概率论与数理统计83+84+85

t n1 n2 2 . 使
2
P T t n1 n2 2 .
2
从而检验的拒绝域为
（8）
W{ T t n1 n2 2} . （9） 2
特别，若两样本容量 n1 n2 n 时，
T X Y n ~ t2n 2.
n 1


2
.
（7）
如图7—5所示。由（6）、（7）式可得检验
的拒绝域为
W
{
2

2
n
1
或
2

2

2 12
n
1}（. 8）
类似地可进行单侧检验。
例2 某炼铁厂的铁水含碳量 X 在正常
情况下服从正态分布。现对操作工艺进行了
某些改进，从中抽取 5 炉铁水测得其含碳量 如下：

2 0
~ 2n.
（1）
对于给定的检验水平 ，由 2 分布表查得
2 2
n
及
2
1
2
n
，使
P(
2


2

(n)
2
)


2
,
P(
2

2
1
2
(n)
)


2
.
（2） （3）
如图7—5所示。由（2）、（3）式可得检验
的拒绝域为
W
{
2


2

(n)
使 P T 2.3646 0.05.
所以该检验的拒绝域为
W T 2.3646 .
由样本值计算得：
x 21.5 , y 18.0 , n1 1s12 30.02 , n2 1s22 7.778, 由（5）、（6）式得 T
的观察值
t
21.5 18.0
4.420, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683. 据此是否可以认为新工艺炼出来的铁水含碳
量的方差为 0.1082 0.05?
解 要检验假设
H0
:
2


2 0

0.1082;
H1
:
2


2 0

0.1082.
当 H0 为真时,

2

n 1S2

2 0
~ 2n 1, n 5,
解 根据题意，设甲矿煤的含灰率
X
~
N
1
,
2 1
乙矿煤的含灰率 Y
~
N

2
,

2 2
。
要检验假设
H0 : 1 2; H1 : 1 2 . 对于检验水平 0.05 。因为 n1 5, n2 4,
由 t 分布表查得
t n1 n2 2 t0.0257 2.3646, 2

2 0

4 0.05183 0.1082
17.798.
由于 2 17.798W ,因而拒绝 H0 ，即不能 认为新工艺炼出来的铁水含碳量的方差为
0.1082.
第五节 F 检验法
F 检验法是两正态总体值 1 , 2 未知的
情况下，对其方差是否相等和两方差比较进 行检验。如第三节例 4 中当检验量矿煤的含 灰率有无显著差异时，其方差看作是相等的， 这往往是凭经验而言。严格来说，这是需要 经过检验的。
2.245 .
30.02 7078 1 1
7
54
由于t 2.245 2.3646 。即 t W ，因此 ，
接受原假设 H0 即认为两矿煤的含灰率无显
著差异。
第四节 2 检验法
2检验法是利用 2统计量及 2分布对
正态总体的方差是否等于或小于某已知方
差
2 0
进行检验.
s 81.00N / cm2 . 设弦线的抗拉强度服从正态 分布。问这弦线的抗拉强度是否较以往生产
的弦线的抗拉强度为高 0.05 ？
解 本例是单侧检验问题，在 0.05下，
检验假设
H0 : 10560 ; H1 : 0 10560 .
自由度 n 1 9 ，由 t 分布表查得
或
2
2

2 12
(n) }.
（4）
x x; n


2
2
o 2
1
2
2 2
x
图7—5
类似地，可检验假设
即
H '0 :
2


2 0
;
H '1
:
2


2 0
;
H ''0 :
2


2 0
;
H "1 :
2


2 0
;
例1 已知维尼仑纤度 X （表示纤维粗细 的一个量）在正常条件下服从正态分布，有
设有两个正态总体
X~N

1
,

2 1
，Y ~ N

2
,
2 2
( X1, X 2 ,X n1 ) 和 (Y1,Y2 ,Yn2 ) 是分别从总体
X和Y
中抽取的两个独立样本。S12、S
2 2
分别
为两样本方差。现要检验假设
H0
:

2 1


2 2
;
H1
:

2 1


2 2
.
当 H0 为真时，由抽样分布知
2
1
1, n2
1


2
,
（3）
如图7—6所示。由（2）、（3）式可得检验
的拒绝域为
W
{F

F
2
n1
1, n2
1 或
F

F12
n1
1, n2
1}（. 4）
f x

2

2
o
F
2
F1
2
x
图7—6
例1 在第三节例4 中若不知道两总体 方差是否相等，其它条件不变。检验两矿 煤的含灰率的方差是否相等。
s
81
由于t 2.7874 1.8331及 T 的观察值落在拒
绝域 W 中，故拒绝 H0 ，即接受 H1 . 所以 可认为这批弦线在抗拉强度方面有显著提 高。
二、两正态总体均值的检验
设有两个正态总体 ，X
~
N

1
,

2 1
Y
~
N

2
,

2 2
X1 , X 2 , , X n1 和
Y1 ,Y2 , ,Yn1
是分别从总体 X 和总体 Y 中抽取的两个独立
样本。设方差
2 1


2 2


2未知，X
,Y
和
S12 ,
S
2 2
分别为两样本的均值和方差。现对两总体均值
1 和 2 是否存在差异进行检验。即检验假设
H0 : 1 2; H1 : 1 2 .
在H0 为真的条件下，可构造 t 统计量
一、均值已知的正态总体对方差的检验
设有正态总体 X ~ N , 2 , X1, X 2,, X n
是从总体 X 中抽取的样本，总体均值 0 已知，要检验假设
H0
: 2


2 0
;
H1
:
2


2 0
.
当 H0 为真时，由抽样分布知
n
Xi 0 2
2 i1
F

S12
2 1
S22
2 2

S12 S22
~
F
n1 1, n2
1 .
（1）
对于给定的检验水平 ，由F 分布表查得
F n1 1, n2 1 和 2
F1
2
n1
1, n2
1
，使
P F

F
2
n1
1, n2
1


2
,
（2）
P F

F n 1
T ~ tn 1.
（1） （2）
这就表明，H0 为真时，T 的观察值较集中在 零的附近。对于显著性水平 ，由 t 分布表
查得 t (n 1) ，使 2
P T

t

n

1



.
（3）

2

如图7—4所示，由（3）式得检验的拒绝域
为 W { T t (n 1) }. （4）
2
这种利用 t 分布统计量的检验方法称为 t 检验法。上面进行的是双侧 t 检验。类似 于上一节也可进行单侧检验。
tx; n

2
t o 2

2
t 2
x 图7—4
例1 从经验知，灯泡的寿命服从正态分 布，现从一批灯泡中随机抽取 20 个，算得 平均寿命 x 1900h ，样本标准差 s 490h
S12 S22
（10）
例4 从两处煤矿各抽样数次，分析其 含灰率（%）如下：
甲矿： 24.3, 20.3, 23.7, 21.3, 17.4 乙矿: 18.2, 16.9, 20.2, 16.7
假定各煤矿的煤含灰率都服从正态分布，且
方差相等。问甲、乙两矿煤的含灰率有无显
著差异 0.05 ？

,
2 0
的一个样本，其中方差 2 未知，要检验假设
H0 : 0; H1 : 0 .
若
H
为真，由于方差
0

2未知，用样本均
值
X

1 n
n i 1
Xi
及样本方差
S2

1 n1
n i 1
Xi X
2
可构造 t 统计量
T X 0 n.
S
由样本分布知
;
H1
:
2


2 0
.
当 H0 为真时，由抽样分布知
2

n 1S2

2 0
~
2n 1.
（5）
对于给定的检验水平 ，由 2 分布表查得

2

n

1
2
及
2
1
2
n 1 ，使
P
2


2

n

1
2


2
,
（6）
P
2

2
1
2
X ~ N 1.405,0.048 2 ,某日抽取 5 根纤维，测
得其纤度为：
1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44
在检验水平 0.10 ，检验这一天纤度的总
体方差是否正常？
解 即要检验假设
H0 :


2 0
0.0482;
H1
:


2 0
0.0482.
由于 0 1.405 , 当 H0 为真时
T X Y 1 2 X Y
S12
11 n1 n2
S12
11 n1 n2
（5）
其中
S122

n1
1S12 n2 1S22
n1 n2 2
（6）
由样本分布知
T ~ tn1 n2 2.
（7）
对于给定的显著性水平，由 t 分布表查得
检验该批灯泡的平均寿命是否为2000h 0.01？
解 这是一个正态总体，方差未知，对 总体均值是否为2000h 的检验问题。因此 采用 t 检验法进行检验。要检验假设
H0 : 2000 ; H1 : 2000 .
对于检验水平 0.01 。因为自由度 n 1 19，
对于给定的检验水平 0.05 ，由 2 分布
表查得

2

n
1


2 0.025
4

11.143,
2
2 12
n
1

02.975
4

0.484.
因此，检验的拒绝域为
W 2 0.484 或
由样本值求得
2 11.143 .
2

n 1S 2
由 t 分布表查得 t n 1 t0.02519 2.8609. 2
从而检验的拒绝域为
W { T 2.8609}. 由样本均值 x 1900h 及样本标准差 s 490h，
计算T 的观察值为
t x 0 n 1900 2000 20 0.9126.
第三节 t 检验法
t 检验法是使用服从 t 分布的 t 统计量来 进行检验，当总体服从正态分布，总体方差
未知时，对总体的数学期望 进行检验，可
用 t 检验法。检验步骤同 U 检验法，只是使 用 t 统计量，t 分布来进行。因此称为 t 检验 法。
一、单一正态总体均值的检验
设X1, X2 , , Xn 是来自正态总体N
s
490
由于 t 0.9126 2.8609. 即 t W ，故接受假 设 H0 ，即可以认为该批灯泡的平均寿命为 2000h。
例2 某厂生产乐器用的一种镍合金弦线， 长期以来，其抗拉强度的总体均值为 10560 N / cm2。今新生产了一批弦线，随机抽取10 根弦线作抗拉试验，由测得的抗拉强度算得 样本均值 x 10631.4N / cm2 ，样本标准差
由样本值算得 2 13.683W . 因而拒绝 H0 ， 即认为总体方差不正常。
二、均值未知的正态总体对方差的检验
设有正态总体 X ~ N , 2 , X1, X 2,, X n
是从总体 X 中抽取的样本，总体均值未知，
S 2为样本方差，要检验假设
H0
:
2


2 0
5
Xi 0 2
2 i1

2 0
~ 25.
对于给定的检验水平 0.10 ，
由 2 分布表查得

2

n

02.05
5

11.071,
2
2 1 2
பைடு நூலகம்n


2 0.95
5

1.145
因此，检验的拒绝域为
W 2 1.145 或 2 11.071 .
t n 1 t0.059 1.8331,
使
P T t n 1 .
因此，该检验的拒绝域为
W T 1.8331 .
由 x 10631.4N / cm2 s 81.00N / cm2 .
及 n 10 ，计算T 的观察值为
t x 0 n 10631.4 10560 10 2.7874.