，以X表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。
离散随机变量分布律的表格表示法
公式法 表格法
P X xk pk ,k 1, 2,
X x1， x2， … xk， …
p1 ， p2 ，… p K …
随机变量X的概率分布全面表达了X的所有可能 取
值性以质及取各1个) 值p的k 概 率0 情况k 1, 2,
2)
p 1 k 精品PPT
k 1
第四章 随机变量及其分布
➢随机变量及其分布函数 ➢ 离散型随机变量及其分布律 ➢ 连续型随机变量
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§4.1 随机变量及其分布函数
一、 随机变量
基本思想 将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果 有些随机试验的结果可直接用数值来表示. 例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示
F (x) 1 能否作为某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是
因为 lim F(x) 0 x
函数
1
G(
x)
1
x2
(x 0)
1 (x 0) 精品PPT
可作为分布函数
例2 设一袋中，依次有标着－1、2、2、2、3、3数字的6个球，
从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。
解 X可能取的值为－1,2，3，且
F(x) P(X x)
P( X 1) 1 6
P(X
2)
1 ,
2
P(X
3)
1 ,
3
当x＜-1时，｛X≤x｝是一个不可能事件，故 F( x) P( X x) 0,
当-1 ≤x<2时，｛X ≤
x｝={X=－1}，故
F(x)
P( X
x)
P(X
1)
1 ,
6
当2 ≤x<3时， ｛X ≤ x｝ ={X=－1}∪{X=2}，故
有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化 例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表
示的 可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”
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随机变量的定义
设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数X () 与
之对应，称 X X () 为样本空间Ω上
P(B)=P(X< 4)=P(X3) 精品PPT
• 引入随机变量。随机事件由：样本点的集 合——随机变量的取值区间
• 概率的确定——函数的计算
• 这个函数就是随机变量的概率分布函数
概率
纯数学计算
样本点
随机变量
事件
区间/数集
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二、 随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
解：X的所有可能取值为1,2，3，且由古典概率公式可得
P( X 1) C42 3 , C53 5
P( X 2)
C32 C53
3, 10
P( X 3)
1 C53
1, 10
即X的分布律为
X
123
P（X= xi） 0.6 0.3 0.1
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§4.2 离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 的X所有可能取值是
x1, x2 , , x，n ,而取值 的概率xk为
Fra Baidu bibliotekpk
即 P X xk pk , k 1, 2,
称此式为X的分布律（列）或概率分布 （Probability distribution)
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的随机变量。
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R X ()
例1 从装有三个白球（记为1,2，3号）与两个黑球
（记为4,5号）的袋中任取两个球，设随机变量X表示
取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，X
是如何表示的？
（1）观察取出的两个球的颜色 （2）观察取出的两个球的号码。
解 (1)试验的样本点和基本事件
53 4 12
设X为一随机变量,则对任意实数x，{X≤x} 是一个随机事件，称
F(x) P X x
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个普
通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
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分布函数的性质
单调不减性 若x1 x2 ,则F(x1) F(x2 )
右连续性 非负有界性
F
( x0
F( x) P( X x) P( X 1) P( X 2) 2 , 3
当3 ≤ x时，｛X≤x｝是一个必然事件，故 F(x) P(X x) 1,
0, x 1,
即，X的分布函数为
F(x)
1 / 6, 1 x 2,
2 / 1,
3, 2
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3
x x.
3,
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x) 的函数值来表示。
P(X≤b)=F(b) P(X>a)=1﹣ P (X≤a) =1 - F(a) P(a<X≤b)=F(b) ﹣ F(a)
P(X<b) =F(b-0)
P(X≥b) =1-F(b-0) P(X＝b) =F(b)－F(b-0)
0)
lim
x x0
F
(x)
F
( x0
)
0≤ F(x) ≤1
规范性
F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1
x
x
F() P X
不可能事件
F() P X
必然事件
反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的 分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质。
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1 ＝｛取出两个白球｝ 2 ＝｛取出两个黑球｝
X
2 0
1 2
3 ＝｛取出一个白球与一个黑球｝
1 3
(2)试验的样本点和基本事件
2 i,j,且1 i＜j 3
i, j ＝｛取出第i号球与第j号球｝
X 1 i,j,且1 i 3,4 j 5
＝｛（i,j）｝
(1 i j 5) 精品PPT
0 i,j,且4 i 5,i<j 5
用随机变量表示事件
A { | X() L} {X L}
XL 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 A=“出现偶数点”可表示为：{X=2} {X=4} {X=6} B=P(“A)出=P现({X的=2点}数{X小=于4} ４{”X=可6})表=P示(X为=2：)+{PX(X<=44)+}P或(X{X=6)3}